on a : S = 0,7854 X IP
d^où Ton tire la nouveUe règle : multipliez le carré du
diamètre par la décimale 0,7584, le produit donnera la
surface du cercle.
Ex. : La surface d*un cercle dont le diamètre a S* 10
est exprimée par:
Observation. — Quand on connaît la surface d'un carré, on obtient la surface du cercle dont le dîamètie égale le côté du carré, en multipliant la sur£ice do carré par 0,7854 , c'est-à-dire que la surface d'un carré est à la surface du cercle inscrit dans ce carré comme 4 : 3,i4l6ou comme 1 : 0,7854.
Ex. : La surface d'un carré = 4, celle du oerde inscrit égale 4 x 0,7854 = 3,1416.
Réciproquement, connaissant la surface du oerde inscrit on obtient la surface du carré circonscrit , <mi dont le côté égale le diamètre, en multîpii.int la sorfi^oe du cercle par 1,273.
Ex, : La surface d'un cercle = 3-^- 1416, quelle crt celle du carré circonscrit?
72 L'ouVItlER-MÉCAKICIEN. ■
3,2416 X 1,173 = 3,999, ou à IrÈs-peu près = 4. ' Secleur du, cercle. — On appelle ainsi la surface a comprise entre un arc et deux rayons. La règle pour déterminer la surface d'un secteur a (fig. 8) consist« à multiplier la longueur développée de l'arc du secleur par le rayon du cercle; la moite de ce produit exprime la surface.
Ex. : Quelle est la surface S d'un secteur dont 1* = 12"25etdontlerayonest de8°12î 12" 25 X 8»1;
ime
La longueur d'un arc se trouve en multipliant la circonférence entière par le nombre de degrés de l'arc et en divisant le produit par 3C0.
Ex. : Soit un arc de 45", et dont la circonférence = 3" 50 X 45»
3«bO, ona-
= 0"" i37o, longueur de l'arc.
Segment de cercle. — On appelle segmenl la partie b du cercle comprise enlre l'arc et ta corde qui en joint les extrémités {fig. 8). On détermine la surface d'un segment b, en retranchant de la surface du secteur A la superficie du triangle c.
En supposant le sccleurA égal à 12'°-5- en superficie, et le triangle c égal à 7°'- en surface, celle du segment b serait 12 — 7 = 5 mètres carrés- La surface d'un segment s'obtient aussi en multipliant la longueur de la flèche par 0,626, et en ajoutant au carré de ce produit le carré de la moitié de la corde, puis en multipliant 2 fois la racine carrée c les 2/3 de la flèche.
a somme par -
L*0UVEI£R-11ÉCANIC1SN. 73
Eœ. : Soit 48 la corde d'un arc et i 8 la flèche y on a 18 X 0,626 = 11,268 et (11,268)^ = 126,9678, et
— 1 = 576, alors la surface du segment égale
Surface annulaire ou couronne. — Pour trouver la superficie de tout espace renfermé entre deux cercles concentriques, ajoutez ensemble les diamètres extérieur et intérieur, multipliez leur somme par leur ditférence et par la décimale 0,7854, le produit exprimera la surface.
Ex. : Les diamètres de deux cercles concentriques ( fig. 9) sont 8 et 5. Quelle est la surface de l'anneau plein?
Somme = 8 + 5 = 13. Différence =8 — 5 = 3.
13 X 3 X 0,7854 = 30«''»'^ 63 , surface annulaire.
Ellipse. — Pour déterminer la surface d'une ellipse (fig. 10), multipliez le grand axe A B par le petit axe CD et par la décimale 0,7854, le produit indique la surface.
Ex. : Quelle est la surface d'une ellipse dont le grand axe égale 10 centimètres et le petit axe égale 8 centimètres?
10 X 8 X 0,7854 = 62 ce^t. q. 734,
Contour de l'ellipse. — Multipliez la demi-somme des deux axes par 3,1416, le produit exprimera à très-peu près le contour de Tellipse.
Ainsi dans Texemple précédent:
--- — ou 9 X 3,1416 = 28^«*»' 274, contour de l'elUç&e*
ft LOCVUlElt-UECANLCIEN.
Mesure dbs surfaces régulières et appi.ii;a- TI0S3 DES aÈOLES pRÉcÉDEsiEs A l'abpektage. — La mesure des lerrains exige l'emploi de quelques înstraments dont il est utile de donner l'indication.
Chaîne métrique, — Oq a déjà vu que la chaîne métrique, qui a 10 mètres do long, et dont chaque mÈlre, indiqué par un petit anneau, est subdivisé lui-mëuie en cinq ou en dix parties , sert sur le terrain à mesurer les lignes droites (fig. 11).
Éguerred'arpeîileur.— Unauti'einstrument indispensable est l'éq M erre d'arpenteur. C'est un prisme creux, ayant la forme d'un octogone régulier ( fig. 12). Quatre faces opposées portent au milieu une fente qui existe sur la longueur de chaque face; les quatre fentes très-étroites se trouvent ainsi disposées en croix, et les deux fentes opposées déterminent la direction d'une ligne droite. Cet instrumeni, porté sur un pied à hauteur convenable, sert à deux fins : tracer des lignes droites sur ie terrain, et élever des perpendiculaires sur des lignes données.
Jalons. — Les jalons sont des piquols de bois , ordinairement fendus à la partie supérieure pour y placer un feuillet de papier, et servent à indiquer sur le terrain la direction des lignes que l'on mesure.
JIesche d'une LicrtE droite slk le ierraih, — Quand on veut mesurer la distance en ligne dioite d'un point A à un point 11 (fig. 13), la piemieie opération consiste à placer des jalons sur CLtte direction. A cet effet, ou fixe verticalement l'équeire sur sjn pied au point A, et on dirige les deux fentes opposées de Téquoire de telle mauîiïrc que ces deux fentes et le poîut
L*OUVRIER-MéGANICIEN. 75
B se confondent sur une même ligne droite. On fait alors suivre cette direction , et planter à des distances appréciables des jalons cdef, etc., puis le porte-chaîne, muni de plusieurs fiches, ordinairement dix, se met en marche pendant que Tarpenteur reste au point A. Quand la chaîne est convenablement tendue , le porte-chaîne plante une fiche à Textrémité , et tous deux se remettent en marche jusqu'à ce que l'arpenteur rencontre la première fiche; alors le porte-chaîne plante une deuxième fiche à Textrémité de la chaîne tendue, Tarpenteur enlève la fiche qu'il vient de rencontrer, et ainsi de suite jusqu'au point B, oii Tarpenteur compte le nombre de fiches qu'il a enlevées pour autant de fois dix mètres, et il ajoute à cette somme, s'il y a lieu, la partie fractionnaire de la chaîne.
Usage del'équerre pour élever ume perpetidiculaire a une ligne donnee sur le terrain. — soit une ligne représentée par deux jalons placés en A et B; supposons que l'on veuille, par le point G (fig. ii), élever une perpendiculaire sur la ligne droite A B. On plantera verticalement Féquerre d'arpenteur au point G, puis on fera tourner l'équerre de manière qu'en regardant alternativement par deux des fentes opposées, on aperçoive, sans déranger Tinstrument, les jalons A et B. Dans cette position de l'équerre, on regardera par les deux fentes opposées, et on fera planter un jalon en un point quelconque D de cette direction , et la ligne CD sera perpendiculaire à AB.
Mesure d'une surface triangulaire sur le TERRAIN. — On doit toujours, avant tout travail , examiner la conrjguration du terrain et faire pVaiect â.'i^ V^-
76 L'OUVBIElt-HÉCANlCIEK. ^1
Ions aux principaux an^^les ; puis on fait sur le papier
le croquis de la piÈce à mesurer. Supposons d'abord que )*0D ait à déterminer la superficie d'un terrain de iorme triangulaire BCD (fig. 13). Puisque la surface de tout triangle est égale à sa base multipliée par sa demihauteur, on jalonnera le côté CD que l'on prendra pour base du triangle, et avec la chaîne métrique on en meirera la longueur que nous supposerons égale à 3 mètres : cette mesure s'insciit sur le croquis à l'endroit même de la base CD; on abaissera eusuile au moyen de l'équerre d'arpenteur la perpendiculaire BF sur la hase CD du triangle, on la jalonnera et mesurera, et si l'on trou\e 20 mètres , ce sera la hauteur du triangle :
Alors 36 X -^ = 360 mètres carrés, surface du triangle.
Mhsdrk d'um quadrilatère irréculier. — Soità déterminer lasuperlicieduquadi'ilatëreDEGIl (fig. lii). On prendra pour base le plus long cûté G U, puis avec l'équerre d'arpenteur on abaissera des points D E sur cette hase les perpendiculaires DI, E J, qui décomposent ainsi le quadrilatère en trois ligures distinctes, dont deux triangles GDI et EJil, et un trapèze DEIJ.
Pour avoir la superficie du triangle GDI, on jalonnera Dl que l'on prendra pour base de ce triangle et IG qui en sera la hauteur, puis on mesurera Dl qui, au moyen de la chaîne métrique , aura été trouvé par exemple égal à 23" 30; on chaînera de même le côlé iû dont la longueur est supposée égale à 12 mètres.
Alors on passera au deuxième triangle E J U, dont on
L'oUVHIEE-XéCANICIEIf. 77
jalonnera de même le côté E J pris pour base^ et le côté JH considéré comme hauteur; supposons que EJ soit trouvé de 32» 10 et J H de ^0 mètres.
Enfin on s*occupera du trapèze DEIJ^ dont les côtés DI^ EJ^ que nous avons déjà mesurés, sont considérés comme les bases parallèles^ puis on jalonnera et mesurera le côté I J , pris pour hauteur et supposé égal à A2 mètres. Toutes les mesures étant indiquées sur les lignes correspondantes du croquis fait sur le papier, on aura pour superficie du quadrilatère la somme des surfaces des deux triangles et du trapèze :
Triangle GDI = 25"» 30 X — = 151» ^ 80.
TrianglcEJH = SS» 10 x — = 160-^ 50.
r., V r^^TT (25»30 + 32»10)x42 .^^, ,^ Trapèze DEIJ = ^ = 1205»i 40.
Superficie du quadrilatère = 1517»^ 70.
Ces deux exemples sont suffisants pour faire comprendre que, quelle que soit la forme irrégnlière d'un terrain, il faut la décomposer en figures connues dont on détermine successivement la suface pour obtenir, par leur ensemble, la superficie cherchée.
Mesure d'un terrain inaccessible. — Quand on veut mesurer la superficie d'un marais, d'un bois, d'un champ en récolte, on entoure le terrain d'une figure connue, comme un rectangle, un carré, un triangle ou un trapèze, par des jalons qui circonscrivent la pièce inaccessible. On détermine, par les moyens exposc'^s précédemment, la superficie du rectangle qui ewVovvî^
la pièce, el on déduit de cette sui'face les superficies des diverses parties de terrain comprises entre la pièce inaccessible et la figure circonscrite; la différence est la superficie cherchée.
Soit à déterminer la superficie d'un champ en récolle ayant la forme représentée fig. 17. ij
On plantera des jalons à tous les angles F G III L de celte siu'face, puis, on fera passer par les angles F H I L le rectangle circonscrit A B G D an moyen de perpendiculaires élevées à l'aide de l'équerre d'arpenteur. Oo délerminera la superficie du rectangle A B G D, on cherchera par les moyens indiqués précédemment, la surface des triangles 1,2, 3, 4, 5, on retranchera la somme de ces cinq surfaces de la superficie du rectangle, et le reste exprimera la surface du champ F G H I L,
NivKiLEUEMT DES ËLUFACEe. — Le nivellemeut 8 pour ohjct de déterminer la différence de hauteur entre deux ou plusieurs points de la surface d'un terrain, pour pouvoir, au besoin, la rendre bien unie, ou donner une pente uniforme pour facililer l'écoulement des eaux. L'instrument dont on se sert généralement pour niveler un lerrains'appoJlemomiKi'eau; c'est un tube A (fig. 18) en fer-blanc, recourbé à angle droit à chaque extrémité pour recevoir deux tubes verticaux B, C, en verre. Le tube en fer-blanc, ainsi que les tubes en verre B, C, conliennent de l'eau colorée j et quand l'instrument est placé sur son pied, la ligne m n du niveau de l'eau colorée dans les deux tubes do verre est horizontale, do sorte que toute ligne qui se confond avec elle se trouve parfaitement de niveau.
Si l'on veut avec cet instrument déterminer la pente
L'oUVRIER-lléCANlCIEN. 79
du point C au point D (fîg. 19)^ on fait tenir en D^ le plus verticalement possible, une longue règle en bois R graduée en divisions métriques sur toute sa hauteur, et recevant à coulisse une planchette ou indicateur o. On vise alors la ligne m n des niveaux que Ton dirige par le point C, et sur la règle graduée on fait monter et descendre la planchette ou Tindicateur, jusqu'à ce que la ligne m -n se confonde en même temps avec le point C et Findicateur o; puis on compte le nombre de divisions sur la règle à partir du point D jusqu'à l'indicateur, ce nombre de divisions désigne en parties métriques la différence de hauteur du point D au point C.
Si la pente était très-rapide depuis le sommet jusqu Vu point le plus bas, et que la règle ne fût pas assez élevée, on répéterait Topération indiquée plus haut à des stations intermédiaires, et la somme des hauteurs partielles obtenues aux stations donnerait la pente totale.
Boussole. — Cet instrument est destiné à orienter un plan, ou, si Ton aime mieux, à indiquer sur le terrain la direction des quatre points cardinaux.
La boussole est une petite boîte (fig. 20) surmontée d'un cadran portant au contre une aiguille aimantée. Or, la propriété de Taiguille aimantée est de se diriger vers le Nord ; et comme Ton sait que le Sud est opposé au nord, que TEst est à la droite de ce dernier, et TOuest à sa gauche : une fois que Ton a la position Nord, on connaît évidemment celle des trois autres points cardinaux.
