L'EXPOSITION DU SYSTÈME DU MONDE

Avant de donner le sommaire des grands ouvrages de Laplace, il nous reste à passer en revue les principaux travaux qu'il a publiés sur des sujets qui ne se rattachent pas directement à la mécanique céleste ou à la théorie des probabilités. Le premier de ces travaux, probablement encore un de ceux qu'il avait présentés à l'Académie dès son arrivée à Paris, se trouve dans les Nova acta eruditoram (Leipzig, 1771) ; écrit entièrement en latin, il est intitulé : Disquisi" tiones de Calcula integrali, et consacré à l'étude des solutions singulières des équations difïérentlelles, sur lesquelles Euler avait attiré le premier l'attention en 1756 ; quelques-uns des résultats en sont indiqués brièvement à la fin du Mémoire sur la probabilité des causes par les événements.

Dans le Mémoire sur les solutions particulières des équations différentielles (M. A. S. P.. 1 772, Ke partie,-75), Laplace

reprend ce sujet avec des développements plus étendus ; il énonce ainsi le problème à résoudre : Etant donnée une équation différentielle d'un ordre quelconque, d'un nombre quelconque de variables, et dont on ne connaît point l'intégrale complète : 1 ° déterminer si une équation d'un ordre inférieur qui y satisfait est comprise ou non dans son mtégrale générale ; 2^ déterminer toutes les solutions singulières de cette équation différentielle. Mais il est inutile d'insister sur sa méthode qui ne correspond plus aux idées modernes ; il n'est d'ailleurs jeimais revenu sur ce sujet.

Le mémoire intitulé : Recherches sur le calcul intégral aux différences partielles (M. A. S. P.. 1773-77), lu en 1773. et dont quelques résultats avaient été déjà imprimés eux aussi à la fin du Mémoire sur la probabilité des causes par les ëoénements. est demeuré au contraire comme l'un des plus beaux travaux de Laplace sur l'analyse ; la méthode qu'il y donne pour intégrer certaines équations linéaires aux dérivées partielles du second ordre est devenue classique, et porte son nom. En le recevant, Lagrange écrit (1®^ septembre 1 777) :

J en suis content au-delà de tout ce que je puis vous dire ; les curticles... renferment autant de découvertes qui font le plus grand honneur à votre génie ; je vous en félicite et j'y applaudis de tout mon cœur.

î ^ Cependant, Condorcet en avait fait un extrait « assez peu juste » dans l'Histoire de F Académie pour 1773, avançant d'ailleurs des choses évidemment fausses.

Dans ce mémoire, Laplace se propose de [donner une méthode pour intégrer, toutes les fois que cela est possible, les équations linéaires aux différences partielles ; cette méthode est fondée sur la forme dont les intégrales de ces équations sont susceptibles : comme la recherche de cette

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forme tient à la métaphysique du calcul, on pourrait craindre ici l'obscurité qui souvent accompagne la métaphysique ; je vais donc faire en sorte de présenter mes idées le plus clairement qu'il me sera possible, et de manière à ne laisser aucun nuage sur un objet aussi intéressant.] Jusqu'ici, on n'a donné que des procédés isolés ; [la méthode suivante, au contraire, en embrassant tous les cas d'intégration, réunit le double avantage de donner les intégrales complètes, lorsqu'elles sont possibles, ou de s'assurer qu'elles sont impossibles.]

En réalité, les considérations métaphysiques qui guident l'auteur, ne sont pas toujours claires, en dépit des efforts annoncés pour dissiper toute obscurité.

Dans le Mémoire sur les Suites déjà analysé, Laplace donne une nouvelle forme à l'intégrale générale de l'équation linéaire homogène aux dérivées partielles du second ordre, et partant de là il développe un certain nombre d'applications intéressantes, et étudie tout particulièrement l'importante équation, due à Lagrange, qui renferme les lois de la propagation du son.

Le Mémoire sur l'usage du calcul aux différences partielles dans la théorie des suites (M. A. S. P., 1 777-80) est consacré à l'étude générale du développement des fonctions en séries. On y trouve en particulier une démonstration restée classique de la célèbre formule de Lagrange, et sa généralisation dans diverses directions : cette formule avait été trouvée par induction, et publiée dans les mémoires de Berlin pour 1769. Laplace revient aussi dans ce travail sur les relations entre les dérivées et les différences, les intégrales et les sommes finies.

Le Mémoire sur la chaleur (M. A. S. P., 1780-84) est dû à la collaboration de Lavoisier et de Laplace, dans des

conditions que nous avons déjà indiquées. Après des réflexions sur la nature de la chaleur, les auteurs décrivent le nouveau moyen qu'ils ont employé pour mesurer la chaleur, c'est-à-dire le calorimètre à glace, et présentent le résultat de leurs expériences ; puis ils en examinent les conséquences, et traitent enfin de la combustion, de la respiration et de la chaleur animale. Mais nous ne nous attarderons pas à l'analyse détaillée de ce mémoire important et très connu : sa place est dans une étude sur l'œuvre de Lavoisier.

Il faut en dire autant du très court Mémoire sur lélectricité qu absorbent les corps qui se réduisent en vapeurs (M. A. S. P., 1781-84) qui provient encore de la collaboration momentanée de Lavoisier et de Laplace. Notons cependant les dernières lignes : [M. de Volta a bien voulu assister à nos dernières expériences et nous y être utile] ; tandis que Volta rapporte dans un de ses mémoires qu'il avait songé dès 1 778 à cette expérience capitale (puisqu'elle peut fournir l'explication de l'électricité atmosphérique), mais que ce fut à Paris seulement, en mars 1 780, qu'elle lui réussit en compagnie de quelques membres de l'Académie des Sciences. Arago conclut qu'il faut associer ici les noms de Volta, de Lavoisier et de Laplace, sans chercher davantage à résoudre une question de priorité qui a beaucoup excité les passions.

Le Mémoire sur les mouvements de la lumière dans les milieux diaphanes (M. \. N., X, 1810), lu le 30 janvier 1808, est inspiré sans aucun doute par des expériences récentes de Wollaston, et surtout de Malus, membre de la Société d'Arcueil et, comme Laplace, partisan déclaré et inébranlable du système de l'émission. Il est intéressant surtout au point de vue de l'histoire des théories de la lumière, et aussi de la chaleur. Il s'agit d'expliquer les différents phénomènes delà

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double réfraction, observés d'abord dans le cristal d'Islande. L'expérience confirme pleinement la loi d'Huygens, déduite par son auteur de la théorie des ondulations ; [il serait bien intéressant de rapporter cette loi à des forces attractives et répulsives, ainsi que Nev^on l'a fait à l'égard de la loi de réfraction ordinaire.] Laplace applique alors le principe de la moindre action à la lumière, et retrouvant la loi d'Huygens à l'aide de quelques autres hypothèses simples, conclut qu'il n'y a [aucun lieu de douter qu'elle est due à des forces attractives et répulsives dont l'action n'est sensible qu'à des distances insensibles.] Comme pour le principe de Fermât, il suffit d'y renverser l'expression de la vitesse pour la ramener au principe de la moindre action. A ce propos, Laplace revendique hautement pour Descartes, contre Snellius, l'honneur de la découverte des lois de la réfraction ordinaire, bien que comme Huygens avec la réfraction extraordinaire, il n'y soit parvenu qu'au moyen de théories incertaines ou fausses.

Dans une note additionnelle, il insiste sur ce que toutes les forces attractives et répulsives de la nature se réduisent, en dernière analyse, à des forces agissant de molécule à molécule ; c'est ce qu'il a montré pour les actions capillaires, et c'est ce qu'il fait voir encore pour les phénomènes que présentent les corps élastiques ; la même considération, [étendue à la chaleur, conduit d'une manière claire et précise aux véritables équations différentielles du mouvement de la chaleur dans les corps solides et de ses variations à leur surface], et lui permet de retrouver les équations auxquelles Fourier vient de parvenir ; enfin, la théorie des actions ad distans de molécule à molécule fournit une démonstration directe du principe des vitesses virtuelles, qui [suppose seulement que les liens immatériels que l'on imagine entre kg

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divers points du système ne sont ni élastiques ni extensibles avec résistance.]

Dans le Mémoire sur divers points d'analyse (Journal de l'École Polytechnique, XV^ cahier, tome VIII, 1809), Laplace revient sur le calcul des fonctions génératrices, sur certaines équations aux dérivées partielles du second ordre, sur le passage réciproque des résultats réels aux résultats imaginaires pour obtenir les valeurs des intégrales définies, sur l'intégration des équations aux différences finies non linéaires ; et dans un dernier article sur la réduction des fonctions en tables, on trouve en particulier l'indication du moyen d'effectuer simplement une multiplication à l'aide d'une table de quarts de carrés, en vertu de l'identité :

xy = -^{x-\-y'^—j{x — y)i.

Les autres recherches de Laplace publiées dans la Con^ naissance des Temps, le Journal de Physique, le Bulletin de la Société philomatique, les Annales de Chimie et de Physique, le Journal des Mines, se rapportent surtout à la théorie des actions capillaires, à celle des fluides élastiques, et à la vitesse du son : nous les retrouverons dans la Mécanique céleste.

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Nous ne nous arrêterons pas longtemps sur l'Exposition du système du monde, dont la première édition remonte à 1 796.

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Sans aucun appareil de formules mathématiques, mais aussi sans développements dithyrambiques trop faciles et rebattus en cette matière, Laplace s'est proposé de faire comprendre atout le monde l'histoire passionnante du ciel, et de montrer comment le prmcipe de la pesanteur universelle suffit à rendre compte des phénomènes les plus délicats que l'observation révèle dans le mouvement des astres : il y a réussi merveilleusement, et il serait superflu de chercher d'autres formules de louange. Il a suivi aussi à travers les âges le développement de l'astronomie, et cette partie de l'ouvrage n est pas la moins intéressante ; suivant l'expression d'Arago, « c'est le génie se faisant l'appréciateur impartial du génie. »

C'est dans l'Exposition que Laplace présente en quelques pages finales sa célèbre hypothèse cosmogonique ; non sans défiance, nous l'avons déjà vu, car ce n'est pas un résultat de l'observation et du calcul. Elle est limitée au système solaire, et sans doute Laplace ignorait les travaux antérieurs de Kant, qui avait étendu à l'univers stellaire ses conceptions si souvent inacceptables ; il dit en effet que Buffon est le seul qui ait essayé de remonter à l'origine des planètes et des satellites, en supposant qu'une comète, tombant sur le Soleil, en a chassé un torrent de matière qui s'est réuni au loin, en divers globes plus ou moins grands et plus ou moins éloignés de cet astre ; ces globes, devenus par leur refroidissement opaques et solides, sont les planètes et leurs satellites.

Mais cette hypothèse n'explique pas les cinq phénomènes suivants dont nous disposons, d'après Laplace, pour remonter à la cause des mouvements primitifs du système planétaire : [les mouvements des planètes dans un même sens et à peu près dans un même plan ; les mouvements des satellites dans le même sens que ceux des planètes ; les

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mouvements de rotation de ces différents corps et du Soleil, dans le même sens que leurs mouvements de projection et dans des plans peu différents ; le peu d'excentricité des orbes des planètes et des satellites ; enfin, la grande excentricité des orbes des comètes, quoique leurs inclinaisons aient été abandonnées au hasard.]

Si l'on veut remonter à la véritable cause de ces phénomènes : [quelle que soit sa nature, puisqu'elle a produit ou dirigé les mouvements des planètes, il faut qu'elle ait embrassé tous ces corps, et, vu la prodigieuse distance qui les sépare, elle ne peut qu'avoir été un fluide d'une immense étendue. Pour leur avoir donné dans le même sens un mouvement presque circulaire autour du Soleil, il faut que ce fluide ait environné cet astre comme une atmosphère. La considération des mouvements planétaires nous conduit donc à penser qu'en vertu d'une chaleur excessive, l'atmosphère du soleil s'est primitivement étendue au-delà des orbes de toutes les planètes, et qu'elle s'est resserrée successivement jusqu'à ses limites actuelles.] C'est le principe de l'hypothèse de la nébuleuse, trop connue pour que nous en poursuivions l'exposition. On sait les développements qu'elle a pris, les discussions qu'elle a suscitées, les nouvelles hypothèses qu'on a voulu lui substituer ; mais, ainsi que le dit H. Poincaré :

Si elle est vieille, sa vieillesse est vigoureuse, et pour son âge elle n a pas trop de rides. Malgré les objections qu on lui a opposées, malgré les découvertes que les astronomes ont faites, et qui auraient bien étonné Laplace, elle est toujours debout ; et c'est encore elle qui rend le mieux compte de bien des faits : c'est elle qui répond le mieux à la question que s'était posée son auteur : pourquoi l'ordre règne-t-il dans le système solaire si cet ordre n'est pas dû au hasard ? De temps en temps une brèche s'ouvrait dans le vieil édifice ; mais elle était promptement réparée, et l'édifice ne tombait pas.