MULTIPLICATION
On distingue la multiplication des monômes et celle des polynômes.
La multiplication des monômes ou d*un terme par un terme comprend quatre règles : l'' la règle des lettres, qui consiste à les écrire à la suite l'une de Tautre sans interposition de signes. Ainsi, pour multiplier a par 6, on écrit simplement ab,
2® La règle des coefficients qui consiste à les multiplier l'un par l'autre, comme en arithmétique; le produit de 5 c? par 2 /"égale 40 df.
3® La règle des exposants, qui consiste à les ajouter; ainsi le produit de a par a = a^, comme celui de 6 X 6^ X 6* donne 6^. Cet exposant 7 simplifie 6x6x6 X 6 X 6 X -6 X 6.
4t® La règle des signes; cette règle exige que le signe du produit soit positif toutes les fois que les s\%\i^^ ^
U L'OUVRIER-MÊCANICIEN.
nmlliplier l'un par l'autre sont semblables , et négab't quand les signes des fadeurs sont différents. Ainsi :
+ a6Xc&=+acb', de même — abx — cit = -f- acfc*, mais + ab X — cb = — acb", et — ab X + cb = — n c fc'.
En appliquant cps quatre règles à la multiplication des deux monômes + ân'è^c et — 3a^ 6c', on obtient pour produit — loo'it'c'. Pour effectuer cpUr multiplication, on commence par les signes qui, étant différents, donnent au produit le signe — , puis on multiplie les copfficlenls 5 et 3 qui donnent 15, le produit de a* par a' = a', celui de 6' par 6 = b^, et celui de c par à = c:
De même lu produit de ^ b iPf par c d f^ serait
Multiplication dks polisomes. — Dans cette multiplication il faut, comme en arithmétique, placer le multiplicateur sous le multiplicande, puis multiplier successivement chacun des termes du multiplicande par chacun des termes du multiplicateur, en observant les règles des monômes et en faisant sur le produit la réduction des termes semblables. L'opération peut du reste se faire en allant de gauche à droite ou réciproquement.
i" Ex. : Soit à multiplier 2 a 4- t par c + d. On écrit 2 a + 6
c + d 2ca + c6 2dtt + db Produit = ^ca + 'ida + cb + db.
L'oUTRIBR-MéCANICIBN. 45
Pour effectuer cette opération, on multiplie 2 a par c, ce qui donne 2 ca, puis h par c, ce qui donne cb; l'expression ^ca + c6 est le premier produit partiel; on multiplie ensuite 2 a par d, ce qui donne le premier terme 2 da du deuxième produit partiel , puis h par d, ce qui donne dh.Le produit total se compose de la somme des produits partiels et devient 2 ca + 2da + c6 + d6.
2* Ex. : Soit à multiplier la somme de deux quantités a et 6 par leur différence a — b.
Produit = a^ + ab — ab — b\
Or, + a6 et — ab se détruisent, et le produit = a* — 6* ou égale la différence des carrés des quantités données.
Ce produit n'est autre qu'une formule algébrique qui indique une fois pour toutes que le produit de la somme de deux quantités par leur différence égale la différence des carrés de ces quantités. Or, cette formule évite de recommencer chaque fois l'opération ; elle indique que pour ce problème, quelles que soient les valeurs de a et de 6, il suffit de retrancher le carré de la deuxième quantité du carré de la première.
Si a = 6 et 6 = 4, on aura de suite a^ — b^ ou 36 — 16 = 20, tel est le produit; c'est ici une application de l'importance des formules algébriques.
En arithmétique, par Tabsence de cette formule, il faudrait à chaque valeur différente de a et 6 refaire la multiplication de la somme par la différence pour obtenir la solution du problème.
La division algébrique se subdivise en division des monômes el division des polynômes.
La division dos monômes comprend, comme la multiplica:ion, la règle des lettres, la règle des coefficients, cbIIg des exposants et celle des signes :
La règle des lettres consiste fi supprimer dans le quotient les lettres communes au dividende et au diviseur.
La diiisîoQ de ab par bc donne pour quotient -.
Quand il n'y a aucune lettre commune, la division n'est pas exécutable; elle ne fait que s'indiquer, en disposant le dividende et le diviseur sous forme de fraction;
ainsi i>f ; gh s'écrit -7.
gh
.a règle des coefficients suit la division urilhmétiqoe,
■ ■ ,^ K^ 3ffl ainsi 15a . 5o = -^.
■a règle des exposants consiste h reirancber les exposants du diviseur de ceux du dividende; ainsi 1^ : a' = a' comme &' c' ; 6 c = 6° c.
Cependant, si l'exposant est le même dans le diviseur que dans le dividende, le quotient est égal à l'unité : ainsi a' : a* = i,
La règle des signes consiste à donner au quotient le signe -I- quand les signes du dividende et du diviseur sont les mêmes, et le siyne — quand les signes sont différents. Ainsi + a: + b = +7- de môme— a : — ^^ +7
L'ouyBIER-MéCAHIClEll. 17
maïs + a : — b = — - comme — a : + 6 = — -.
En appliquant ces quatre règles à ia di\isi<m des monômes^ on obtient les résultats suivants :
i« Soit à diviser 12 a* 6» c« par — 4a»6*c».
Les signes étant différents, le signe du quotient sera négatif ou —, le quotient de 12 par 4 = 3, le quotient a* par a' = a, celui de 6' par 6* = b— *, parceque le diviseur est plus grand que le dividende, et c* : c* = c^; par suite le quotient total est — 3a6 — * c*.
^ Soit à diviser le monôme 25 6' c^ fpar le OKMiome
5 6' c gf, le quotient = -.
Division des polynômes. Pour diviser un polynôme par un monôme, il faut diviser chaque terme du dividende par le diviseur, en observant les quatre règles de la division des monômes.
Soit20a'6- + 65« — 8a»&»àdiviser par 2 6^.
On pose le diviseur à la droite du dividende et le quotient au-dessous du diviseur comme en arithmétique.
Divid. 20 a* 62 + 6 6' — 8 a*6« | 2 6» diviseur.
iOa» + 36*— 4a»5*quot.
— Pour diviser un polynôme par un polynôme, on dispose les termes du dividende et du diviseur de manière à ce que l'exposant d'une même lettre conunune diminue de gauche à droite ; cette disposition, qui s'appelle ordonner une quantité suivant les puissances descendantes d'une même lettre, étant faite, on divise le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur, et on écrit ce quotient sous \e àriSsfexa.Ûti
multiplie siicccssivement tous les termes du dîviseï^^ par le quotient, et on porte les produits sous le dividende, en observant de (îhangrr leur signe pour effectuer la soustraction. On fait alors la réduction des termes semblables, puis on écrit au-dessous le reste qui doit être considéré comme un nouveau dividende partiel, on continue la division du premier terme de ce dividende partiel par le premier terme du diviseur pour avoir le deuxième terme du quotient et ainsi de suite.
Cette manière d'opérer est la même qu'en arithmétique, à la seule exception qu'au lieu de faire, à chaque produit du quotient par le diviseur, la souslraclion du dividende, on écrit tous les produits sous le dividende, pour ne les soustraire qu'en dernier.
Opérons sur un exemple : Soit à diviser le polynôme — 13 a' 6' + 80* — 3 a 6' — 2 a* 6 par le polynôme 5afc + ia» + 6'.
te terme 8 o' ayant la lettre commune a aifeclée du plus fort exposaut, on ordonne le dividende et le diviseur suivant cette lettre, et l'on pose la division ainsi :
I«tol)liidi.i5.parle («lenncdiiqiiol. - 1« ditld. partiel.
Pni diiiliiis.[arle
-fia'
-t-ns'
s + isd'
tfl' + jteS-H'i'diiii.
BtSK....=
Le quotient de 8 a* par i a^ devient 2 «*. On effectue le produit de tout le diviseur par ce terme du quotient et le produit &a* + lOa'b + 2 a" 6^ s'écrit sous le dividende; on change tous les signes de ce produit que l'on soustrait du dividende, et on pose en dessous, après
L'oUVRIER-MÉGANICIEIf. i9
réduction des termes semblables, le premier dividende partiel — 12 a' 6 — 15 a^ 6^ — 3 a 6'. On divise le premier terme de ce dividende ou — 12 a^b par le premier terme 4a^ du diviseur, et le quotient — 3 a6 est le deuxième terme que Von pose à la suite du premier. On effectue la multiplication de tout le diviseur par le deuxième terme du quotient, on place le produit sous le premier dividende partiel, on effectue la soustraction par le changement des signes, et après réduction des termes semblables, on obtient pour reste; donc le diviseur est contenu exactement dans le dividende. Pour vérifier Texactilude de la division, il faudrait qu'en multipliant le diviseur par le quotient, et en ajoutant le reste de la division^ s'il y en a un, le produit fût égal au dividende.
FRACTIONS ALGEBRIQUES.
En arithmétique, quand la division laisse im reste qui n'est plus divisible par le diviseur, on établit ce reste à la suite du quotient sous la forme d'une fraction, dont le reste forme le numérateur et dont le diviseur est le dénominateur. Il en est de môme en algèbre; ainsi, toute division qui ne peut s'effectuer se met sous la forme
d'une fraction , comme a l b qui s'écrit -, ou — qui
b gh ^
s'écrit /.
fi
On effectue sur les fractions littérales les mêmes opérations qu'en arithmétique.
La première opération a pour objet de réduire deux ou plusieurs fractions au même dénomiïialeuY , ^l qw ^
L*onvBiER-iiÉc4:TrciÈ,*f.
parvient en multipliant successivement les deux terme» do chaque fraction, par le produit des dénominateuitl ■. des autres.
Soil à réduire -+-- + - au mâme dénominateur i
, ,. , . , , , , adg , cbg bdf
on obtient en suivant la règle : 7-7^ -I — + — -,
bdg bdg bdg
L'addilion des fractions littérales s'effectue en les réduisant au même dénominateur, puis on ajoute les numérateurs et on donne h la soranie pour dénominateur, le dénominateur commun.
Soit à ajouter les fractions : y + — + -
La soustraction exige, comme l'addition, la réduction
des fractions au même dénominateur, puis on change
les signes des numérateurs.
Soit a soustraire 7 ,. ,
D a bd
La muUiplicatian des fractions ali^ébriqucs s'effectue en multipliant numérateur par numérateur et dénoiuinateur par dénominateur.
l'ouvrier-mécanicien. 5f
Pour diviser une fraction algébrique par une autre fraction, il suffit de multiplier la fraction dividende par la fraction diviseur renversée.
Ainsi, 7 : -> = T X ^ = . ^ , de même 7 : /^ = t b f b d bd b b
""f-bf
