ANOOYEF

114 l'œuvre scientifique de laplace

dx Appelons o (t) la fonction z -j- , et supposons la dévelop- ' dt

pable en série entière sous la forme '^o + 'f l t ~i" f2 i~ô +•••»

pour des valeurs suffisamment petites de t. En profitant de la formule

due à Laplace, on obtient -y" /^'' ^P^^ cp {t)dt -y' / " e-^'-'oiSjdt,

la série entre parenthèses pouvant être continuée régulièrement aussi loin qu'on voudra, avec addition d'un terme complémentaire convenable. Si d'ailleurs Z et Y" sont les valeurs de z et de la dérivée seconde de y par rapport à x.

pour X =^ c, on a cpo *- i/ v"

En tenant compte de l'ordre de grandeur des intégrales qui terminent l'expression précédente, on obtient ainsi des valeurs approchées de J dont l'erreur relative sera très petite, et comparable à certaines puissances négatives de p : ce sont autant de valeurs asymptotîques de J, et avec peu de termes, le plus souvent un seul, on a un résultat d'autant plus approché que p est plus grand, c'est-à-dire que le

succès de la méthode est d'autant plus assuré qu'elle devient plus nécessaire.

Si par exemple on part de la relation connue :

/l" CD

on trouve immédiatement la célèbre formule de Stirling

qualifiée par Laplace d'une des plus belles choses que l'on ait trouvées dans l'analyse, et la seule recherche du même genre avant lui. L'introduction de la transcendante t: dans une question qui lui semble parfaitement étrangère avait beaucoup frappé les géomètres, et surtout Moivre : Stirling y était parvenu en s'aldant d'un théorème de Wallis, mais nous voyons ici la véritable raison de ce fait général.

Quand on se dispense de la considération des termes complémentaires dans l'expression donnée ci-dessus de l'intégrale J, on obtient des séries qui convergent très rapidement dans leurs premiers termes, mais souvent cette convergence diminue et finit par se changer en divergence. Cependant, Laplace affirme avec raison que cette considération ne doit pas empêcher l'usage de ces séries, en se bornant aux premiers termes, dont la convergence est rapide, [car le reste de la série qu'on néglige est le développement d'une fonction algébrique ou Intégrale très petite par rapport à ce qui précède.] Il a donc le sentiment très net de la nécessité des termes complémentaires, et les détermine effectivement dans quelques cas simples, afin [d'ôter toute inquiétude] à ce sujet : mais en général, il n'y perd pas son temps. De plus.

il montre que, bien souvent, on obtient ce qu'il appelle une série limite, c'est-à-dire telle que la somme des premiers termes est alternativement plus grande et plus petite que la véritable valeur de la série ; il en est ainsi des divers développements qu'il donne ici ou ailleurs pour calculer l'intégrale si importante de la fonction e— *' dt, prise depuis une limite suffisamment grande jusqu'à l'infini.

Revenons maintenant au problème de l'urne, ou des naissances : on verra d'abord que la probabilité P que le

rapport x soit compris entre les limites + w est égale

d'une façon très approchée au produit du facteur — — par

l'intégrale de la fonction e— ^' dt prise entre les deux

limites If* to V/ — t^ • C'est la forme ordinaire de l'in-

^ 2pq

version du célèbre théorème de Jacques Bernoulli, qui f)eut s'énoncer ainsi : on tire p -{- q billets d'une urne qui en renferme une infinité, le rapport du nombre de billets blancs au nombre des noirs étant celui de p à g ; la probabilité que le rapport à p -f g du nombre des billets blancs tirés sera

compris entre les deux limites — ; — + (>> est la même que

celle que nous venons de déterminer, P. Dans les deux cas, les nombres p et g sont supposés très grands, et il est essentiel d'observer que P conserve la même valeur en même temps que le produit oj \/p , regardé comme fini.

Voici quelques autres résultats : on a observé à Paris, du commencement de l'année 1 745 à la fin de 1 784, 393386 naissances masculines, contre 377555 féminines ; la pro-

habilité que la possibilité de naissance d'un garçon surpasse

■X est 1 — \i ' ^i^ désignant par N un certain nombre fort

grand qui a 73 chiffres à sa partie entière.

Les faits et leurs conséquences sont partout les mêmes en Europe ; cependant, à Vitteaux, en Bourgogne, on a observé d'après Bufîon, les naissances de 203 garçons et 212 filles en cinq ans ; la même probabilité que cidessus est alors -y environ ; elle n'est pas assez petite

pour [balancer l'analogie qui nous porte à penser qu'à Vitteaux, comme dans toutes les villes où l'on a observé un nombre considérable de naissances, la possibilité des naissances des garçons l'emporte sur celle des naissances des filles] : ce n'est qu'en se multipliant que les événements nous découvrent leurs probabilités respectives. Sur le même sujet, Laplace résout encore des problèmes plus difficiles tels que celui-ci. Le rapport observé des naissances des garçons à celles des filles est un peu plus grand à Londres qu'à Paris, ce qui semble indiquer une cause constante de cette différence ; Laplace détermine la prohabilité de cette cause, et la trouve très grande ; il est ainsi amené à rechercher la raison de la différence observée, que l'on ne doit pas attribuer au hasard, et elle lui apparaît dans ce fait que les parents des campagnes environnantes, trouvant avantage à retenir près d'eux les enfants mâles, en avaient envoyé à l'hospice des enfants trouvés de Pans, un nombre moindre que celui qui correspond au rapport des naissances des deux sexes.

Il cherche aussi la probabilité que la supériorité du nombre des naissances masculines se maintiendra pendant

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un'temps donné, par exemple dans l'espace d'un siècle^ etc.

Dans le Mémoire sur les suites (M. A. S. P., 1779-82), on trouve, à côté d'autres sujets moins importants, une première exposition du calcul des fondions génératrices. Laplace a toujours accordé une grande importance à cette théorie, et il a voulu lui ramener un peu artificiellement bien des questions dont la solution directe est au moins aussi simple. On trouve dans ce mémoire, comme dans le livre I de la Théorie analytique qui en est le développement, de nombreuses obscurités et imprécisions ; dans le quatrième supplément de la Théorie analytique, Laplace luimême revient sur certains problèmes traités dans le corps de l'ouvrage, [dont la solution n'est nullement rigoureuse], la marche suivie n'ayant pu réussir que grâce à des circonstances particulières. Quelques mots de ce supplément autorisent d'ailleurs à penser que son fils n'était pas étranger à cette rectification.

Il paraît assez simple d'écarter toute difficulté de la conception des fonctions génératrices, qui est double en réalité.

1° soit une fonction y^ définie pour toutes les valeurs entières de l'indice x comprises entre des limites quelconques données ; la fonction génératrice de y, est -t/i**, en appelant t une variable arbitraire. Une étude féconde est celle des relations linéaires et homogènes à coefficients constants qui existent entre les y, indépendamment de leur nature. Une telle relation ne peut que se réduire à une identité si on la développe complètement : mais la façon dont les termes y sont groupés peut conduire à d'importantes conséquences, en fournissant par exemple diverses formules d'interpolation. Sous ce point de vue, le calcul des fonctions

génératrices peut être remplacé par le calcul symbolique : substituant partout '^' a y,, toute relation de la nature susdite conduira à une identité de même forme entre les puissances de C2, et réciproquement.

2° En supposant que l'indice x prenne toutes les valeurs entières non négatives, on peut utiliser avec avantage dans certaines questions la fonction génératrice u de y^, mais à la condition qu'elle ait un sens (au moins pour certaines valeurs de t), alors que précédemment ce n'était qu'une représentation purement formelle. S'il en est ainsi, la fonc-

tion génératrice de i/x+j sera — - — ; celle de xtjx sera

du t -!- ; etc, dt

Ces notions s'étendent immédiatement aux fonctions Ux'x- •••. à plusieurs indices ; dans le premier cas, il faut les remplacer par c;* o'"' ...

Pour comprendre comment elles permettent l'intégration d'une classe étendue d'équations aux différences finies, appliquons-les à l'équation déjà rencontrée à propos du problème des partis :

yx.x' — -jî/x—i.x' + Y yx.x'-\ ;

quelle que soit l'origine de cette équation, il faut, pour définir complètement la solution, se donner par exemple les valeurs des i/^O. et t/o.x'. les indices xetx^ étant positifs: dans le cas actuel, on a évidemment y^o ~ 0. Vox' ^^ ' • La méthode symbolique donne la relation :

2(S'J = o -|- es',

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que Laplace appelle Véquation génératrice de l'équation donnée ; et le problème consiste à exprimer, grâce à cette relation, le produit 'f'^'f'''' en fonction linéaire des puissances 'i* et 'i'»', séparément : il suffit à cet effet d'écrire :

de développer le second membre suivant les puissances

de 2'j.' — 1 , et de remplacer 2'>5' — 1 par ■= r , lorsque

l'exposant de ces puissances est négatif.

D'autre part, si u est la fonction génératrice de y, ,, et si l'on fait / = -t/x,o i', /' = -Uo^' t'^', en supposant de plus t/O.o = 0. puisque cette valeur n'intervient pas, on a immédiatement :

et tout revient à développer cette fonction suivant les puissances de / et /' ; dans le problème particulier considéré, on a d'ailleurs / = 0, /' = f' + t'2 + /'3 -f ... .

On peut voir dans une lettre de Laplace à Lagrange du 3 février 1 778 une première ébauche de ce procédé.

L'application de la première méthode est restreinte au cas des équations linéaires homogènes à coefficients constants ; celle de la seconde embrasse des cas plus étendus, sans grande utilité : ce fait et les explications données cidessus expliquent suffisamment pourquoi la théorie des fonctions génératrices a été vite abandonnée.

On doit noter encore que dans ce mémoire, Laplace rattache au calcul des fonctions génératrices les formules qui relient les différences finies et les dérivées, aussi bien

que les intégrales et les sommes finies d'une fonction ; ces formules, qui découlent immédiatement du calcul symbolique, avaient été indiquées par Lagrange, qui semblait en regarder la démonstration directe comme difficile ; Laplace est revenu plusieurs fois sur [cette analogie très remarquable entre les puissances positives et les différences, et entre les puissances négatives et les intégrales] ; ses premières recherches à ce sujet forment la troisième partie du Mémoire sur linclinaison moyenne des orbites des comètes, sur la figure de la Terre et sur les fonctions, dont nous avons déjà parlé.

Enfin, Laplace est amené par la théorie des fonctions génératrices à compléter des recherches antérieures sur l'intégration des équations aux dérivées partielles : nous reviendrons plus loin sur ce sujet. Ajoutons seulement qu'en transportant aux différences infiniment petites certaines remarques sur une équation particulière aux différences finies partielles, il parvient à s'assurer [d'une manière incontestable que, dans le problème des cordes vibrantes, on peut admettre des fonctions discontinues, pourvu qu'aucun des angles formés par deux côtés contigus de la figure initiale de la corde ne soit fini ; d'où il me paraît que ces fonctions peuvent être généralement employées dans tous les problèmes qui se rapportent aux différences partielles, pourvu qu'elles puissent subsister avec les équations différentielles et avec les conditions du problème.] En dire plus long sur cette question qui a tant divisé les géomètres de la fin du XVIII^ siècle, nous entraînerait trop loin.

Dans le long Mémoire sur les approximations des formules qui sont fonctions de très grands nombres (M. A. S. P., 1782- 85 et 1783-86), Laplace approfondit la méthode que nous avons analysée brièvement ; il l'étend à des intégrales doubles, et reprend les problèmes dont nous avons déjà

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parlé. Mais en Outre, de nouvelles réflexioris l'oht conduit à d'Importantes généralisations ; il observe que [souvent des fonctions différentielles d'une forme très simple et qui renferment des facteurs élevés à de grandes puissances, produisent par leur intégration des fonctions très composées, ce qui donne lieu de penser que toute fonction composée est réductible à de semblables intégrales, qu'il ne s'agira plus ensuite que de convertir en séries convergentes.] Guidé par cette pensée, il cherche à intégrer les équations aux différences finies ou infiniment petites à l'aide d'intégrales définies, et obtient ainsi une méthode extrêmement remarquable dont nous pouvons indiquer le principe en quelques mots, nous bornant au cas simple où son succès est pratiquement assuré.

Soit une équation de la forme :

A et B étant deux fonctions linéaires et homogènes à coefficients constants de y,, yx+ I. yx + 2. — ï/x+ n- Cherchons une solution de la forme :

^x= y^i*-' cpjf.

désignant une fonction de la seule variable t, et l'Intégrale étant prise suivant un chemin déterminé, indépendant de x, dans le plan qui sert à représenter la variable complexe t. En appelant P et Q deux polynômes en t, l'équation prend la forme :

et si l'on détermine es par l'équation différentielle

dt

il suffira de choisir le chemin d'intégration de façon que la fonction Q/»-^ prenne les mêmes valeurs à ses deux extrémités, l'expression de y, étant finie non nulle. On peut d'ailleurs observer que l'équation qui détermine o a un rapport étroit avec celle que l'on trouverait pour déterminer la fonction génératrice de y, : ce qui permet à Laplace de regarder cette méthode et même celle d'approximation des fonctions de grands nombres comme une seconde branche du calcul des fonctions génératrices.

Le même procédé s'applique aux équations différentielles Iméaires homogènes proprement dites, nommées équations de Laplace, dont les coefficients sont linéaires par rapport à la variable indépendante x ; mais alors il vaut mieux

prendre la fonction inconnue sous la férrrie

/ e** odt

Bien entendu, Laplace ignore la notion d'intégration entre limites imaginaires, et ne manque pas d'en éprouver des difficultés, qu'il ne peut tourner qu'à l'aide d'ingénieux artifices sur lesquels nous avons déjà attiré l'attention.

Comme nouvelle application, on trouve dans ce mémoire la solution numérique d'un problème dont Laplace avait donné la solution analytique dès le début de ses recherches : quelle est la probabilité P que tous les numéros d'une loterie composée de n numéros, seront sortis après p tirages portant chacun sur q numéros ? Dans le cas simple de g = 1 , déjà traité par Moivre, on a :

nP

124 l'œuvre scientifique de laplace

A étant la caractéristique des différences finies, et la variable s, dont l'accroissement est l'unité, devant être supposée nulle à la fin du calcul. Mais cette expression si simple d'appcirence conduit à des calculs impraticables si n et p sont grands ; et il serait plus difficile encore d'en tirer le nombre p qui répond à une valeur donnée de P ; pour

n - 10000, P = 1 , on trouve p = 95767,4

Laplace est revenu sur le même sujet dans les additions à la Théorie analytique ; mais, comme dans tant d'autres cas analogues, son analyse reste peu satisfaisante. Cauchy a repris la question d'une façon rigoureuse dans un de ses premiers travaux, présenté à l'Institut en janvier 1815, mais imprimé seulement en 1841.

Le mémoire Sur les naissances, les mariages et les morts à Paris, depuis 1771 jusqu'en 1784, et dans toute l'étendue de la France, pendant les années 1781 et 1782 (M. A. S. P., 1783-86) paraît inspiré d'un ouvrage sur la population dû à un certain Moheau, qui n'est très probablement autre que le célèbre Auget baron de Montyon. Laplace communique d'abord les statistiques annoncées par le titre, car [la population est un des plus sûrs moyens de juger de la prospérité d'un empire, et les variations qu'elle éprouve, comparées aux événements qui les précèdent, sont la plus juste mesure de l'influence des causes physiques et morales sur le bonheur ou sur le malheur de l'espèce humaine. ... Ces recherches tiennent de trop près à l'histoire naturelle de l'homme pour être étrangères à l'Académie ; elles sont trop utiles pour ne pas mériter son attention.]

Mais il se propose surtout de déterminer le facteur p>ar lequel il faut multiplier le nombre annuel des naissances pour avoir la population. Il fait voir la nécessité d'employer

de grands dénombrements pour obtenir ce facteur, afin d'éliminer l'influence des causes variables. On choisira donc un grand nombre de paroisses dans toutes les provinces du royaume ] pour y déterminer le rapport de la population aux naissances, d'une manière d'autant plus précise que le dénombrement sera plus considérable. Le calcul montre que pour avoir une probabilité de mille contre un de ne pas se tromper d'un demi-million dans l'évaluation de la population de la France, il faut porter le dénombrement à un million d'habitants environ.

Revenant sur la question dans la Théorie analytique, Laplace nous apprend que le gouvernement a bien voulu, à sa prière, donner des ordres pour avoir avec précision les données nécessaires à la solution du problème ainsi posé. Dans trente départements, distribués de manière à compenser la variabilité des climats, on a fait choix des communes dont les maires, par leur zèle et leur intelligence, pouvaient fournir les renseignements les plus précis. Le dénombrement exact des habitants de ces communes s'est fait le 22 septembre 1 802, et a porté sur un peu plus de deux millions d'individus.

Il faut compter un intervalle de vingt-cinq ans avant de retrouver un nouveau travail de Laplace sur le Calcul des probabilités, si du moins l'on excepte la dernière leçon aux Ecoles normales, qui est le sommaire de l'Introduction à la Théorie analytique. Dans le Mémoire sur les approximations des formules qui sont fonctions de très grands nombres et sur leur application aux probabilités (M. I. N., X, 1809-10, avec un supplément), il considère d'abord l'expression de Ap (s — py, soit :

sp — C'p (s — 1> + Cp2 (s — 2)p — ... ,

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arrêtée au moment où les quantités élevées à la puissance p cessent d'être positives ; c'est d'une telle expression que dépend, nous l'avons vu, la solution du problème de l'inclinaison moyenne des orbites des comètes. La difficulté que présente le calcul approché de cette formule a longtemps arrêté Laplace ; il est enfin parvenu à la vaincre, en envisageant le problème sous un pomt de vue nouveau, qui l'a conduit à la solution pour le cas général où les facilités des inclinaisons suivent une loi quelconque. Ce problème est identique avec celui dans lequel on cherche la probabilité que la moyenne des erreurs d'un' grand nombre d'observations sera comprise dans des limites données ; et par suite Laplace est amené ainsi à la question des erreurs, dont il donne une S( lution générale tout à fait remarquable, que nous analyserons un peu plus loin. Mais comme la formule qui donne Ap (s — p)p est d'un grand intérêt par ellemême, il en cherche encore des démonstrations directes, qu'il reprendra dans la Théorie analytique et ses additions. Dans le Mémoire sur les intégrales définies et leur application aux probabilités, et spécialement à la recherche du milieu, qu il faut choisir entre les résultats des observations (M. L N., XI (K® partie), 1810-11), Laplace revient sur la théorie des fonctions génératrices, qui contient la méthode d'Arbogast, les facultés de Kramp, les fonctions inexplicables d'Euler ; il y rattache aussi le passage du fini à l'infiniment petit, qui a conduit Fermât au calcul différentiel, et il développe à ce sujet cette pensée : [Les résultats transcendants de l'analyse sont, comme toutes les abstractions de l'entendement, des signes généraux dont on ne peut déterminer la véritable étendue qu'en remontant par l'analyse métaphysique aux idées élémentaires qui y ont conduit, ce qui présente souvent de grandes difficultés ; car l'esprit humain

en éprouve moins encore à se porter en avant qu'à se replier sur lui-même.]

Le calcul des fonctions génératrices est le fondement de la théorie que Laplace se propose de publier bientôt sur les probabilités, et dont il explique le plan de la façon suivante : [Les questions relatives aux événements dus au hasard se ramènent le plus souvent avec facilité à des équations aux différences : la première branche de ce calcul en fournit les solutions les plus générales et les plus simples. Mais, lorsque les événements que l'on considère sont en très grand nombre, les formules auxquelles on est conduit se composent d'une si grande multitude de termes et de facteurs, que leur calcul numérique devient impraticable.. Il est alors indispensable d'avoir une méthode qui transforme ces formules en séries convergentes. C'est ce que la seconde branche du calcul des fonctions génératrices fait avec d'autant plus d'avantage que la méthode devient plus nécessaire. Par ce moyen, on peut déterminer avec facilité les limites de la probabilité des résultats et des causes, indiqués par les événements considérés en grand nombre, et les lois suivant lesquelles cette probabilité approche de ses limites, à mesure que les événements se multiplient. Cette recherche, la plus délicate de la théorie des hasards, mérite l'attention des géomètres par l'analyse qu'elle exige, et celle des philosophes en faisant voir comment la régularité finit par s'établir dans les choses même qui nous paraissent entièrement livrées au hasard, et en nous dévoilant les causes cachées, mais constantes, dont cette régularité dépend.]

Après ces considérations générales, Laplace aborde l'étude d'un certain nombre d'intégrales définies (dénomination introduite par lui-même dans son Mémoire sur les mites), non point par simple jeu d'analyse, mais en raison de leur

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grande utilité dans la théorie des probabilités ; il a déjà calculé antérieurement quelques-unes de ces intégrales, mais d'une façon moins directe ; d'autres sont nouvelles, ou bien viennent d'être envisagées par Poisson.

Enfin il fait l'application des résultats obtenus à différents problèmes intéressants et difficiles, mais surtout à la théorie des erreurs, que nous allons expliquer et résumer maintenant aussi brièvement et aussi simplement que possible, d'après l'ensemble des recherches qu'il y a consacrées.

En nous limitant à un cas suffisamment général, considérons d'abord les différents nombres de la forme no), n prenant toutes les valeurs entières depuis a jusqu'à to. On prend p de ces nombres au hasard, dans p épreuves différentes, njO), n,(o, ..., npco, et l'on suppose que la probabilité de prendre nco est la même à chaque épreuve, soit 7r(n). Envisageons alors la somme S de ces nombres multipliés respectivement par des coefficients donnés v^, y^, ... yp, et en regardant les "k comme des fractions ordinaires de même dénominateur v, cherchons la probabilité Q que

la somme b ait une valeur donnée — , s étant un entier. Si l'on pose

Xk = ïrn(n)r.'Tkn (n = a, a + 1 , ..., '^), puis

X = X| X2 X3 ... Xp, Q est manifestement le coefficient de f^ dans le développement de X, et par suite, si l'on fait t = e ~ ' , on a

LTZ ! — -

Supposons alors m infiniment petit, mais aïo, [ico, finis, égaux ka,b; en faisant mo = x, la probabilité m (n) devient infiniment petite de la forme to'z, (x) ; et si l'on regarde x comme une erreur d'observation, la fonction '^{x) définit la loi de facilité de cette erreur.

En changeant 0 en — , on a maintenant

X^^ r o{x)f'^^dx,

et la probabilité que la somme S ou ^^\x]c sera comprise entre deux nombres donnés Si et S2 est exactement

p= ' / dS 1 Xt-^dh.

L'intégrale de '^(x) dx, entre les limites a et b, est nécessairement égale à l'unité, et l'on en déduit que le module de la fonction X est maximum pour G = 0, prenant alors pour valeur l'unité ; si donc p est grand, il suffira d'étendre aux petites valeurs de 9 l'intégrale relative à cette variable pour avoir une expression asymptotique de P. En appelant g, g\ ... les valeurs moyennes ou probables de X, x^, ..., faisons aussi

de façon qu'on ait le développement en série

log X - - G'02 ... + \/ - I (GO - ...) ;

on vérifie que la quantité G' est nécessairement positive, et en appelant maintenant — i^ la partie réelle de log X, on a