ÉQUATIONS
Une équation est la réunion de deux ou plusieurs quantités séparées par le signe =.
Ainsi a = c + d est une équation; de même Texpres* sion 7 + 8 = 9 + 6 est une équation. La première, qui est exprimée en lettres, s'appelle équation littérale; la seconde, composée de chiffres, est dite équation nv/mérique.
Dans une équation on distingue par premier membre toutes les quantités placées à la gauche du signe = , et par second membre toutes les quantités placées à la droite de ce signe.
Dans réquation 3 a? + 9 = 33, les quantités 3 a? et 9 forment le premier membre, et 33 le second.
Les quantités d^une équation sont de deux espèces; les quantités connues et celles inconnues ; dans Téquation précédente , 3 a? est la quantité inconnue , 9 et 33 sont les quantités connues.
Les équations peuvent contenir une ou plusieurs inconnues.
L'équation a;+7=12està une seule inconnue, x.
L'équalion a? -f y — 6 = 15 est à deux inconnues,
L'équalion 3; + y + s = 45 est à trois inconnues, !
Les équations se subdivisent en plusieurs classes oa degrés que l'on distingue par l'exposant de la quantité inconnue.
Ainsi l'équation x — a -V h esi dn premier degré.
L'équation x' = g + /i est du second degré, et aim de suite.
Les équations sont d'un grand usage pour résoudm les problèmes. Pour résoudre algébriquempnt les ques* lions que l'on peut proposer sur les quantités, il fauti 1" rechercher dans la nature de la question les rapport! qui exislent entre les quantités connues et celles incon nues ; cette recherche, qui n'est soumise à aucune rb^ et qui s'acquiert par une intelligence rétléchie et une grande habitude, s'appelle la mise en équation du problème; 2" déduire de ces rapports, et au moyen derèglet invariables, la valeur des quantités inconnues; cette sft conde partie s'appelle la résolution de l'équation.
Avant de donner les règles pour la résolulion d'u équation, il est essentiel d'indiriuer les transformation* que l'on peut faire subir aux quantités dans une équation.
L'inconnue dans une équation peut être engagée de quatre manières différentes, par addition, par soustraù^ tion, par multiplication et par division.
Pour dégager ou isoler l'inconnue quand elle est en^ gagée avec d'autres quantités connues, on fait f ces quantités dans le second membre en changeant leurs signes.
1" Ex. X + i= 12; l'inconnue x est engagée avec 4
L'OUVRIBR-MÉCAllICIBlf. 53
par voie d'addition; on la dégage en faisant passer 4 dans le second membre avec le signe — ^ et Ton a a: = 12 — 4 = 8.
2* Ex. X — 16 = i4; Tinoonnue x est engagée par soustraction avec la quantité 16; on la dégage en écrivant a? == 24 + 16 = 40.
d« Ex. 4 07 = 20 ; Tmconnoe x est engagée par multiplication; on la dégage par Topération contraire^ et
et Von a a? = ~ == 5.
4* Ex. r = ^; rinconnue x est engagée par divî-
sion; on Tisole en faisant passer le diviseur 5 comme multiplicateur dans le second memhre, et Ton obtient a; = 4 X 5 = 20.
Cette faculté d'isoler Tinconnue permet de déterminer, sans aucun tâtonnement ni travail de tête, la valeur d'une inconnue; car toutes les quantités connues se trouvant ainsi dans le deuxième membre, il suffît d'effectuer les opérations indiquées pour connaître Tinconnoe. On reconnaîtra encore mieux cet avantage dans l'exemple smvant :
— + 6. — 2 = 12; en dégageant x d'après la règle^ oo
a, . = <ii+l^^^ = 96.
Cette règle peut se généraliser ainsi : tout terme peut passer d'un membre d'une équation dans l'antre , eo l'effaçant dans le membre où il se trouve^ et en le plaçant dans Fautre m^nbre avec un signe contraire* fl résulte de là la fiiculté de Cure passer dans un même
fil t'oUTRIEH-MÉCANICIE]*,
membre toutes les quantités inconnueSj et dans l'autre toutes les quantités connues.
S'il se trouve des termes égaux dans les deux membres d'une équation, et affectés du même signe, on peut, pour simplifierj les supprimer; ceci conduit à dire que l'on peut ajouter ou sousfrairej multiplier ou diviser les deux membres d'une équation sans la troubler.
Ces diverses transformations que l'on peut faire subir ' aux quantités facilitent la lecture et l'intelligence des formules algébriques, ce qui est très-important pour déterminer les valeurs des quantités dans les formules données.
Ex. : Soil proposé de déterminer successivement, au
moyen de la formule R = , les valeurs de L, S et
y, on obtient d'après les règles précédentes :
et, en substituant aux quantités les valeurs numériques connues, on aurait la valeur de chacune des quantités cherché e.s,
équation du- premier degré à une seule inconnue.
Pour résoudre une équation du premier degré à une seule inconnue, il faut : 1" faire disparaître les dénominateurs des termes qui en sont affectés, en réduisant tous les termes au même dénominateur, et en supprimant ensuite ce dernier;
2° Faire passer dans un même membre toutes les quantités inconnues, et dans l'autre toutes I^s quantités connues:
l'ouyrier-méganigien. 55
3^^ Faire la réduction des termes semblables; ÂP Dégager Tinconnue.
Ex. : Résoudre Téquation numérique :
i<lx 54 6a? 3a? 42 \8
1" transformation : -^ + — 5- = -^ + -s- + -^
ou simplifiée : 12a? + 54 — 6a?= 3a? + 42 + 18
2« transformation ; 12a? — 6a? — 3a? =42 + 18 — 54
3« transformation : 3a? = 60 — 54 = 6.
4* transformation : a? = - = 2, valeur de l'inconnue.
La vérification d'une équation s'obtient en substituant à rinconnue, dans la première équation posée, sa valeur numérique; alors, en effectuant les opérations indiquées, les deux membres de Téquation doivent être identiques.
Ainsi, en substituant à a? sa valeur 2 dans Téquation donnée comme exemple, on a :
- r±f + 9 2 = ^ + 7 +3, ouH=H.
Équations du premier degré à plusieurs inconnues.
Il faut, en général, poser autant d'équations qu'il y a d'inconnues dans le problème à résoudre. S'il y a deux inconnues il faut deux équations; pour trois inconnues il faut trois équations, et ainsi de suite.
Pour résoudre une équation à deux inconnues, on se guide sur la règle suivante :
Prenez dans chaque équation la valeur d'une môme
te L'OUVRIER-MÉCANICIEX.
inconnue, égalez ces deux valeurs, et vous n'aurez plus qu'une équation à une seule inconnue, dont vous dét terminez la valeur par les règles précédentes. Cette inconnue étant trouvée, vous sutistiluez sa valeur dans les deux premières équations, pour obtenir la valeur de l'autre inconnue.
^ l"Ex. : Soient les deux équations à deux inconnues
r La valeur de x dans la première équation est : [ „ 18-2v
La valeur de x dans la deuxième équation est : 29 — 3w
I Égalant les deux valeurs différentes de x, on forme
r ..- ,- ■ 18 — Su 29 — 3u^ , .
' I équation unique — ~ = — - a une seule inconnue y.
En opérant les transformations indiquées par la règle, on obtient en dernier lieu y = 3.
Alors, pour avoir la valeur de l'inconnue x, on substitue dans les deux premières équalions posées la valeur de y.
Ces deux équations deviennent 3 a; + 2 X 3 = 18, et fia;+ 3 X 3 = 29; dans chacune d'elles on oblieota; = 4.
2" Ex. : Soit à déterminer les côtés L et H d'un (angle en supposant L = 4H. La surface du rectangle s'exprime par S = L x H, ce qui donne une équation < A deux inconnues; or^ en les ramenant à une seule
l'ouyribb-mécanigien. 57
connue, il vient S = 4H x H^ puisque L = 4H. Mais
4 H X H donne 4 H^^ la formule se simplifie donc ainsi
5 = 4H2 j d'où on tire ff = |, et H = \/ 1. Si donc on admet que S = 16 décimètres carrés^ on aura pour
Te
valeur de H = 1/ — ou H = 2. Et comme L = 4H ,
on aura nécessairement L = 8; on détermine donc successivement Tune des valeurs par Tautre.
Pour résoudre les équations à trois inconnues, il faut prendre dans chacune d'elles la valeur d'une même inconnue; on égale alors la première valeur à la deuxième^ et la deuxième à la troisième, ce qui produit deux équations à deux inconnues au lieu de trois ^ et on opère comme précédemment.
Ex. . Soient les trois équations :
5a? — 2y + 3z = 26 8a? + 5y — Az = 48.
De la première équation l'on obtient après les transformations usitées : a? = ^ :
De la deuxième équation on trouve a? =
. , ^ . .. 48 — 5'(/ +4^ el de la troisième : x = ^ .
Égalant la première valeur de a? à la deuxième, on obtient Téquation à deux inconnues : *
Égalant la deuxième valeur de x à la troidècne, on . 26 + 2y — 33 __ të — 5y+A=
Ces deux équations à deux inconnues deviennent après transformations La première 180 — i3y + iOz= 1S6+ l'iy — lSs. La deuxième 208 + 161/ — Sis = 240— 23y + 20*.' Prenant dans chacune de ces éqnalions les valeurs M-2i
Égalant ensemble ces valeurs de y, on forme l'équ»-
32 + Uz
après transformations z = -j-- = 3.
Pour avoir la valeur de y, il faut substituer à z sa valeur dans les deux équations à deux inconnues précédentes, et l'on obtient y = 4. Enfin pour obtenir valeur de x, il faut substituer les valeurs de y et 2 dans l'une des trois équations primitives, et l'on trouve, après les transformations usitées, a: = 5.
La règle générale, s'il y avait un plus grand nombre d'inconnues, et par suite d'équations, consiste à prendrQ dans chaque équation la valeur d'une même inconnue^ puis à égaler l'une de ces valeurs à chacune des autres^ ce qui donne chaque fois une équation et une inconm de moins; on opère sur ces nouvelles équations pot éliminer une aulre inconnue, jusqu'à ce que l'on arrivA à une équation ne contenant qu'une seule ioconnucj
L'oUYKIEft-HÉCAiriCIKir. S§
dont on détennme la valeur réelk, pour h sabstHaer dans les équations précédentes el arrnrcr snccessâYement à la valeur de toutes les inccmnaes.
Équations du deuxième degrés
On sait déjà qu'une équation de sec(»d degré estotlle qui renferme la deuxième puissance de rinconmie.
Lorsque Téquation ne renferme d'autre puissance de Tinconnue que le cairé, H faut dégager k carré de l'inconnue de toutes les quantités qui Faocompagoealy puis extraire la racine carrée de chaque membre.
i®^ Ex. : Soit à résoudre l'équatioo du deuxième d^
gré — = 50.
£n dégageant Tinconnue, od cb&eat s* = — ^ — ,
^ ^^ ou ar =
d ou X =\/ —^ = 5.
2« Ex. : Soit à résoudre Féquation :^ x* = -- -r S4.
Faisant disparaître les dénoaûiateiiri^ oo obûeîjft
42x2 = ar^ + SU.
-,tfoux=Y/-^ =C.
Puis 92r* = 3W, et x^ = -^, tfoù
l^Iais une équation du deuxième d^ré n'e^ pas V/njours sous une forme aussi simple : aîusi eVi> r^:- ferme ordinairement outre le ou les Xennes qui ecrr-tie^r-r-Til le carré de l'inconnue^ ceux qui reoCeniK:!^ \a vt<iuàf:fe
60 l'ouvrieb-mécanicien.
puissance de l'inconnue, puis les quantités connues.
Dans ce cas, il faut, après avoir fait disparaître les dénominateurs, faire passer dans le premier membre toutes les quantités inconnues, et dans le second toutes les quantités connues; puis rendre positif le signe de l'inconnue à la deuxième puissance, en changeant, s'il y a lieu, le signe de tous les autres termes, et enfin dégager l'inconnue.
Ces opérations préliminaires ne sont qu'une prépa- . ration de l'équation du deuxième degré pour faire du premier membre un carré parfait; cela posé, pour résoudre une équation du deuxième degré, il faut :
1" Prendre la moitié de la quantité connue qui multiplie X dans le deuxième ternie; 2° élever cette moiiié au carré, et ajouter ce carré à chaque membre de l'équalion; le premier membre sera alors un carré parfait; 3° extraire la racine carrée de chaque membre et mettre devant le second les signes ±, l'équation se trouve alors réduite au premier degré.
Ex. : Résoudre l'équation du deuxième degré a;* + 6 a: = 16.
La moitié de la quantité 6 qui accompagne x est 3; on ajoute le carré de 3, ou 9, à chaque membre; ce qui donne la nouvelle équation :
a;* + lie + 9 = IC + 9, ou 25.
On extrait la racine carrée de x^, celle de 9 et celle de 25j a; + 3 est la racine carrée du premier membre, parce que le carré d'une quantité composée de deux termes contient toujours le carré do premier terme, le double produit du premier par le second et le cai'ré du
l'ouvrier-méganigibn. 64
second; or x^ est le carré du premier terme^ 6 x est le double produit du premier x par le second 3^ et 9 est le carré du second; c'est-à-dire qu'en élevant a; + 3 au carré on obtiendrait o;^ + 6 a? + 9.
La nouvelle équation devient a? -}- 3 = ± 5. D'où a? = 2.
Vérification a?* ou 4 + 6a; ou 12 ou enfin 16 = 16.
On fait précéder la racine du signe + ou — , parce que quand le multiplicande et le multiplicateur ont chacun le signe positif ou négatif^ le produit est toujours affecté du signe +• Or, lorsque Ton a à extraire la racine carrée d'une quantité qui a le signe +; on doit indifieremment donner le signe + ou — à la racine carrée, car — 8 x — 5 comme + 5 x + 5 = 25, produit positif.
