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pour P un développement asymptotlque dont la F>artie principale s'obtient scins peine sous la forme définitive

en faisant

C'est amsi que pour obtenir une valeur asymptotique de la formule indiquée précédemment comme solution du problème de l'mclinaison moyenne des orbites des comètes tel que nous l'avons posé, il suffit de prendre pour limites de l'intégrale P

Telle est la formule extrêmement remarquable qui sert de base à la théorie des erreurs de Laplace : le point essentiel est que sa forme est indépendante de la fonction '^{x), mais le nombre p doit être supposé grand. Il faut observer d'ailleurs que cette formule n'est vraiment une valeur asymptotique que si l'une au moins des limites t\, ti n'est pas très grande en valeur absolue ; dans le cas contraire, elle indique simplement que la probabilité P est très petite ou très voisine de l'unité, suivant que i\ et <2 sont de même signe ou non, et cela permet de l'accepter dans tous les cas.

Si l'on cherche la probabilité que la somme S sera comprise entre les deux limites S© f s, et que l'on regarde d'abord s comme une constante, cette probabilité sera maxima pour Sq ~ G ; la valeur la plus probable de S est

égale à G, c'est-à-dire à sa valeur moyenne ou probable.

La probabilité Po que la somme S est comprise entre

G + * reste la même si l'on fait [varier à la fois p et s,

s mais de façon que le rapport / — reste le même. C'est la

règle que connaissait déjà Fourier faisant mesurer par des soldats chacune des 203 marches de la pyramide de Chéops, et annonçant que l'erreur commise sur chaque marche ne serait multipliée que par 14, quand on ferait la somme des résultats.

Si l'on fait varier la fonction (^(x), on voit encore que la probabilité Pq restera la même lorsque S variera proportion-

nellement à y G' ; la quantité "7^, peut donc être considérée comme le module de la probabilité de la valeur G pour S, et l'on peut appeler r=r, le poids de cette valeur : cette dénomination, introduite par Laplace dans le premier supplément à la Théorie analytique est facile à justifier.

Montrons maintenant comment ce qui précède s'applique à la théorie de la combinaison des observations. Soit une quantité inconnue z déterminée par un grand nombre p d'équations de la forme

OfcZ = èk + JTk .

ce qui veut dire qu'on a observé la grandeur atz, et que l'observation a donné le résultat b^ avec une erreur x^. Pour calculer z, on a les équations incompatibles :

a^^z = oi{ , que l'on réduit à une seule en les multipliant par des facteurs constants pt, et ajoutant, ce qui donne la valeur

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zq = ïpkik ,

si l'on établit entre les pt la relation i^pt^k ~ 1 • Les facteurs pk sont choisis constants, afin d'éviter les calculs impraticables : mais c'est là une hypothèse arbitraire.

L'erreur commise sur zq est S = -pk^k-

Supposons les erreurs x]^ comprises entre — a et -f- a, et que la fonction '^(a:) qui définit la loi de leur facilité soit paire. D'après les notations précédentes, on a ici :

G = 0, G' = -1 §'lp2,, s' = /' --.^-f (x) dx .

La valeur la plus probable de l'erreur S est alors zéro, et si l'on fait varier le système des facteurs pk. la probabilité que cette erreur sera comprise entre des limites données ■+ s sera maxima si G' est minimum. On aura donc la détermination la plus avantageuse de zq en rendant minima la somme y^p]?, ce qui revient, comme on le voit sans peine, à rendre minima la somme des carrés des erreurs apparentes, ou résidus, -(oit^o — ^k)^-

Autrement encore, en se plaçant à un point de vue déjà indiqué, les erreurs prises en valeur absolue sont assimilables à une perte au jeu, et il convient de rendre minimum le désavantage total, c'est-à-dire la valeur probable de l'erreur prise en valeur absolue ; et comme la probabi-

lité de l'erreur S est ici /— p> ^ ''^ . ce désavantage total

est égal à

de sorte qu'il faut encore rendre minimum le coefficient G'.

Il en serait absolument de même si l'on prenait pour mesure de la perte une puissance quelconque de la valeur absolue de l'erreur ; mais si l'on choisit en particulier la seconde puissance, comme l'a fait Gauss plus tard dans sa seconde méthode pour la combinaison des observations, le résultat est encore valable sans qu'il soit nécessaire de supposer grand le nombre total des observations. C'est là un point fondamental qu'il a manqué à Laplace de voir.

Après avoir déterminé de la meilleure façon la valeur de z, il ne reste plus qu'à en apprécier la précision ; à cet effet, Laplace égale pg , valeur probable de la somme des carrés des erreurs, à la somme des carrés des erreurs apparentes, ou résidus ; il en a le droit, parce que le nombre p est grand. En fait, si l'on applique les mêmes principes, en laissant p quelconque, on doit prendre

mais il faut ajouter que si p est petit, cette application devient d'une légitimité douteuse.

L'analyse précédente s'étend sans difficultés au cas où l'on doit déterminer plusieurs inconnues à l'aide d'équations linéaires en nombre surabondant.

11 ne faut pas perdre de vue que dans toute cette théorie, on suppose les observations non faites encore. Mais si les observations sont faites, on ne peut déterminer les meilleures valeurs à adopter pour les inconnues, quel que soit le point de vue où l'on se place, sans connaître la loi de l'erreur des diverses observations, et faute de cette connaissance, il faut s'en tenir au résultat le plus avantageux déterminé a priori.

Nous en avons assez dit pour faire comprendre comment Laplace a été conduit à la méthode des moindres

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carrés, déjà proposée par Legendre et par Gauss : [Cette méthode... qui jusqu'à présent ne présentait que l'avantage de fournir sans aucun tâtonnement les équations finales nécessaires pour corriger les éléments, donne en même temps les corrections les plus précises.] Legendre, en effet, l'avait indiquée le premier sans justification et, suivant ses propres paroles, «comme un moyen facile, qui établit entre les erreurs une sorte d'équilibre qui, empêchant les extrêmes de prévéJoir, est très propre à faire connaître l'état du système le plus proche de la vérité. «

Pour Gauss, la méthode des moindres carrés est une conséquence immédiate de la loi bien connue qu'il adopte a priori pour la facilité des erreurs dans sa première théorie de la combinaison des observations. Nous avons déjà noté la répugnance de Laplace pour cette loi, qu'il analyse cependant en détail, mais qu'il ne regarde comme applicable que dans le cas où différentes séries d'observations ont déjà fourni différentes valeurs moyennes pour une même quantité inconnue, car la loi des erreurs de ces moyennes est alors celle de Gauss ; il en est ainsi par exemple des différentes valeurs que l'on trouve pour un angle mesuré au cercle répétiteur. Dans ces conditions, la méthode des moindres carrés [qui n'est qu'hypothétique lorsqu'on ne considère que des résultats donnés par une seule observation ou par un petit nombre d'observations, devient nécessaire lorsque les résultats entre lesquels on doit prendre un milieu sont donnés chacun par un très grand nombra d'observations, quelles que soient d'ailleurs les lois de facilité des erreurs de ces observations. C'est une raison pour l'employer dans tous les cas.] ^^i Ajoutons enfin que laplace a encore attiré l'attention sur le cas où l'erreur d'un résultat aurait des sources différentes.

ainsi qu'il arrive quand on déduit la longitude d'une planète de deux observations non comparables, l'une d'ascension droite, l'autre de déclinaison.

Nous avons déjà signalé le dernier travail publié par Laplace dans les recueils de l'Académie des Sciences, intitulé : Mémoire sur le développement de l'anomalie vraie et du rayon vecteur elliptique, en séries ordonnées suivant les puissances de l'excentricité (M. A. S., VI, 1823-27). 11 y détermine pour la première fois le rayon de convergence de ces séries, par un procédé extrêmement original et ingénieux, qui se rattache directement à la théorie des valeurs asymptotiques ; sans doute sa démonstration ne nous découvre pas les raisons profondes des choses, telles que nous nous flattons de les connaître aujourd'hui d'après les théories générales de Cauchy sur les fonctions analytiques : mais elle n'en mérite peut-être que davantage l'admiration, surtout si l'on songe que Laplace avait alors plus de soixante-quinze ans.

Parmi les quelques notes sur le calcul des probabilités que Laplace a msérées dans la Connaissance des Temps, nous en signalerons seulement deux. La première. Sur les comètes, se trouve dans le volume pour 1816 ; Laplace accepte comme la plus vraisemblable l'hypothèse d'Herschel sur l'origine des comètes ; elle [consiste à les regarder comme de petites nébuleuses formées par la condensation de la matière nébuleuse répandue avec tant de profusion dans l'univers. Les comètes seraient ainsi, relativement au système solaire, ce que les aérolithes sont par rapport à la Terre, à laquelle ils paraissent étrangers.] Admettant donc que les comètes viennent de l'infini pour tomber dans la sphère d'activité du Soleil, il trouve, par le calcul des probabilités, qu'il y a au moms 56 à parier contre l'unité que sur cent comètes observables, aucune ne décrira une hyperbole sensible.

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c'est-à-dire dont le demi-axe transverse serait inférieur à cent fols la distance moyenne du soleil à la Terre. Mais toute cette théorie prête à de nombreuses objections.

La seconde note est intitulée : Sur l'application du calcul des probabilités à la philosophie naturelle ; insérée dans le volume pour 1818, elle avait été lue à la première Classe de l'Institut le 18 septembre 1815. Elle est consacrée à la théorie des erreurs, et se retrouve en substance dans le premier supplément de la Théorie analytique.

Il est impossible de mieux exposer les principes qui doivent régler les observations que dans le passage suivant : [Il faut varier les circonstances des observations, de manière à éviter les causes constantes d'erreur. Il faut que les observations soient rapportées fidèlement et sans prévention, en n'écartant que celles qui renferment des causes d'erreur évidentes. Il faut qu'elles soient nombreuses, et qu'elles le soient d'autant plus qu'il y a plus d'éléments à déterminer ; car le poids du résultat moyen croît comme le nombre des observations divisé par le nombre des éléments. Il est encore nécessaire que les éléments suivent, dans ces observations, une marche différente ; car, si la marche de deux éléments était rigoureusement la même, ... ils ne formeraient qu'une seule inconnue, et il serait impossible de les distinguer par ces observations. Enfin, il faut que les observations soient précises, afin que leurs écarts du résultat moyen soient peu considérables. Le poids du résultat est par là beaucoup augmenté, son expression ayant pour diviseur la somme des carrés de ces écarts. Avec ces précautions, on pourra faire usage de la méthode précédente, et déterminer le degré de confiance que méritent les résultats déduits d'un grand nombre d'observations,]

Comme application, il trouve qu'il y a environ un million

à parier contre un que la valeur . p.^y/^ ^r • trouvée par Bouvard pour la masse de Jupiter, à la suite de son immense travail sur la mise en nombres de la théorie de Jupiter et de Saturne, n'est pas en erreur d'un centième de sa propre valeur, [ou, ce qui revient à fort peu près au même, qu'après un siècle de nouvelles observations ajoutées aux précédentes et discutées de la même manière, le nouveau résultat ne différera pas du précédent d'un centième de sa valeur,] Citons J. Bertrand à ce sujet :

C'est 999308 francs, ni plus ni moins, que l'on peut risquer contre un franc. On aurait eu tort de parier dix sous : on les aurait perdus.

Poisson pense que l'erreur résulte de quelques termes fautifs dans la théorie ou l'application, et Poinsot, toujours caustique, ajoutait qu'après avoir calculé la probabilité d'une erreur, il faudrait calculer la probabilité d'une erreur dans le calcul. Mais ces boutades n'enlèvent rien à la valeur des principes ; l'aventure, qui n'est d'ailleurs pas isolée dans l'histoire de la détermination des constantes astronomiques ou physiques, montre seulement notre impuissance à prévoir toutes les causes d'erreur, constantes ou accidentelles, et qu'il ne faut pas demander aux observations comme aux principes plus qu'ils ne peuvent donner.