OP OM __R

siii/* sin(i — /*) sin(i — /•)

donc

OP ~ R -.--: r-.— = ^.•

smecosr — cosisinr ncosr — cosi

La distance OP du foyer au centre dépend donc des angles r et i, et il y a autant de foyers P que de rayons d'incidence différente. Il n'y a pas aplanétisme.

Quand i augmente, le dénominateur ncosr — cosi augmente aussi, et OP diminue; le foyer des rayons centraux est donc plus éloigné que le foyer des rayons marginaux.

Si l'on fait le calcul, en donnant à i des valeurs différentes, en

prenant /i = - et le rayon R pour unité, on trouve :

Angle Distance

d'incidence i. focale OP.

i' 2 (valeur limite).

Deux rayons infiniment voisins AM et BR {/ig. 72), après réfraction, se coupent en un point Q. L'ensemble des points tels que Q ou la courbe enveloppe àes divers rayons réfractés présente donc une certaine accumulation de rayons lumineux; cette courbe porte le nom de caustique.

Surface caustique. — En construisant, à l'aide des chiffres portés au Tableau ci-dessus^ les rayons réfractés correspondant à des in-

cidences croissant de lo** en lo®, on a {fig. 73) une représentation complète de la caustique.

Elle se compose de deux arcs symétriques formant un point de

Fig. 73.

rebroussement en F, foyer des rayons centraux. En F, ou près de F^ passent le plus grand nombre des rayons réfractés, aussi c'est ce point F que l'on prend pour /oyer principal de la lentille.

Si l'on fait tourner la figure autour de l'axe de révolution PO, la caustique engendre la surface caustique. On peut remarquer de plus que chaque rayon réfracté tel que RS engendre un cône de révolution, dont le sommet est sur l'axe. Donc, il y aura aussi accumulation de lumière sur cet axe, et la surface caustique complète, lieu des points de concours des rayons réfractés correspondant à un faisceau incident parallèle à l'axe, se compose : d'une part, de la partie de cet axe comprise entre les foyers F et U des rayons centraux et des rayons marginaux et, d'autre part, de la surface de révolution engendrée par la caustique entre ce même point F et le point Q situé sur le rayon marginal.

Quand une surface réfringente est aplanétique, sa caustique se réduit à un seul point, qui est le point de rebroussement. Certaines surfaces,» ayant pour méridiennes une parabole ou des ovales de Descartes, selon que le point lumineux est situé à l'infini ou à distance finie, jouissent de cette propriété, mais chacune seulement pour un faisceau incident déterminé.

La surface sphérique, la seule qu'on puisse employer pratiquement pour les lentilles, n'est jamais aplanétique.

Tout point lumineux engendrera de même une surface caustique de révolution, dont la forme varie avec la position du point.

Passons à la lentille . Cherchons le fojer des rayons parallèles à l'axe, tombant sous l'angle d'incidence i {Jîg- 74)- Après la pre-

yyy///4

mière réfraction, ils prennent la direction BE et, après la seconde, la direction DF. L'angle DFC2 est la somme des déviations subies par le rayon lumineux, il est donc égalà(« — r -\- i' — r) et Ton a

sin(t — r-f-f' — /•")

en appelant R2 le rayon de la seconde face.

Quand V augmente, i — r et i' — i^ augmentent aussi, mais

plus rapidement que i'\ il en résulte que C2 F diminue ; donc le foyer

des rayons centraux est toujours plus éloigné de la lentille que le fojer des rayons marginaux. La caustique principale, provenant de rayons incidents parallèles à Taxe, affecte la même forme que ci-dessus, et la surface caustique principale est de révolution autour de l'axe principal {fig* 76).

Pour un faisceau oblique, la caustique {fig* 76) est plus irrégulière, mais bien nette encore, hdijig. 76 montre qu'un certain

Fig. -76.

nombre de rayons, tels que AB, CD, rencontrant la face d'émergence sous un angle supérieur à arcsin-, ne peuvent émerger et

subissent en B et D la réflexion totale.

Aberration longitudinale, — On appelle aberration longitudinale la distance qui sépare sur l'axe principal le point de concours des rayons marginaux de celui des rayons centraux. Dans une lentille supposée sans épaisseur, cette aberration a pour valeur, en désignant par R< et par Ra les rayons de courbure, par F

le foyer et par o le diamètre d'ouverture utile de la lentille, o'Ff/i' I — 2/i{w — j) 2 — /l(2 — n)~\

Aberration latérale, — Le rayon du cercle lumineux formé autour du foyer F des rayons centraux s'appelle aberration latérale; sa valeur est de

o^ V n- I — in{n — r) 2 — n^i — /?)"]

L'aberration longitudinale est donc proportionnelle au carré du diamètre de l'ouverture ou à la surface même de cette ouverture. L'aberration latérale varie comme le cube de ce même diamètre. Dans ces formules apparaît, pour la première fois, le rôle du diaphragme.

Les rayons obliques engendrent des caustiques, présentant une certaine analogie de forme avec celles que nous venons d'étudier. Mais ce ne sont plus des surfaces de révolution et elles s'allongent d'autant plus que l'obliquité est plus grande.

Une lentille simple à faces sphériques n^ est jamais aplanétique.

Le calcul montre qu'il faudrait, pour cela, employer des mati(:res dont l'indice de réfraction fût inférieur à |. Il est facile de s'assurer, dans la pratique, de ce défaut d'aplanétisme en observant les images variées que forment les rayons solaires, transmis par la lentille, et reçus sur un écran blanc qu'on éloigne progressivement du verre. A une certaine distance, le rond lumineux formé, d'abord d'aspect uniforme, présente un maximum d'éclat sur les bords; à mesure qu'on s'éloigne, ce rond diminue de diamètre, et sa circonférence devient de plus en plus brillante; cette circonférence représente une section de la nappe de la caustique. Puis le maximum d'éclat se partage entre le centre et la circonférence ; les rôles changent ensuite et l'on observe au centre un cercle très brillant entouré d'une auréole moins éclairée; c'est qu'alors on approche de la pointe de la caustique; l'auréole extérieure est produite parles rayons qui rencontrent l'écran au delà de leur point de tangence. L'écran continuant à s'éloigner, le point central brillant diminue

de diamètre pendant que l'auréole qui représente l'aberration latérale s'élargit; enfin, ce point, foyer des rayons centraux, disparaît dans un cercle uniformément éclairé, dont les dimensions augmentent rapidement.

Avec une combinaison parfaitement aplanétique, l'effet est différent. Le cercle lumineux, en diminuant de diamètre et augmentant d'éclat, reste toujours uniformément éclairé, il diminue jusqu'à se réduire à un point très brillant et non auréolé, qui ensuite augmente de diamètre en diminuant d'éclat, par une marche inverse à la première partie de l'expérience.

4» ASTIGMATISME.

L'astigmatisme est aussi une conséquence de l'aberration de sphéricité.

Lignes focales d'astigmatisme. — Supposons une seule surface rcfringente et considérons un étroit faisceau de rayons parallèles

Fig. 77.

{fie* 77) tombant loin de l'axe de même direction. Si le faisceau couvrait toule la surface, il donnerait naissance à une caustique entière. Le faisceau délié que nous considérons n'emprunte que deux éléments de cette caustique; l'un en A, composé d'une petite étendue de la surface courbe, et l'autre en B, fait d'une portion de l'axe. Le foyer du faisceau est donc représenté par deux éléments rectilignes dont on peut concevoir la formation et la position de la façon suivante {Jig. 78). Soient ABCD la section du faisceau étroit considéré, OF l'axe parallèle à ce faisceau. Sur la surface ABCD, nous pouvons imaginer deux séries de lignes différentes : les unes, AB, CD, sont des arcs de cercle tracés de O comme

centre; les faisceaux coniques, réfractés le long de chacun de ces arcs, vont converger sur Taxe en F et en E, et leur ensemble engendre une petite longueur EF de cet axe. Une autre série de lignes, AC, BD, est formée par l'intersection avec la surface réfringente de plans méridiens passant par l'axe. Les rayons réfractés situés dans chacun de ces plans se rencontrent en un point G, H

de la courbe caustique située dans le même plan méridien; chaque méridien donne de même un point, et l'ensemble de ces points engendre un élément de ligne GH, de direction perpendiculaire à EF. Sturm a démontré qu'en effet, dans ces conditions, le foyer du faisceau ABCD se composait de deux éléments rectilignes perpendiculaires et situés dans deux plans différents. Ces éléments sont les lignes focales, qui ne peuvent tenir lieu de foyer que si elles sont assez rapprochées pour paraître confondues en une sorte de croix très petite, assimilable à un point.

Le théorème de Sturm est général : un faisceau étroit, conique ou cylindrique, de rayons lumineux, tombant dans une direction quelconque en une place quelconque d'une lentille, donnera toujours naissance à deux lignes focales d'astigmatisme; et ces deux

lignes sont des éléments des deux parties de la surface caustique, que donnerait le faisceau entier, tombant sur la surface totale de la lentille.

Surfaces focales d'astigmatisme. — Si nous considérons la totalité des faisceaux parallèles incidents suivant toutes les directions possibles {fig* 79), chacun d'eux donnera naissance à une caustique d'émergence.

L'ensemble enchevêtré de ces caustiques constituera une zone, limitée à la surface qu'engendrent les pointes de ces caustiques,

Fig- 79-

surface qui n'est autre que la surface focale principale absolue. L'image ne sera nette sur cette surface, que si V aberration latérale est en chaque point assez faible, pour que les rayons voisins n'empiètent les uns sur les autres, que dans des limites telles, que la netteté apparente n'en souffre pas.

Si maintenant nous diminuons par un diaphragme le cylindre d'admission des rayons incidents, chaque faisceau étroit, correspondant à un angle d'incidence donné, fournira deux éléments focaux rectilignes, perpendiculaires et d'autant plus écartés l'un de l'autre, que l'astigmatisme sera plus prononcé.

Supposons une seule surface réfringente et un diaphragme DD {fie' ^^)* ^^ faisceau DA, à incidence presque normale, ira former un foyer en A', à la pointe de la caustique.

Un faisceau oblique DB fournira deux lignes d'astigmatisme r et ^, faisant partie de la caustique d"axe CB' et de pointe B', telle queCB'=CA'.

7^ CHAHITIIE IV.

Les deux lignes focales r et t seront toujours plus près de C que le point B'; elles engendreront chacune une sur/ace focale d'astigmatisme, plus courbe que la sphère A'B' et que nous désignerons par les deux lettres r et t.

La surface r fournira des images à netteté rayonnante, c'csià-dire que, dans ces images, les lignes dirigées vers le point A' seront plus nettes que les autres ; et la surface t fournira des images

Fig. 80.

à netteté tournante, dans lesquelles le maximum de netteté sera pour les éléments de lignes perpendiculaires aux premières, c'eslà-dire dirigées suivant des circonférences ayant le point A' pour centre.

Plaçons un écran dépoli en E, un peu en avant du foyer A', et soit P l'intersection, avec cet écran, de l'axe principal {fig' 81).

La surface t coupera l'écran suivant une zone circulaire ^, assez voisine de P et dans laquelle on observera une prédominance rotative des éléments de lignes tangentielles, c'est-à-dire des horizontales au-dessus et au-dessous de P, des verticales à droite et à gauche de ce point, et des perpendiculaires aux rayons intermédiaires.

L'écran coupera l'autre surface r, suivant une zone concentrique de plus grand rayon, sur laquelle on observera une prédominance radiante des verticales au-dessus et au-dessous de C, des horizontales à droite et à gauche, et des obliques ailleurs. De ^ à r, la netteté tangentielle ira en diminuant, alors que la netteté rayonnante augmentera; sur une zone circulaire intermédiaire /n, les nettetés seront égales et un point sera figuré par deux éléments rec-

lilignes en croix; si ces éléments sont assez courts et assez étroits, ils forment un petit carré, de netteté moyenne et suflGsante dans tous les sens.

On se rendrait compte, de la même façon, des variations de

FiîÇ. 8r.

" ni,

netteté observées, en un point donné de l'écran, quand on déplace lentement cet écran parallèlement à lui-même, dans le sens de l'axe. L'image d'un même objet éloigné de l'axe se transforme à

Fig. 82.

vue d'œil, et s'étire dans un sens ou dans l'autre en passant d'une surface d'astigmatisme à l'autre.

La surface t engendrée par des tangentes aux cercles de révolution n'a pas d'épaisseur, la surface r engendrée par des obliques à ces cercles en a une. Cette épaisseur augmente avec le diamètre du diaphragme et avec l'obliquité des rayons.

Si l'on rapproche le diaphragme du centre de courbure C, les éléments t elrse rapprochent tous deux de B' (Jlg. 80), avec lequel ils se confondent quand le diaphragme est au centre C (Jîg» 82). Il n^ a plus alors d'astigmatisme; les trois surfaces focales t, m et r, et la surface focale absolue n'en font plus qu'une seule.

Si le diaphragme est à droite du centre G (^g» 83), les deux

surfaces d'astigmatisme reparaissent; seulement maintenant chaque élément t est à l'intérieur de l'angle que fait l'axe secondaire Cr avec l'axe principal.

Avec une lentille, l'étude théorique des phénomènes précédents est beaucoup plus difficile et ne peut être traitée d'une façon générale. Mais l'expérience et le calcul de cas particuliers montrent que le phénomène présente une grande analogie avec ce qui précède.