ANDOYER

82 l'œuvre scientifique de laplace

des inégalités de la seconde espèce, et j'en conclus cette proposition remarquable, savoir, que les mouvements de l'axe terrestre sont les mêmes que si la mer formait une masse solide avec la Terre, ce qui était contraire à l'opinion des géomètres et spécialement de d'Alembert.... Mon analyse me fit encore reconnaître la condition générale de la stabilité de l'équilibre de la mer. Les géomètres, en considérant l'équilibre d'un fluide placé sur un sphéroïde elliptique, avaient remarqué que, en aplatissant un peu sa figure, il ne tendait à revenir à son premier état que dans le cas où le rapport de sa densité à celle du sphéroïde serait audessous de :»■ » ^t ils avaient fait de cette condition celle de la

stabilité de l'équilibre du fluide. Mais il ne suffit pas, dans cette recherche, de considérer un état de repos du fluide très voisin de l'état d'équilibre : il faut supposer à ce fluide un mouvement initial quelconque très petit et déterminer la condition nécessaire pour que le mouvement reste toujours contenu dans d'étroites limites. En envisageant ce problème sous ce point de vue général, je trouvai que, si la densité moyenne de la Terre surpasse celle de la mer, ce fluide, dérangé par des causes quelconques de son état d'équilibre, ne s'en écartera jamais que de quantités très petites, mais que les écarts pourraient être fort grands si cette condition n'était pas remplie. Enfin je déterminai les oscillations de l'atmosphère sur l'Océan qu'elle recouvre, et je trouvai que les attractions du Soleil et de la Lune ne peuvent produire le mouvement constant d'orient en occident que l'on obsei"ve sous le nom de vents alizés. Les oscillations de l'atmosphère produisent dans la hauteur du baromètre de petites oscillations dont l'étendue à l'équateur est d'un demi-millimètre et qui méritent l'attention des observateurs.]

RECHERCHES SUR LATTRACTION 83

Le mémoire se termine par une note sur les ondes, dont Laplace étudie la nature et la propagation dans un canal infiniment étroit, d'une longueur indéfinie, et dont la profondeur et la largeur sont constantes.

Dans un court Mémoire sur la précession des équinoxes (M. A. S. P., 1777-80), Laplace revient sur le théorème qu'il a démontré précédemment à propos de 1 influence de la mer sur la précession et la nutation, et, grâce à des considérations qui dérivent du principe des aires, l'étend au cas de la nature, dans lequel la figure de la Terre et la profondeur de la mer sont très irrégulières, et les oscillations des eaux sont altérées par un grand nombre d'obstacles. Toutefois il laisse en suspens la question de savoir si les pôles ne peuvent pas être transportés, après un temps considérable, dans d'autres régions.

Dans la seconde partie de l'ouvrage sur la Théorie du mouvement et de la figure elliptique des planètes, Laplace traite d'abord de l'attraction des ellipsoïdes homogènes quelconques sur un point, et en donne pour la première fois une théorie complète. Il considère les composantes de l'attraction comme les dérivées partielles d'une même fonction, et les met, quand le point attiré est intérieur, sous la forme d'intégrales définies elliptiques, qu'il est impossible en général d'exprimer par des fonctions finies de quantités algébriques, d'arcs de cercle et de logarithmes : il dit à ce sujet, et il le répétera plusieurs fois, qu'il s'en est assuré, sans jamais expliquer comment. Précédemment, d'Alembert, au moment même où il allait obtenir ces intégrales, s'était arrêté, retenu par on ne sait quelles considérations qui les lui faisaient rejeter comme inadmissibles : c'est une de ses plus inexplicables méprises.

Laplace démontre ici dans toute sa généralité le théo-

84 l'œuvre scientifique de laplace

rème fondamental qui doit légitimement porter son nom, relatif aux attractions de deux ellipsoïdes homofocaux sur un même point extérieur, qui sont simplement proportionnelles aux masses attirantes. Ce théorème avait été trouvé d'abord par Mac-Laurm dans un cas très particulier, puis étendu successivement par d'Alembert, Lagrange et Legendre ; mais c'est Laplace qui est parvenu le premier à lui donner toute sa généralité, par une méthode communiquée à l'Académie le 24 mai 1783. Son analyse est d'ailleurs peu simple, fondée sur les développements en séries, et sur les relations que l'on peut établir entre les composantes de l'attraction et leurs dérivées partielles tant par rapport aux axes de l'ellipsoïde que par rapport aux coordonnées du point attiré. Plus tard, il la simplifiera légèrement, et il dira lui-même qu'Ivory est parvenu au même résultat par une transformation très heureuse des coordonnées, sans recourir aux séries.

Laplace montre ensuite que si [l'on imagine une masse fluide homogène tournant autour d'un axe quelconque, et dont toutes les parties s'attirent réciproquement, et sont attirées par tant de corps que l'on voudra placés au loin dans l'espace, il est possible de lui donner la figure d'un ellipsoïde tel qu'elle soit en équilibre autour de son centre de gravité en vertu de toutes les forces qui l'animent, pourvu cependant qu'elles n'excèdent pas certaines limites.] Ceci suppose implicitement que les corps attirants participent au mouvement du fluide ; c'est ce qui arrive dans le cas de la Lune attirée par la Terre, et Laplace étudie en effet ce cas. Il discute encore le problème de la détermination des ellipsoïdes de Mac-Laurm qui répondent à une durée de rotation donnée : d'Alembert avait déjà montré qu'il y en avait plusieurs, mais sans en déterminer le nombre ; Laplace

RECHERCHES SUR LATTRACTION 85

prouve que ce nombre se réduit à deux, si toutefois le temps de la rotation est supérieur à une certame limite ; il avait fait part de sa démonstration à d'Alembert au mois de juillet 1778, et celui-ci dit quelque part que cette démonstration assez simple lui en a fait trouver une très simple presque sans aucun calcul, qui à la vérité est inexacte.

Mais le véritable problème à résoudre consiste à déterminer la figure d'équilibre que doit prendre la masse fluide lorsque, ses molécules ayant été primitivement animées de forces quelconques, elles parviennent à la longue, par leur frottement mutuel et par leur ténacité, à un état fixe d'équilibre ; dans ces conditions, c'est le moment de rotation que l'on doit alors considérer comme donné, ainsi que le montre l'application du principe des aires, et alors, il y a toujours une figure d'équilibre et une seule, sous la forme d'un ellipsoïde de révolution aplati.

L'ouvrage se termine par le rappel des recherches antérieures de Laplace sur la loi de la pesanteur à la surface d'une figure d'équilibre quelconque voisine de la sphère, l'attraction étant proportionnelle à une puissance quelconque de la distance ; et enfin par la détermination des lois d'attraction qui permettent de remplacer l'action d'une sphère homogène par celle de sa masse réunie en son centre.

Le mémoire sur la Théorie des attractions des sphéroïdes et de la figure des planètes (M. A. S. P., 1782-85) est d'une importance capitale. Dans une première section, l'auteur reprend la théorie de l'attraction des ellipsoïdes d'une façon plus directe et plus simple. La seconde section est consacrée au développement en série des attractions des sphéroïdes quelconques : c'est ici qu'apparaît pour la première fois la célèbre équation de Laplace vérifiée par le poten-

86 l'œuvre scientifique de laplace

tiel V, mais avec les coordonnées polaires comme variables indépendantes : [J'ai observé... que les intégrales des équations linéaires aux différences partielles du second ordre n'étaient souvent possibles qu'au moyen d'intégrales définies, semblables à l'expression de V ; ainsi, lorsqu'on a de semblables intégrales, il est facile, dans un grand nombre de cas, d'en tirer des équations aux différences partielles, dont la considération peut fournir des remarques intéressantes, et faciliter la réduction des intégrales en séries.] Laplace suppose implicitement que le point attiré est extérieur aux masses attirantes ; on sait que c'est Poisson qui a indiqué le premier comment l'équation doit être corrigée dans le cas contraire.

En introduisant alors les fonctions Y, de deux angles qui portent son nom, Laplace développe aisément en série l'expression générale du potentiel d'attraction relatif à un sphéroïde quelconque homogène, le point attiré étant extérieur ou intérieur. Dans la troisième section, il montre comment les résultats se simplifient pour les sphéroïdes très peu différents de la sphère, et donne une théorie complète de leurs attractions, en les supposant même hétérogènes. A cet effet, il use d'une relation différentielle du premier ordre remarquable, que vérifie encore le potentiel lorsque le point attiré est à la surface du sphéroïde, et qu'il a d'ailleurs déjà considérée dès ses premières recherches sur l'attraction ; il suffit alors, pour avoir l'expression du potentiel en série, de connaître le développement suivant les fonctions Y„ de la fonction qui définit la figure des différentes couches dont se compose le sphéroïde, et Laplace donne une première règle à ce sujet, applicable toutes les fois que l'équation de la surface est finie et rationnelle.

La quatrième section est consacrée à la théorie de la

RECHERCHES SUR l'aTTRACTION 87

figure des planètes et de la loi de pesanteur à leur surface : c'est un simple corollaire de ce qui précède, en y ajoutant le théorème relatif à l'orthogonalité des fonctions ¥„. Si la planète est homogène, elle ne peut être en équilibre que d'une seule manière, quelles que soient les forces qui l'animent, et par suite, si ces forces se réduisent à la force centrifuge, il n'y a pas d'autre figure d'équilibre que l'ellipsoïde aplati de révolution : il ne faut pas oublier qu'il s'agit ici de surfaces très voisines de la sphère. Laplace arrive ainsi à la solution si longtemps poursuivie d'une importante question : mais afin de prévenir toute objection, il démontre encore ce résultat a priori, indépendamment des suites, et fait voir en même temps que, dans un grand nombre de cas, un fluide qui recouvre une sphère est susceptible de plusieurs états d'équilibre. Si la planète est hétérogène, sa figure et la pesanteur à sa surface dépendent de la forme des couches et de la loi de leur densité ; mais on peut parvenir à une relation entre ces deux quantités, indépendante de la constitution intérieure du sphéroïde.

Dans la cinquième et dernière section, Laplace reprend la question des oscillations d'un fluide de peu de profondeur qui recouvre une sphère pour déterminer les conditions, indiquées précédemment, qui donnent un équilibre ferme : ce n'est que grâce au perfectionnement actuel de la théorie des attractions des sphéroïdes qu'il est conduit maintenant à la solution complète du problème.

Nous avons dit au chapitre II comment les travaux de Legendre ont pu inspirer en partie le travail que nous venons d'analyser.

Dans un Mémoire sur la figure de la Terre (M. A. S. P., 1 783-86), Laplace se [propose d'exposer ce que les observations et la théorie nous apprennent sur la constitution de

la Terre, et de déterminer aussi exactement qu'il est possible la figure que l'on doit supposer à cette planète dans le calcul des principaux phénomènes qui en dépendent, tels que la variation de la pesanteur de l'équateur aux pôles, les parallaxes, les éclipses, la précession des équinoxes et la nutation de l'axe terrestre.] Il est conduit au résultat suivant : l'hypothèse que la terre est un ellipsoïde de révolution [est fort approchée relativement aux rayons terrestres ; elle l'est un peu moins relativement à leurs premières différences ; cependant l'erreur est presque insensible ; mais leurs secondes différences (qui grandissent par la différentiation) s'écartent sensiblement de celles qui résultent de cette hypothèse, et c'est la raison pour laquelle les degrés du méridien s'éloignent de la loi du carré du sinus de la latitude.] De plus, l'étude des phénomènes indique une diminution dans la densité des couches terrestres depuis le centre jusqu'à la surface, [sans nous instruire cependant de la véritable loi de cette diminution.]

Il faut rappeler que les mesures des degrés du méridien alors connues étaient en réalité fort sujettes à caution ; (le degré de Laponie, en particulier, ne devait être corrigé que plus tard par Sv^anberg) ; Laplace en discute quatre, et pour en déduire l'aplatissement terrestre, les combine de façon que la valeur absolue de la plus grande erreur soit minima ; on n'avait encore en effet aucune règle précise au sujet de la combinaison des observations. On voit que cette méthode, sur laquelle Laplace reviendra plusieurs fois et assez longuement plus tard, consiste à rendre minima la somme des puissances n^^i^s jgg erreurs, en supposant l'exposant n pair et très grand.

Laplace a été sans doute occupé pendant longtemps de son Mémoire sur la théorie de l'anneau de Saturne (M. A. S. P.,

RECHERCHES SUR LATTRACTION 89

1787-89), puisqu'il écrivait à Lagrange le 21 mars 1781 : [Je travaille présentement à la théorie de l'anneau de Saturne ; mais je ne puis prévoir encore le résultat de mon travail.] Personne n'avait encore entrepris de déterminer la figure de l'anneau d'après la théorie de la pesanteur universelle, l'explication donnée par Maupertuis, en dehors de cette loi, ne pouvant être regardée que comme une hypothèse ingénieuse. Laplace suppose qu'une couche infiniment mince de fluide répandue sur la surface de l'anneau, y resterait en équilibre en vertu des forces dont elle serait animée, et il conclut que les différents anneaux sont des solides irréguliers d'une largeur inégale dans les divers points de leur circonférence, en sorte que leurs centres de gravité ne coïncident pas avec leurs centres de figure, sans quoi leur équilibre serait instable, et ils finiraient par se joindre à la planète.

C'est dans ce mémoire que l'on voit pour la première fois l'équation du potentiel sous la forme si simple qui correspond à l'emploi des coordonnées rectangulaires.

Dans le Mémoire sur quelques points du système du monde (M. A. S. P., 1789-an II), que nous avons déjà rencontré, Laplace reprend la discussion des mesures des degrés du méridien et de la longueur du pendule à secondes, pour examiner si l'on peut, sans faire trop de violence aux observations, concilier ces mesures avec une figure elliptique. Il discute cette fois neuf longueurs du degré du méridien, et développe d'abord la méthode qu'il a déjà employée pour cet objet ; mais l'ellipse ainsi obtenue [n'est pas celle que les degrés mesurés indiquent avec le plus de vraisemblance. Cette dernière ellipse me paraît devoir remplir les deux conditions suivantes : 1° que la somme des erreurs soit nulle ; 2° que la somme des erreurs prises toutes avec le

90 l'œuvre scientifique de laplace

signe + soit un minimum. M. Bosco vich a donné pour cet objet une méthode ingénieuse... ; mais comme il l'a inutilement compliquée de la considération des figures, je vais la présenter ici sous la forme analytique la plus simple.]

Le résultat de la discussion est toujours le même : la figure elliptique s'accorde bien avec les variations de la pesanteur, mais non avec celles des degrés du méridien.

A propos de la figure de l'a Terre, Laplace fait voir que cette figure ne peut être que celle d'un ellipsoïde de révolution, même si la Terre, ayant été primitivement fluide, est formée de couches de densités variables ; Clairaut a déjà montré que la figure elliptique remplit, dans ce cas, les conditions de l'équilibre : il s'agit de prouver ici qu'elle est la seule qui satisfasse à ces conditions. Legendre s'était déjà occupé de la même question, ainsi que nous l'avons vu.

Enfin Laplace revient encore une fois sur la stabilité de la figure de la mer ; et, puisque les observations récentes faites par Maskelyne en Ecosse indiquent que la densité moyenne de la Terre est quatre ou cinq fois supérieure à celle de la mer, on doit en conclure que, si celle-ci a recouvert autrefois des continents aujourd'hui fort élevés au-dessus de son niveau, il faut en chercher la cause ailleurs que dans le défaut de son équilibre.

Le Mémoire sur le flux et le reflux de la mer (M. A. S. P., 1790-an V), est consacré à la théorie empirique des marées. Précédemment, Laplace a supposé la mer inondant la Terre entière, et n'éprouvant que de légers obstacles dans ses mouvements ; mais actuellement, il s'agit de tenir compte de toutes les causes qu'on ne peut assujettir au calcul : [la manière dont l'Océan est répandu à la surface de la Terre, l'irrégularité de sa profondeur, la position et la pente des rivages, leurs rapports avec les côtes qui les avoisinent, les

RECHERCHES SUR l'aTTRACTION 91

courants, les résistances que les eaux de la mer éprouvent.] Le principe directeur sera le suivant : [L'état d'un système de corps dans lequel les conditions primitives du mouvement ont disparu par les résistances que ce mouvement éprouve, est périodique comme les forces qui l'animent.] D'où Laplace conclut [que, si la mer est sollicitée par une force périodique exprimée par le cosinus d'un angle qui croît proportionnellement au temps, il en résulte un 'flux partiel, exprimé par le cosinus d'un angle croissant de la même manière, mais dont la constante renfermée sous le signe cosinus et le coefficient de ce cosinus peuvent être, en vertu des circonstances accessoires, très différents des mêmes constantes dans l'expression de la force, et ne peuvent être déterminés que par l'observation. L'expression des actions du Soleil et de la Lune sur la mer peut être développée dans une série convergente de pareils cosinus. De là naissent autant de flux partiels qui, par le principe de la coexistence des petites oscillations, s'ajoutent ensemble pour former le flux total que l'on observe dans un port.]

Les observations dont disposait Laplace avaient été faites sur l'invitation de l'Académie des Sciences, au commencement du xvni® siècle, dans le port de Brest, pendant six années consécutives, et retrouvées par Cassini dans les papiers de son grand-père. Elles indiquent, par leur frappante régularité, le port de Brest comme l'un des plus favorables aux observations des marées ; [il doit probablement cet avantage à sa position avancée dans la mer, et surtout à ce que sa rade ayant une entrée fort étroite, relativement à son étendue, les oscillations des eaux de la mer sont par là très affaiblies, à peu près comme les oscillations que le mouvement irrégulier d'un vaisseau produit dans le baromètre, sont atténuées par un étranglement fait au tube

92 l'œuvre scientifique de laplace

cle cet instrument. D'ailleurs les marées étant considérables à Brest, les variations accidentelles n'en sont qu'une faible partie.]

Notons encore les conseils que donne Laplace au sujet de l'emploi des observations : [... je remarquerai combien il est utile de publier les observations originales ; souvent la théorie mieux connue des phénomènes rend intéressants ceux qui d'abord avaient été négligés comme ayant paru de peu d'importance... Dans ce genre d'observations, où mille causes accidentelles peuvent altérer la marche de la nature, il est nécessaire d'en considérer à la fois un grand nombre, afin que, les effets des causes passagères venant à se compenser les uns par les autres, les résultats moyens ne laissent apercevoir que les phénomènes réguliers ou constants. Il faut encore, par une combinaison avantageuse des observations, faire ressortir les phénomènes que l'on veut déterminer et les séparer des autres, pour les mieux connaître.] C'est en suivant cette méthode que Laplace parvient à la formule qui représente exactement les marées du port de Brest, confirmée par de récentes observations, faites à sa prière, vers les syzygies de l'équinoxe du printemps de 1 790. [On voit, par cet exposé, l'accord de la théorie du flux et du reflux de la mer, fondée sur la loi de la pesanteur, avec les phénomènes des hauteurs et des intervalles des marées. Plusieurs de ces phénomènes m'ont été d'abord indiqués par cette théorie et ont ensuite été confirmés par les observations ; d'autres phénomènes que les observations m'avaient fait connaître, et qui ne me semblaient pas pouvoir dépendre de la théorie, ont résulté de cette même théorie plus approfondie. En général, tous les résultats de la théorie, indépendants des circonstances locales, ont été confirmés par les observations ; et, lorsque ces circonstances ont modifie

RECHERCHES SUR LATTRACTION 93

les résultats de la théorie, j'ai retrouvé le même accord, en y ayant égard.]

Dans un nouveau Mémoire sur la figure de la Terre (M. A. S., II, 1817-19), publié bien longtemps après les précédents, Laplace étudie la Terre telle qu'elle se présente dans la réalité, c'est-à-dire qu'il abandonne l'hypothèse d'une inondation générale pour tenir compte de ce que l'Océan laisse à découvert une partie du sphéroïde terrestre. La comparaison de son analyse aux expériences du pendule, aux mesures des degrés et aux observations lunaires, le conduit à ces résultats :

1° la densité des couches du sphéroïde terrestre croît de la surface au centre ; 2° ces couches sont à très peu près régulièrement disposées autour de son centre de gravité ; 3'^ la surface de ce sphéroïde, dont la mer recouvre une partie, a une figure peu différente de celle qu'elle prendrait en vertu des lois de l'équilibre, si, la mer cessant de la recouvrir, elle devenait fluide ; 4° la profondeur de la mer est une petite fraction de la différence des deux axes de la Terre ; 5° les irrégularités de la Terre et les causes qui troublent sa surface ont peu de profondeur ; 6° enfin, la Terre entière a été primitivement fluide.

Et il ajoute : [Ces résultats de l'analyse, des observations et des expériences me semblent devoir être placés dans le petit nombre des vérités que nous offre la géologie.]

On peut signaler dans ce mémoire l'expression asymptotique des polynômes de Legsndre d'ordre élevé, et une répétition de la démonstration de la Mécanique céleste au sujet de la relation différentielle vérifiée par le potentiel à la surface d'un sphéroïde ; c'est qu'en effet [quelques géomètres, ne l'ayant pas bien saisie, l'avaient jugée inexacte] ; on peut supposer qu'il s'agit ici d'Ivory.

Dans une courte addition au mémoire précédent (M. A. S., III, 1818-20), Laplace est amené par une remarque due à Young, à supposer que l'accroissement de densité des couches du sphéroïde terrestre tient à leur compression, de sorte que la Terre, hétérogène dans le sens mathématique, pourrait être homogène dans le sens chimique ; il trouve qu'il serait possible de satisfaire ainsi à tous les phénomènes connus dépendant de la loi de densité de ces couches, mais il est bien loin d'affirmer que ce cas soit celui de la nature. 11 développe son analyse en supposant que la pression varie comme le carré de la densité, ce qui le conduit pour celle-ci à une loi déjà étudiée par Legendre.

Il montre encore qu'en vertu du principe des aires, et de la constance de la durée du jour depuis Hipparque, démontrée par la comparaison des observations avec la théorie de l'équation séculaire de la Lune, la variation de la chaleur intérieure de la Terre depuis cette époque est insensible. aC'était, dit Arago, renverser d'un trait de plume les théories cosmogoniques si longtemps à la mode de Buffon et de Bailly, d'après lesquelles la Terre marchait à une congélation inévitable et prochaine. »

Laplace conclut : [Si, dans la suite des temps, on observe quelques changements dans la hauteur moyenne du thermomètre placé au fond des caves de l'Observatoire, il faudra l'attribuer, non à une variation dans la température moyenne de la Terre, mais à un changement dans le climat de Paris, dont la température peut varier par beaucoup de causes accidentelles. Il est remarquable que la découverte de la viaie cause de l'équation séculaire de la Lune nous fasse connaître en même temps l'invariabilité du jour et celle de la température de la Terre, depuis les plus anciennes observations.]

RECHERCHES SUR l'aTTRACTION 95

En reprenant les sujets précédents au livre XI de la Mécanique céleste, avec de plus amples développements analytiques, Laplace montre encore en particulier que toute hypothèse fondée sur un déplacement considérable des pôles à la surface de la Terre doit être rejetée comme incompatible avec la propriété du sphéroïde terrestre d'avoir une figure peu différente de celle que prendrait sa surface en devenant fluide. [On avait imaginé ce déplacement pour expliquer l'existence des éléphants dont on trouve les ossement fossiles en si grande abondance dans les climats du nord, où les éléphants actuels ne pourraient pas vivre. Mais un éléphant que l'on suppose avec vraisemblance contemporain du dernier cataclysme, et que l'on a trouvé dans une masse de glace, bien conservé avec ses chairs, et dont la peau était recouverte d'une grande quantité de poils, a prouvé que cette espèce d'éléphants était garantie par ce moyen du froid des climats septentrionaux, qu'elle pouvait habiter et même rechercher. La découverte de cet animal a donc confirmé ce que la théorie mathématique de la Terre nous apprend... ]

Le dernier travail contenu dans les recueils de l'Académie des Sciences que nous devions analyser dans ce Chapitre, est un nouveau Mémoire sur le flux et le reflux de la mer (M, A. S., III, 1818-20), reproduit avec de notables augmentations au livre XIII de la Mécanique céleste. Frappé de la régularité que présentent les observations des marées à Brest, Laplace avait prié le gouvernement qu'on y fît une nouvelle suite de ces observations, pendant une période entière du mouvement des nœuds de l'orbe lunaire ; ces observations, commencées le 1^'' juin 1806, laissent encore à désirer :... [il est temps enfin d'observer ce genre de phénomènes avec autant de soin que les phénomènes astronomiques.]

96 l'œuvre scientifique de laplace

Analysant ces nouvelles observations, avec l'aide de Bouvard pour les calculs, Laplace perfectionne sa théorie et parvient à des formules encore plus exactes pour la représentation des marées à Brest. Un point Important est l'application qu'il fait ici du calcul des probabilités aux lois de la variation des hauteurs et des intervalles des marées aux époques des syzygies et quadratures, et à l'influence qu'exercent à leur égard les déclinaisons des astres. [Les recherches précédentes m'offraient une occasion trop favorable d'appliquer à l'un des grands phénomènes de la nature les nouvelles formules auxquelles je suis parvenu dans ma théorie analytique des probabilités pour ne pas la saisir.] Et pour montrer l'utilité de cette application, il rappelle les erreurs dans lesquelles sont tombés plusieurs savants, et spécialement Lalande, pour s'être attachés à quelques observations partielles, et n'avoir pas soumis au calcul des probabilités l'ensemble des observations.

Parmi les nombreuses notes insérées dans la Connaissance des Temps, nous pouvons nous contenter de signaler en terminant les suivantes :

1° sur la longueur du pendule à secondes (dans le volume pour 1820) ; Laplace y analyse avec une grande exactitude toutes les causes d'erreur qui peuvent se rencontrer dans l'usage du pendule de Borda, en particulier celle qui provient de l'hypothèse habituelle que le tranchant du couteau est infiniment mince, alors qu'il présente la forme d'un demicylindre dont le rayon surpasse un centième de millimètre.

2° sur la rotation de la Terre (dans le volume pour 1821). Laplace y utilise la notion du plan du maximum des aires pour développer diverses considérations Intéressantes sur la figure de la Terre et l'invariabilité de son axe, la précession, la nutation, le système Terre-Lune, etc.

RECHERCHES SUR LATTRACTION 97

3° de r action de la Lunesur l atmosphère (dans le volume pour 1826). Cette note, reproduite au livre XIII de la Mécanique céleste, étudie la partie de la variation diurne du baromètre qui est due au flux lunaire, d'après 4752 observations relevées sur les registres de Bouvard, et prises dans le voismage des syzygies et des quadratures ; l'application du calcul des probabilités montre qu'il faudrait bien plus d'observations pour qu'on puisse affirmer avec une quasi-certitude que les résultats obtenus ne sont pas dus à de simples causes fortuites.

4° Mémoire sur le flux et le reflux lunaire atmosphérique (dans le volume pour 1830, publié en 1827). Cette note, la dernière peut-être qui soit sortie de la plume de Laplace, est consacrée surtout à des applications du calcul des probabilités à différents phénomènes constatés dans la variation diurne du baromètre.

f A^DOVES.