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sens contraire du mouvement et égale à cette force multipliée par le rapport de la vitesse du corps à celle du corpuscule. On trouve amsi que la longitude moyenne d'une planète doit être affectée d'une équation séculaire proportionnelle au carré du temps. Laplace voit là un moyen d'expliquer l'accélération de la longitude de la Lune, révélée par les observations des anciennes éclipses, et qu'il est impossible, d'après d'Alembert et Lagrange, d'attribuer à l'action perturbatrice du Soleil ou des planètes, ou encore de la figure non sphérique de la Terre ou de la Lune. En tenant compte du fait qu'il y aurait aussi une accélération séculaire dans le mouvement de la Terre, Laplace trouve la vitesse du corpuscule 6400000 fois plus grande que celle de la lumière.

Quelque naturelle que puisse être cette explication, il est bien éloigné cependant de l'admettre comme certaine. 11 regarde l'accélération séculaire de la Lune comme bien établie, malgré l'incertitude que laissent sur ce point les recherches de Lagrange ; comme elle ne paraît pas explicable par les seuls principes de la gravitation universelle, dans les suppositions alors reçues, il faut ou faire varier un peu ces suppositions ou recourir à des causes étrangères ; l'hypothèse de l'abbé Bossut, qui admettait dans l'espace un fluide extrêmement rare, donne des résultats satisfaisants : [mais l'existence d'un pareil fluide est fort incertaine, à moins que l'on ne prenne pour ce fluide la lumière du Soleil... car selon toutes les apparences, cette lumière est une émanation de la substance même du Soleil.] Il cri tique à ce propos la théorie ondulatoire de la lumière ; et il annonce, sans donner le calcul, que la lumière ne saurait produire par son impulsion l'équation séculaire de la Lune. 11 examine aussi l'influence de cette lumière sous un autre

point de vue : elle dilate l'atmosphère, et produit ces vents généraux d'Est qu'on observe sous la zone torride, et dont l'action doit sensiblement retarder la rotation de la Terre, ce qui expliquerait d'une manière fort simple l'équation séculaire de la Lune. Mais il déclare avoir trouvé que ce ralentissement de la rotation terrestre ne saurait être sensible ; et aussi qu'il a exammé d'autres hypothèses qui ne lui ont donné que des résultats négatifs.

Après cette discussion, Laplace rentre dans les suppositions ordinairement admises, et va déterminer les inégalités séculaires des planètes. La plus importante de ces mégalités, celle qui affecte les moyens mouvements, ne lui paraît pas avoir été déterminée avec toute la précision nécessaire ; les résultats obtenus à ce sujet par Euler et par Lagrange sont très différents. Laplace s'assure indépendamment de tout calcul que la solution de Lagrange est incomplète, puisqu'elle dépend du plan de référence ; il montre que ses prédécesseurs ont laissé de côté des termes aussi sensibles que ceux qu'ils considéraient, et qu'il ne faut pas négliger les termes à petits coefficients qui deviennent fort grands par l'intégration ; et il observe encore, en renvoyant à un mémoire de Condorcet sur cette matière, que les termes séculaires ne se rencontrent peut-être pas dans l'expression rigoureuse du mouvement des planètes, s'ils sont produits par le développement des sinus et cosinus de très petits angles en série ; mais cette discussion, très intéressante du côté de l'analyse, lui paraît pratiquement inutile.

Le calcul des inégalités séculaires est peu simple, car Laplace fait usage des équations naturelles du mouvement en coordonnées polaires, sans les combiner d'aucune façon ; de plus les forces sont exprimées sans faire intervenir la notion de fonction perturbatrice. Pour les inégalités sécu-

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laires de l'inclinaison et du nœud, il est d'accord avec Lagrange et Euler ; pour celles de l'excentricité et de l'aphélie, avec Lagrange seulement ; mais il trouve une expression nouvelle de l'équation séculaire du moyen mouvement, fort compliquée, bien que les termes du quatrième degré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons soient négligés. En appliquant sa formule au cas de Jupiter et de Saturne, il obtient des résultats absolument nuls ; donc les variations observées dans les moyens mouvements de ces deux planètes, et dont l'existence paraît prouvée, ne sauraient être attribuées à leur action mutuelle, et l'on doit regarder comme très probable qu'elles sont produites par l'action des comètes, celle des satellites étant inadmissible.

Il confirme le résultat obtenu par l'application du principe des aires, donné par le chevalier d'Arcy dans les mémoires de l'Académie pour 1747, qui lui montre que si l'une des équations séculaires est nulle, il doit en être de même de l'autre.

Mais l'exactitude avec laquelle les différents termes de l'expression de l'équation séculaire du moyen mouvement se sont détruits dans le cas de Jupiter et de Saturne, lui a fait soupçonner que cette expression est identiquement nulle ; et c'est ce qu'il a vérifié, en y conservant seulement les deux coefficients linéairement indépendants qui suffisent pour le développement périodique des puissances négatives impaires de la distance des deux planètes. En raison de l'importance de ce résultat, contraire à ce qu'avalent cru jusqu'alors tous les géomètres qui s'étaient occupés de cet objet, il donne les détails du calcul, et en profite pour simplifier les expressions des Inégalités séculaires des autres éléments. Enfin, il calcule numériquement les équations liéculalres de la Terre, Incomplètement déterminées déjà

par Eulei" ; le mouvement de l'apogée du Soleil, connu par les observations, lui sert à trouver la masse de Vénus, et il en déduit la diminution de l'obliquité de l'écliptique due à l'action des planètes. Comme on le voit, ce mémoire est d'une importance capitale, et montre bien la maîtrise extraordinaire dont fait preuve Laplace dès ses premiers travaux.

Nous avons déjà dit comment un mémoire de Lagrange envoyé à l'Académie des Sciences de Paris en 1774, sur les variations des inclinaisons et des nœuds des orbites planétaires, fut pour Laplace l'occasion de reprendre la question des inégalités séculaires en général, pour les mettre sous une forme qui ne soit pas valable seulement pour un temps limité. A la fin de son Mémoire sur les solutions singulières des équations différentielles et sur les inégalités séculaires des planètes (M. A. S. P., 1772, K^ partie, - 75), 11 indique très succinctement ses nouveaux résultats et la méthode d'approximation à laquelle ses recherches l'ont conduit, pour intégrer certaines équations différentielles. Il reprend ensuite toute cette matière dans un mémoire spécial fort étendu, intitulé Recherches sur le calcul intégral et sur le système du monde (M. A. S. P., 1772, 2^ Partie, - 76).

En intégrant par approximations successives les équations du mouvement des corps célestes, [d'une forme si compliquée qu'elles ne laissent aucun espoir de réussir jamais à les intégrer rigoureusement,] on introduit des termes séculaires, ou encore des arcs de cercle dans la solution ; c'est-à-dire que le temps y figure en dehors des signes périodiques. .Après avoir rappelé comment on a réussi à les éviter dans la théorie de la Lune, et comment une « analyse sublime » de Lagrange permet d'étendre ce résultat à la théorie des satellites de Jupiter, Laplace propose une nou-

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velle méthode générale pour faire disparaître les arcs de cercle, lorsque c'est possible, et l'explique d'abord sur quelques exemples. 11 est revenu bien des fois ensuite sur cette méthode extrêmement remarquable, pour en mieux dégager les principes, qu'il avait d'abord sentis plutôt que démontrés ; il semble bien d'ailleurs que Lagrange, à qui il l'avait communiquée, n'en ait pas compris la haute portée. On peut l'exposer en quelques mots de la façon suivante. Soit une équation différentielle telle que :

où P est une fonction entière de x et de -j-' périodique par

at

rapport à certains arguments linéaires en /. Supposons l'intégrale générale obtenue sous la forme

x = X + fY+f2Z+ ...,

les fonctions X, Y, Z, ... dépendant de deux constantes arbitraires Ci, C2, et étant encore périodiques par rapport aux arguments précités, ainsi qu'à d'autres analogues que l'intégration peut introduire. Si l'on admet que sont réalisées les conditions nécessaires pour qu'une fonction ne puisse être développée que d'une seule façon sous la forme donnée ci-dessus à x, il est clair que l'expression

vérifiera encore l'équation proposée, en désignant par 9 une arbitraire quelconque, et par X', Y', Z', ... ce que deviennent X, Y, Z, ... quand on y remplace Q, C2 par deux autres constantes analogues C'i, C'2 : c'est là le point fondamental.

En déterminant convenablement C'i, C2 en fonction de C], C2, 0, on peut rendre identiques les expressions de x et de x' ; mais alors x' sera mdépendant de G, et on pourra donner à 0 une valeur absolument quelconque : si l'on fait 0 ~ t,i\ restera donc

en mettant pour C'i, C'2 les valeurs correspondantes : si celles-ci sont périodiques, on aura réussi de la façon la plus simple à faire disparaître les termes séculaires de l'expression primitive de x.

Pour déterminer C'i, C'2, on peut écrire que la valeur de x' devient indépendante de 0, de sorte que

d^ dCi d^ dC'2 ,^'(.

dC'i dfi ^ dC'z d^ ^ dfi '

et d'après le principe déjà admis, cette équation en fournira plusieurs, toutes compatibles nécessairement, propres à la détermination de C'i, C'2, en ajoutant la condition supplémentaire que ces quantités se réduisent à Ci, C2 pour H = 0.

On voit que cette méthode revient à faire varier les constantes d'intégration, mais qu'elle s'appuie sur des principes bien différents que le procédé généralement connu sous le nom de méthode de la variation des constantes.

En appliquant ses résultats au système d'équations différentielles linéaires qu'il doit rencontrer dans la suite, Laplace est amené à [donner quelques procédés plus simples que ceux déjà connus, pour éliminer entre un nombre quelconque d'équations du premier degré] et expose une intéressante théorie des déterminants, surtout au point de vue de leurs développements en produits de mineurs.

Arrivant enfin à la théorie des planètes, et faisant toujours

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usage des équations naturelles du mouvement, comme dans le mémoire déjà analysé, il détermme toutes les mégalités périodiques du premier ordre par rapport aux masses, du premier degré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons ; il retrouve son théorème relatif à l'invariabilité des moyens mouvements, et fait disparaître les inégalités séculaires en appliquant sa méthode nouvelle ; à propos de l'équation qui détermine les mouvements des arguments séculaires, il fait remarquer combien il serait important de démontrer qu'elle n'a que des racines réelles, afin d'assurer la stabilité de la solution ; et pour le moment, il observe seulement qu il en est bien ainsi dans le cas de deux planètes.

Après l'application numérique des formules trouvées au cas de Jupiter et de Saturne, il termine son mémoire par l'étude des inégalités séculaires que subiraient les éléments d'une planète mue dans un milieu résistant, et les calcule aisément par son procédé.

Dans un court Mémoire sur rintégration des équations différentielles par approximation (M. A. S. P., 1777-80), Laplace revient sur sa méthode pour faire disparaître les arcs de cercle, et envisage aussi la question générale de la variation des constantes, d'un point de vue un peu différent de celui de Lagrange.

Le Mémoire sur la détermination des orbites des Comètes (M. A. S. P., 1780-84) est fort important. Laplace critique d'abord une méthode de Newton, adoptée par plusieurs géomètres, et nécessairement fautive, puisque, supposant je mouvement de la comète rectiligne et uniforme dans l'intervalle de trois observations rapprochées, on détermine cependant la position de ce fragment de trajectoire au moyen (Jos différences secondes des coordonnées géocentriques ;

de sorte qu'on emploie d'un côté des quantités du même ordre que celles que l'on rejette de l'autre. 11 avait déjà fait part de cette remarque à l'Académie, à propos d'un mémoire qui lui avait été présenté sur ce sujet en 1 773, sans pousser alors plus loin ses recherches ; ce sont les travaux récents de Lagrange et de du Séjour qui ont réveillé ses anciennes idées sur cette matière.

Dans cette nouvelle méthode, aujourd'hui reprise, Laplace choisit comme données la longitude et la latitude géocentriques de la comète à une certaine époque, et leurs dérivées premières et secondes par rapport au temps ; il se sert de plusieurs observations pour former ces quantités, et donne d'abord les formules d'interpolation nécessaires à cet objet. Outre l'avantage de corriger ainsi l'influence des erreurs des observations par leur nombre, il y voit celui d'obtenir des formules simples et rigoureuses pour le calcul des éléments : [ici les approximations tombent sur les données de l'observation, et l'analyse est rigoureuse ; au lieu que, dans les méthodes connues, les observations sont supposées parfaitement exactes, et les résultats analytiques ne sont qu'approchés.] La considération des équations différentielles du mouvement de la comète et de celui de la Terre autour du Soleil conduit immédiatement à une équation du septième degré pour déterminer la distance p de la Comète à la Terre, et tous les éléments de l'orbite se déduisent ensuite très facilement de cette distance. Si l'on suppose le mouvement parabolique, on a une nouvelle équation du sixième degré pour déterminer o, et l'on peut profiter de cette surabondance pour laisser de côté celle des données qui paraît la moins certaine.

Lagrange avait trouvé, pour déterminer p, une équation du huitième degré, un peu différente de celle de Laplace ;

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cela tenait à une légère méprise de calcul, signalée par ce dernier dans une lettre du 21 mars 1781, et bien vite reconnue par son auteur.

Laplace résume enfin ses formules avec le plus grand soin, montre comment on peut corriger les résultats à l'aide d'observations suffisamment éloignées, et donne plusieurs applications dont quelques-unes sont dues à Mécham : [Persuadé que l'analyse, lorsqu'elle est convenablement appliquée, peut toujours fournir aux astronomes les méthodes les plus faciles et les plus abrégées pour les calculs numériques, je me suis étudié à leur en offrir un exemple dans ce problème... ; les nombreuses applications qui ont été faites de cette méthode prouvent son utilité.] Il ne faut pas oublier, pour comprendre ces paroles, que les astronomes avaient alors l'habitude de procéder par tâtonnements, souvent sans direction, et s'aidaient volontiers de paraboles de carton pour chercher les orbites des comètes.

Enfin, nous voyons encore que Laplace avait communiqué sa méthode à Pingre pour l'insérer dans son grand ouvrage sur les comètes ; et dans une lettre écrite à cette occasion, nous lisons : [J'ai retourné de toutes les manières possibles l'analyse de ce problème pour parvenir à la solution la plus simple et la plus exacte, et ce n'est qu'après un grand nombre de combinaisons que je me suis enfin arrêté à celle que je vous ai donnée.]

Nous avons déjà dit dans quelles circonstances fut publié en 1784 l'ouvrage intitulé Théorie du mouvement et de la figure elliptique des planètes. La préface est l'histoire et l'apologie de la loi de la gravitation universelle ; on y voit déjà développées la plupart des idées auxquelles Laplace s'est montré toujours fidèle, et que l'on retrouve par la suite dans ses différents ouvrages, chaque fois que l'occasion s'en

présente. On peut signaler cette phrase sur les forces attractives, auxquelles il a constamment voulu ramener toute la Physique : [Dans les corps d'une grandeur peu considérable, la force attractive de la matière est insensible ; elle reparaît dans leurs éléments sous une infinité de formes différentes, et avec une activité si grande qu'il est difficile de croire que ce soit la même force qui fait graviter les corps célestes les uns vers les autres. La solidité des corps, leur cristallisation, la réfraction et la diffraction de la lumière, l'élévation et l'abaissement des fluides dans les tubes capillaires, et généralement toutes les combinaisons chimiques sont le résultat de forces attractives dont les lois n'ont pas encore été bien déterminées... aucun moyen ne paraît plus propre à cet objet que l'équilibre entre les affinités des corps et la force répulsive de la chaleur...!

On reconnaît encore la tendance philosophique de 1 auteur dans ces passages : [On peut accroître de deux manières la probabilité d'une théorie : en diminuant le nombre des hypothèses sur lesquelles elle est fondée, et en augmentant le nombre des phénomènes qu'elle explique... Ainsi nous manquons de moyens pour remonter à la cause de la pesanteur et à l'état primitif du système de la nature, et nous devons nous borner à examiner les effets qui résultent de la disposition présente des corps célestes et de la loi de leur gravitation mutuelle.]

Le but de l'ouvrage est fixé de la façon suivante : [Une des propriétés les plus remarquables de la loi de pesanteur qui a lieu dans la nature, est de terminer les orbites des corps célestes par des lignes du second ordre, et leurs figures par des surfaces du second ordre, du moins lorsqu'on fait abstraction des petites inégalités qui troublent leurs mouvements et leurs figures.] Il en résulte une division naturelle

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en deux parties : la première qui nous intéresse seule actuellement est un exposé très clair des propriétés du mouvement elliptique et parabolique, et même du mouvement parabolique approché ; Laplace y introduit de plus les expressions des inégalités séculaires des planètes, et sa méthode pour déterminer les orbites des comètes. Il faut citer ce qu'il dit de la planète Uranus, découverte par Herschel en mars 1 781 : [Lorsque cette découverte parvint en France, j'appliquai à cet astre, considéré comme une comète, une nouvelle méthode dont j'étais alors occupé ; je trouvai quatre paraboles qui satisfaisaient aux premières observations] ; quelques jours suffirent pour en exclure deux, il fallut un intervalle de quelques mois pour rejeter les autres. Dès le mois d'août 1781 , Laplace soupçonne que l'astre se meut dans une orbite circulaire de très grand rayon : c'est d'ailleurs le président de Saron [qui a reconnu le premier le grand éloignement de cet astre, dont il s'était assuré par des moyens fort ingénieux.] Plus tard, Laplace détermine l'excentricité de l'orbite par une méthode qu'il n'indique pas ; et l'emploi d'une observation de la planète comme étoile par Mayer en 1756 permet le calcul de l'inclinaison et de la longitude du nœud.

Dans une addition placée à la fin de l'ouvrage, nous voyons enfin que Dom Nouet, religieux de l'ordre de Citeaux, et très habile calculateur, a comparé aux tables de la planète formées avec les éléments de Laplace toutes les observations jusqu'à la fin de 1783 ; il en résulte que les erreurs doivent être rejetées en grande partie sur les observations.

Un assez court Mémoire sur les inégalités séculaires des planètes et des satellites (M. A. S. P., 1 784-87) va nous montrer le succès éclatant des efforts de Laplace pour ramener tous les phénomènes célestes à la loi de Newton. Il y retrace

d'abord l'histoire des irrégularités des mouvements de Jupiter et de Saturne, mis en évidence par la comparaison des observations anciennes et modernes. Dans l'impossibilité d'expliquer ces variations par l'action seule des planètes, il avait soupçonné que celle des comètes en était la cause ; mais, en les considérant ensuite avec attention, leur marche lui parut s'accorder si bien avec le résultat de l'action des planètes, qu'il abandonna cette hypothèse ; et il fut amené à penser qu'il existait dans le mouvement des deux planètes une inégalité à très longue période dont il fallait chercher l'origine dans leur configuration. Les termes qui dépendent de l'argument 5 /' — 2 /, en appelant /, /' les longitudes moyennes de Jupiter et de Saturne, pouvant seuls devenir sensibles par les intégrations, quoique du troisième degré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons des orbites, [la probabilité de cette cause et l'importance de cet objet m'ont déterminé à entreprendre le calcul long et pénible nécessaire pour m'en assurer. Le résultat de ce calcul a pleinement confirmé ma conjecture... Il aurait fallu plusieurs siècles d'observations suivies pour déterminer empiriquement ces inégalités, à cause de la longueur de leur période : ainsi, sur ce point, la théorie de la pesanteur a devancé l'observation.]

Après avoir annoncé seulement ce résultat, Laplace parle de la libration des trois premiers satellites de Jupiter, qu'il va expliquer plus loin ; il s'appuie sur cette [règle générale que, SI le résultat d'une longue suite d'observations précises approche d'un rapport simple, de manière que la différence soit inappréciable par les observations et puisse être attribuée aux erreurs dont elles sont susceptibles, ce rapport est probablement celui de la nature] ; mais il n'est pas l'effet du hasard, et l'attraction doit en être la seule cause.

Enfin, un autre point important du système du monde qui reste encore à éclaircir, c'est de savoir si les excentricités et les inclinaisons restent renfermées constamment dans d'étroites limites ; Lagrange a fait voir que cela est vrai pour les planètes, en partant des suppositions les plus vraisemblables sur leurs masses ; mais Laplace va montrer que ce fait est général sous la seule condition que les mouvements soient tous de même sens.

Tel est le sommaire de cet important mémoire.

Pour démontrer les propositions annoncées, Laplace se sert de la fonction perturbatrice, tout comme il vient d'introduire le potentiel dans ses recherches sur la figure de la Terre : mais c'est Lagrange qui, le premier, dans sa pièce sur l'équation séculaire de la Lune, couronnée en 1774 par l'Académie des Sciences, exprima les forces attractives décomposées suivant les directions des coordonnées par les dérivées partielles d'une fonction par rapport à ces coordonnées ; l'introduction de cette fonction dans la mécanique céleste est « à cause de son utilité, une véritable découverte ». Il établit alors l'intégrale des forces vives et celles des aires, et c'est avec leur aide qu'il arrive à son but : ces résultats sont restés classiques, et sont trop connus pour que nous puissions nous y attarder davantage.

C'est dans la Théorie de Jupiter et de Saturne (M. A. S. P., 1785-88, et 1786-88), que l'on trouve développés les calculs relatifs aux grandes inégalités de ces deux planètes. Dans le préambule, il annonce une nouvelle découverte : [Il restait cependant encore un phénomène céleste, l'accélération du moyen mouvement de la Lune, que l'on n'avait pu jusqu'ici ramener aux lois de la pesanteur : les géomètres qui s'en étaient occupés avaient conclu de leurs recherches qu'il ne peut être produit par la gravitation universelle, et, pour l'ex-

pliquer, on avait eu recours à différentes hypothèses, telles que la résistance de l'éther, la transmission successive de la gravité, l'action des comètes, etc. Mais, après diverses tentatives, je suis enfin parvenu à découvrir la véritable cause de ce phénomène. J'ai trouvé que l'équation séculaire de la Lune résulte de l'action du Soleil sur ce satellite, combinée avec la variation de l'excentricité de l'orbite terrestre.] Plus tard, au livre XVI de la Mécanique céleste, Laplace dit encore à ce sujet : [En m'occupant de la théorie des satellites de Jupiter, je reconnus que la variation séculaire de l'excentricité de l'orbite de Jupiter devait produire des équations séculaires dans leurs mouvements moyens. Je m'empressai de transporter ce résultat à la Lune, et je trouvai que la variation séculaire de l'excentricité de l'orbe terrestre produit dans le moyen mouvement de la Lune l'équation séculaire déterminée par les astronomes. Je trouvai de plus que la même cause produit, dans les mouvements du nœud et du périgée de l'orbite de la Lune, des équations séculaires. Je communiquai ces recherches à l'Académie des Sciences le 19 novembre 1787.]

Le mémoire est divisé en trois sections ; les deux dernières sont consacrées à la discussion des observations et à la formation de tables numériques pour la recherche des lieux de Jupiter et de Saturne : elles doivent beaucoup à la collaboration de Delambre. Dans la première section, Laplace établit d'abord les équations du mouvement d un point matériel M, de masse égale à 1 unité, et soumise à l'action d'une fonction de forces U, sous la forme dont il fera toujours usage dorénavant ; si r est le rayon vecteur, et si (dV) désigne la différentielle de U prise en faisant varier seulement les coordonnées de M, on a l'équation fondamentale

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qui permet de calculer directement, ou par approximations successives, la perturbation or du rayon vecteur qui est du premier ordre par rapport aux masses perturbatrices. Une autre équation fort importante fournit dans les mêmes conditions la perturbation analogue of de la longitude dans l'orbite, dont la partie à longue période dépend surtout de

l'intégiale / / (dU) dt ; enfin la latitude au-dessus du plan

de l'orbite primitive de M se détermine encore sans peine par de simples quadratures. Laplace profite de ces équations pour démontrer à nouveau son théorème relatif à la constance des moyens mouvements, que Lagrange avait étendu « par une analyse fort ingénieuse >', en faisant voir qu'il subsiste même en ayant égard aux puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons ; puis il détermine analytiquement toutes les inégalités jusqu'au premier degré inclusivement par rapport à ces mêmes quantités, et donne les moyens nécessaires pour les calculer numériquement. Pour les inégalités de degré supérieur, qui n'avaient jamais été envisagées jusque-là, il se borne à chercher les parties principales de celles qui sont à longue période, c'est-à-dire les parties qui dépendent du carré du petit diviseur correspondant ; ce qui est facile, car [heureusement, la raison qui nous oblige de recourir à ces inégalités simplifie leur détermination.] Il applique ses résultats au calcul analytique des grandes inégalités de Jupiter et de Saturne, et détermine encore plusieurs autres inégalités concomitantes, rendues fort sensibles par le rapport approché de commensurabilité C|ui a lieu entre les moyens mouvements des deux planètes.

Les calculs relatifs à l'accélération du moyen mouvement de la Lune sont contenus dans le mémoire Sur léquation séculaire de la Lune (M. A. S. P., 1786-88), imprimé dans le même volume que le précédent. Nous avons déjà dit comment Laplace fut amené à découvrir enfin la cause di ce phénomène ; mais en même temps, il montre qu'il y a également accélération pour le mouvement du périgée et celui du nœud, et il calcule correctement les premiers termes de ces trois accélérations, en se servant des équations établies dans la théorie de Jupiter et de Saturne ; il termine par quelques comparaisons avec les observations.

Il annonce encore que la variation séculaire de l'écliptique ne saurait produire aucun effet semblable : l'orbite lunaire est ramenée sans cesse, par l'action du Soleil, à la même inclinaison sur celle de la Terre. Il démontre aussi que l'égalité des mouvements de rotation et de révolution de la Lune n'est pas altérée par le fait de l'équation séculaire. Pour déterminer numériquement cette équation, il faudrait une connaissance exacte des masses des planètes : [La postérité, à qui elle est réservée, aura l'avantage de juger des états passés et à venir du système du monde, avec la même évidence que de son état présent ; elle verra sans doute avec reconnaissance que les géomètres de ce siècle ont indiqué les causes de tous les phénomènes célestes, et qu'ils en ont donné les expressions analytiques, dans lesquelles il n'y a plus qu'à substituer les valeurs des quantités que l'observation seule peut faire connaître.] Il semble que Laplace se laisse entraîner ici plus loin qu'il ne convient, et l'expérience l'a bien prouvé sur ce point même, comme nous le verrons plus loin ; il se montrera plus réservé lorsqu'il écrira, à propos du progrès des sciences, les réflexions que nous avons rapportées au commencement du Chapitre II. C'est