GÉOMÉTRIE PRATIQUE
La géométrie a pour ohjpt la mesure de tousles corps.
La parlie de l'espace occupée par un corps est dite l'étendue de ce corps.
L'étendue a trois dimensions, longueur, largeur et hauteur.
Celte derniÈre dimension prend, dans certaines circonstances, la dénomination d'épaisseur ou profondeur.
L'étendue, considérée suivant une seule de ses dimensions, s'appelle ligne; vue sous deux dimensions, elle prend le nom de surface ; enfm avec les trois dimensions l'étendue s'appelle corps, volume ou solide.
C'est à la connaissance de la mesure des lignes, des surfaces et des corps solides que tend la géométiie pratique.
Tracés bt mbsdbbs des licurs droites. — Quand une ligne droite a peu de longueur, on la trace sur le papier ou sur la surface au moyen d'un crayon, d'nn tire ligne ou dune pomle que l'on fait glisser le long d'une règle bien diessoe
Lorsque la distance des deux points a joindre par une ligne droite sur une surface e'ît assez grande, on fixe It ces deux poinls une corJelette b en tendue et saupoudrée de craie ; en tirant al rs a soi cttle ficelle par le
L^OUVRIEa-MÂCAlflCIEN. 63"
milieu et en la lâchant brusquement ^ elle vient par son élasticité s'imprimer sur le mur ou sur le parquet.
Enfin, sur le terrain, on trace des lignes droites àTaide de jalons ou piquets plantés de distance en distance.
L'unité de longueur adoptée en France pour mesurer les lignes droites est le mètre. Ainsi , pour mesurer une distance donnée, on porte sur cette longueur le mètre autant de fois qu'il y est contenu ; s'il y avait un reste plus petit que le mètre, on le mesure en le comparant au décimètre; s'il y a un nouveau reste, on le mesure en le comparant au centimètre, et ainsi de suite; on obtient alors une valeur de tant de mètres et de parties de mètre pour la mesure de la distance donnée.
Quand on opère sur le terrain, on se sert de la chaîne métrique qui a dix mètres de longueur et qui est subdivisée de mètre en mètre ; chaque mètre est luimême partagé en dix ou en cinq parties égales.
Dans les arts on distingue spécialement, parmi les lignes droites , la ligne verticale dont la direction est celle d'un fil au repos chargé d'un poids , connu sous le nom de fil à plomb, et la ligne horizontale dont la direction tout opposée suit le niveau de l'eau en repos dans un vase.
Mesure des angles. — L^ouverture comprise entre deux droites qui se rencontrent s'appelle angle. Le point de rencontre des deux droites ou côtés prend le nom de sommet de l'angle.
Deux droites perpendiculaires Tune à l'autre se coupent à angle droit; mais si l'une est oblique par rapport à l'autre, les angles sont inégaux ; le plus grand se nooime obtus, et le plus petit est dit aigu.
«t L'oivniEn-MÉCAriiciEN,
Tout angle se mesure par la grandeur de l'arc décrit de son sommet comme centre, et intercepté entre ses côtés. Or, pour préciser la grandeur d'un arc, on compte le nombre de degrés qu'il renferme. A cet effet on a subdivisé par convention le cercle en 360 parties égales ou degrés; tout cercle, quelquesoit son rayon, contient le même nombre de parties, mais alors proportionnellement plus grandes ou plus petites.
L'angle droit, interceptant entre ses côtés le quart de
a circonférence , vaut -
90 degr
Assez ordinairement on rapporte à cet angle tous les autres; l'angle droit servant ainsi d'unité de comparaison , on dit très-bien ; Un tel angle vaut i/3, 1/2, 2/3 d'un angle droit, c'est-à-dire 30°, iS" ou 60".
Pour exprimer rigoureusement les fractions d'un arc, on subdivise le degré en 60 minutes, et pour simplifier, on indique le mot degré par un ("), la minute par une (') et la seconde par ("). Ainsi l' expression simplifiée 18° 7' 15" signifie un arc de 18 degrés 7 minutes 1 5 secondes.
On admet aussi la division centésimale du cercle en 400 degrés,
Mesures des surfacrs planes RÉGULiÈREs. — On entend en général par quadrilatères les figures de quatre côtés. Mais ces figures prennent des noms particuliers suivant leur configuration : ainsi un carré (fig. 1, pi. i] est un quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux et disposés à angles droits. I
Un rectangle ne diffère d'un carré que parce que deux des côtés opposés sont plus longs que les deux
l'ouyrier-mécanicibn. 65
autres (fig. 2). Les quatre angles restent droits.
Un parallélogramme (fig. 3) est un quadrilatère dont les côtés opposés sont égaux et parallèles, mais dont les angles sont aigus et obtus.
Un losange (fîg. ^) est un quadrilatère dont les côtés sont tous égaux sans que les angles soient droits.
Surface d'un carré^ d'un rectangle. — Règle:
Pour mesurer la surface d'un carré ou d'un rectangle , multipliez la longueur par la largeur; le résultat, exprimé en unités carrées,, donnera leur surface.
i®"^ Ex. : Un carré a 12"»- 5 de côté, quelle est sa surface?
iSI-'S X 12°» 5= 156» q- 25.
2« Ex. : Un rectangle a 8™ 56 de long sur 4"ll5 de large, quelle est sa surface?
Connaissant la surface d'un rectangle et l'une de ses dimensions, on détermine Tautre en divisant la surface donnée par la dimension connue; ainsi la hauteur verticale d'uû rectangle, dont la surface est exprimée par 0"»*! 9375 et dont la base est de 1"»25, est égale à
— ^ r= 0«»75. Ce problème s'applique surtout pour
déterminer la dimension d'une vanne hydraulique.
Parallélogramme, losange. — Rlojlei^oxxt trouver la surface d'un parallélogramme et d'un losange, multipliez l'un des côtés, pris pour base, par la hauleiur perpendiculaire.
4^' Ex. : Déterminer la surface d'un parallélogcaïamô
ahaan
ce st ,
66 l'ouvrieh-mécamicikn.
don! la longueur A B (fig. 3) est de 2°" 23 et dont la h teur perpendiculaire H = l^S.
Surface = 2"5 x i°2^ 3""i-
2' Ex. : L'un des côtés d'un losange porte G"! ^3 long, et la perpendiculaire, mesurant la distance de ce côté pris pour base au côIéopposéjégalel^Sj quelle est sa surface?
Surface = 3" 1 x 1"" 3 = -l-" 1 03.
Trapèïb. — Un trapèze est un quadi'ilatÈre dont deux côtés seulement, appelés bases, sont parallèles (fig. S).
Bhgte : Pour déterminer la surface d'un trapèze, ajoutez ensemble la longueur des bases, multipliez cette somme par la hauteur du trapèze^ et la moitié du produit sera la surface.
Ex. ; La surface d'un trapèze, dont les bases parallèlaft ont Tune 7° 15 de long el l'autre G^SS et dont la 1
teur = 0'°7b, égale — — - — - == 3""J02j, surfao
du trapèze.
TniÂKGLE. — On appelle triangle une surface pluE terminée par trois lignes droites qui se coupent deu&ld deux, comme fig, 6,
Rigle : Pour trouver la surface d'un triangle, raultî* pliez un des côtés, pris pour base, par la hauteur perpendiculaire abaissée du sommet opposé sur celte base, la moitié du produit sera la surface du triangle.
Ex. : La surface d'un triangle, dont le côté pris pour
base a S"" 30 et dont la hauteur perpendiculaire a 1"1B,
, 2'"30x ■'"iS ,^^ ^^,^ est égale a = l^i- 3225.
l'ouykier-mécanicikn. €7
La surface d^un triaDgle étant connue et Fune de ses' dimensions étant donnée^ on détermine la dimension inconnue en divisant le double de la surface par ?a dimension connue. Dans l'exemple précédent, la division 2 X 1"^ 3225 par la hauteur 1"!5 donne pour quotient la base 2*^30; de même le quotient I^^IS, provenant de la division 2 x 4"*ï- 3225 par la base 2" 30, exprime la hauteur du triangle.
On démontre en géométrie que le carré construit sur rhypoténuse d'un triangle rectangle, est égal à la somme des carrés construits sur les deux côtés de l'angle droit, n résulte de cette propriété que, connaissant deux côtés quelconques d'un triangle rectangle, on peut déterminer le troisième.
i^ Les deux côtés de l'angle droit du triangle étant donnés, on détermine l'hypoténuse en faisant la somme des carrés des deux côtés , et en extrayant la racine carrée de cette somme.
Ex. : Quelle est la grandeur de l'hypoténuse A G d'un triangle ABC, en supposant le côté AB = 3"», le côtéBC = 4°»?
OnaAC=v/3'+4S ou AC =\/9 + 46, ou v/25 = o«.
2<* Si l'on connaît l'hypoténuse A G et l'un des côtés AB de Fangle droit, le troisième BG est égal à la racine carrée de la différence des carrés construits sur A G etAB.
Ainsi, dans l'exemple précédent, on trouverait :
BG = V^25-9 = v/T6 = 4f La diagonale d'un carré est toujours égale à l'un des côtés multiplié par v/27et comme V'2, = 1,4U, on voit
63 L*0 1) vit lEB -MÉCANICIEN,
que la diagonale d'un carré s'ubtleol en multipliant le carré du côtéj-ar 1,414.
Ex. ; Un carré a pour longueur, sur chaque côté, 6 mètres, quelle est sa diagonale D1 i^m
D = CX l,iU = 8°>4âi. ^M
La somme des carrés des quatre côtes d'un parallélogramme est aussi égale à la somme des cari'és des deux diagonales.
Valeur des angles. — La somme des trois angles d'un triangle vaut toujours deux angles droits ou ISU-; connaissant donc deu\ angleb d'un triangle , ou peut toujours déterminer la lakur du fioisieme
Soient ABC trois angles d un triangle, si l'angle A vaut 40" et l'angle B — 80", It troisième angle C vaudra 180"— {40+80) — 60". Dans un triangle rectangle, il suffit de connaître l'un des angles aigus, puisqu'il y a toujours un angle droit de 90°, pour obtenir l'autre angle.
PoLïGONE iiÉciiLiËR. — On appelle ainsi une figure de plusieurs côtés égaux, régulièrement inscrite dans tin cercle,
Règle : Pour déterminer la surface d'un polygone régulier, multipliez son périmètre, ou la somme des côtés, par la perpendiculaire abaissée du centre sur l'un des la eûtes, moitié de ce produit sera la surface.
Ex. : Un polygone régulier de cinq côtés (Rg, 7), dont l'an a g^Setdont la perpendiculaire abaissée du centre du cercle sur le milieu des côtés = B^G , a pour
,„facc iîlAMjLl^ ,3,., 20.
L'oUYftlIft-HÉGAIflGIKff. §9 GiRCOHVBRBHCB, RATOH, BIAMSTftE, CSftCLS.
Lorsqu'on trace avec un compas une figure dreubirey la ligne qui exprime le contour de la ^ore tracée s*appelle circonférence, l'espace renfermé à notérieur ert nommé cerde, l'ouverture du compas pteod le nom de rayon, et Ton entend par diamètre la ligne qui ooiqiele cercle en deux parties égales; le diamètre Tant deox fois le rayon.
En comparant le développement de la d'un cerele à son diamètre^ on bien en dîrîsaM circonférence de rayon quelconque par son diamète, on a trouvé que le rapport constant entre la drcooférence et le diamètre est cooune 22 : 7 on^ eo firaetioii décimale^ comme 3^1416 : 1. Cest-à-dire que, queBe que soit la grandeur d'un cercle^ sa drcooCérence égale 3^1416 fois la longueur de son diamètre.
Dans les calculs on a coutume de représenter le rapport 3^4446 par la lettre « , et Yoa écrit : circonf. <m
C =irD.
Si Ton substitue le rayon R au diamètre D^ la iomuile devient : C = 2 « R, ou 6^2832 x R.
Cette formule permet de trouver le rayon d^tm cercle dont on connaît la circonférence, et rédproquemeiit, de déterminer la circonférence d'un cercle connaissaDl le rayon :
i^ Pour trouver le rayon d'un ceide dont oo coon^ la circonférence , divisez cette circonférence par 2 x oa par 6,2832.
Ex. : Quel est le rayon R^ et par suite le diamètre D, d'un cerele dont la drconférenee est de 8^ 5t
etD= l»3o X a^S-ÏO.
2» Pour déterminer la circnnférence C d'un cercle dont on connaît le rayon, multipliez ce rayon par 2 ir ou 6,2832.
Ex. : La circonférence d'un cercle dont le rayon R a l-aS devient C = ["So x 6,2832 = 8"3.
Si l'on connaît le diamètre D, on multiplie directement par 3,l-il6. Dans l'exemple précédent on aurait 2,70 X 3,1416 = S^S pour la circonférence.
Surface du cercle, — La surface du cercle est égale à son périmètre ou à sa circonférence multipliée par la moilié du rayon, ce qui donne la formule : S = 2irRx
— . Or, on peut supprimer 2 au numérateur et au dénominateur, puis R X R = R'; alors la formule se amplifie ainsi : S= - fl*, et donne lieu aux deux règles suivantes ;
1° Pour trouver la surface d'un cercle dont on connaît le rayon, multiplipz le rayon par lui-même et par 3,1 416, le résultat donnera la suiface du cercle.
Ex. : La surface d'un cercle dont le rayon a l^Oa devient S = l-^OS x l^ûj x 3,U16 = 3°''i-46.
2" Pour mesurer le rayon d'un cercle dont on connaît la surface, divisez cette surface par 3,1416 et extrayez la racine carrée du quotient , celte racine sera le rayoD.
Ex. : Quel est le rayon d'un corde dont la surface = 3»»-46t
L'oUTBlBE-MÂGAlflCIBlf. 71
Ona— — -= l-1025etVM025 = 1-05, njoii
du cercle.
Dans certaines circonstances, où il est plus facâe de connaître le diamètre d'un cercle que son rayon, on détermine la surface S du cercle par la formule suivante :
S = « D X —r- OU Simplement -j— , et oxnme
