ÉTUDE THÉORIQUE SUR LES ROULEMENTS A BILLES

On dit qu’une surface mobile S, qui touche en un point une surface fixe S', roule sans glisser sur cette surface fixe, si la vitesse du point de contact est nulle.

Il en résulte, d’après des principes de cinématique bien connus, qu’à chaque instant, les vitesses des différents points de la surface mobile S sont les mêmes que si cette surface tournait autour d’un axe, appelé axe instantané de rotation, passant par son point de contact avec la surface S'.

On représente, d’ordinaire, la vitesse instantanée de rotation par un segment de droite, porté par l’axe de rotation, et dirigé dans un sens tel qu’un observateur traversé par ce segment des pieds à la tête, voit la rotation s’effectuer de gauche à droite.

Les vitesses de rotation, ainsi représentées géométriquement, se composent et se décomposent comme des forces.

Ces quelques principes rappelés, considérons une bille qui roule sans glisser sur une surface de révolution. Soit A le point de contact de la bille et de la surface, et prenons pour plan de la figure (flg. 247), le plan méridien de la surface de révolution qui passe par A. Ce plan coupe ' la surface suivant un arc de méridienne BD et la bille suivant un cercle G. La bille, roulant sans glisser sur la surface, est animée d’un mouvement de rotation instantané autour d’un axe passant par A et, par raison de symétrie, on peut admettre que cet axe Am est situé dans le plan de la figure (‘).

La vitesse instantanée de rotation Am peut alors être considérée comme la résultante de deux rotations : l’une Ar. que nous appellerons

(1 ) Ceci sa démontre facilement en toute rigueur. Nous renverrons, pour cette démonstration, le lecteur à un intéressant article de M. R. Dimois, paru dans la Revue de Mécanique, de septembre 1897, et intitulé : Théorie du roulement des surfaces et application aux roulements à billes.

On pourra aussi consulter, en ce qui concerne les roulements à billes dans les bicyclettes, le volume déjà cité de M. Shirp : Bicycles and Tricycles, pages 366 à 393.

vitesse de roulement, située dans le plan tangent commun aux deux surfaces, en A; l’autre kp, que nous appellerons vitesse de pivotement, normale aux deux surfaces en A (*).

Ces deux vitesses, de roulement et de pivotement, jouent chacune un rôle différent. La vitesse de roulement Ar est la seule qui produise' le déplacement de la bille ; elle a pour effet de faire rouler la bille sur

la surlace fixe à la manière d’un cylindre sur un plan. Si elle existait seule, il n’y aurait jamais d'usure proprement dite des surfaces; la bille, en roulant sur la surface, la comprimerait, et il y aurait un simple matage. Au contraire, la vitesse de pivotement Ap ne produit aucun déplacement de la bille; ellen’apoureffetquedela faire pivoter sur elle-même. Ce pivotement, à l’encontre du roulement précédent, tend à produire une usure des surfaces en contact. La bille, pressée sur la surface BD, en tournant sur elle-même, fait, en quelque sorte, vrille dans la matière. 11 y a là un véritable frottement avec arrachement et ce pivotement, au lieu de produire un simple matage, doit donner lieu à une usure qui se traduit par un sillon, tracé sur la surface BD par la bille, d'aspect granuleux.

Cette première remarque nous montre de suite, qu'au point de vue. de Tusuj-e, il y .a grand avantage à ce que la vitesse de pivotement Ap soit nulle ou, du moins, aussi faible que possible. Comme nous allons le montrer, il y a aussi avantage, au point de vue du travail perdu dans le frottement.

Si le contact de la bille C avec la surface BD (fig. 247), avait lieu

(1) Nous avons vu souvent, dans des notices accompagnant des demandes de brevets ou dans des prospectus de constructeurs de bicyclettes, émettre des idées fausses sur ce sujet. On admettait, dans ces notes, qu’il n’y avait roulement sans giissement que si la vitesse de pivotement était nulle. 11 faut bien se pénétrer de ce fait que, pourvu que l’axe instantané de rotation passe par le point de contact A, il y a roulement sans glissement, quelle que soit la vitesse de pivotement.

L’erreur que nous signalons tient à ce qu’on assimile, à tort, la bille à un cylindre qui roule sur un plan qu’il touche tout le long d’une génératrice; tandis ijuela bille ne louche la surface que par un point.

suivant un point mathématique, le frottement de roulement serait nul. En fait, cela n’a jamais lieu. Sous l’influence de la pression qu’elle supporte, la bille pénètre très légèrement dans la surface sur laquelle elle roule, et y creuse un petit canal circulaire dans lequel elle roule. A chaque instant, elle touche donc ce canal suivant une bande étroite assimilable à un arc de méridienne.

Examinons, alors, lé frottement qui résulte de cette déformation.

Pour raisonner, faisons (flg. 248) une figure exagérée. Supposons que la bille G touche la surface BD déformée suivant l’arc A'KA. L’axe

instantané lu, au lieu de passer, comme plus haut, par le point K, occupera une position que nous allons d’abord déterminer.

Le point 1 partage l’arc AA' en deux arcs A'I et IA et, lorsque la bille tourne autour de lu, il se développe des forces de frottement tout le long de ces deux’arcs (perpendiculaires au plan de la figure). Toutes ces forces doivent se réduire à un couple et, par suite, la somme des moments des forces de frottement, le long de A'I, par rapport à lu, doit être égale à la somme analogue le long de lA. C’est cette condition qui va nous servir à fixer la position de lu.

Menons deux axes rectangulaires Cx et Cy, par le centre G de la bille, Cæ étant perpendiculaire à AA'. Désignons par R le rayon de la bille, par V l’angle de lu avec Cy et posons :

ACS = a, ÎGæ =

Cela étant, soit M un point de l’arc .4A' et y l’angle xGM.

Si P est la pression qu’exerce la bille, par unité d’arc, parallèlement à Cæ, la pression normale supportée par un élément d’arc ds, en M, est :

pds cos œ = pR cos fdf.

Il en résulte que la force de frottement en M est :

fpB. cos ifd'f,

f étant le coefQcient de frottement de glissement.

La distance du point M à l’axe Iw est :

8 = R[cos (V — ç) — cos (V -ï- (3)],

S étant positif sur l’arc IA et négatif sur l’arc IA'.

Pour que la condition énoncée plus haut soit remplie, il faut donc que l’on ait :

J' [cos (V — œ) — cos (Y — j3)] cos <?df = 0.

On en tire, par un calcul facile :

cos (V - ^) = I + cos a] cos V. [1]

Telle est la formule qui fournit (3 en fonction de « et V et qui, par suite, fixe la position du point I sur l’arc AA'.

Pour évaluer le moment du couple de frottement, il nous faut maintenant distinguer deux cas.

Supposons d’abord que l’angle Y ne soit pas nul, ni voisin de zéro. On a alors la disposition de la figure 248 et, TTl étant le moment cherché,

Tll — /pIpyHd? + fpB? f^Bd?,

en posant :

H = [cos (Y — f) — cos (Y — jS)] cos ?.

1 Ceci donne, tous calculs faits :

‘TTt = /pR2[(sin® a + sin2sin Y — (8 — sin ^ cos cos YJ. [2] Or, a et P étant des angles extrêmement petits et Y ne l’étant pas, la formule [1] donne, approximativement :

Cette égalité montre que, a étant infiniment petit, p est, par rapport à lui, du second ordre. Il s’ensuit, qu’en vertu de la formule [2], on a, très approximativement :

‘Wl = fpm^ sin Y, [3]

en négligeant des termes du quatrième ordre en a.

Examinons, en second lieu, le cas où Y est nul ou très voisin de zéro.

Faisons, dans la formule [1], Y = 0 ; il vient :

On en tire, en prenant les parties principales :.

,3 est donc, dans ce cas, du premier ordre par rapport à a.

Pour calculer le moment du couple de frottement, remarquons qu’en vertu de la condition qui détermine la position de l’axe wto'

(fig. 249), les sommes des moments des forces de frottement le longdès quatre arcs A'I', l'K, RI et IA sont égales. On a donc :

qiï J {cos O — cos (3) costpdy ;

d’où : ‘lir = ^/)R“(2i3 — sin 2;3).

Ceci donne, approximativement, puisque p est très petit ;

Tir =

)u, en remplaçant ^ par sa valeur [4] :