SI

Ceci posé, désignons par l la longueur de l’arc de contact AA' et supposons la bille soumise (fig. 248 et 249) à une pression totale P, normale à la droite AA' et uniformément répartie. On aura :

d’où:

l = 2Ra, “~2R’

P = pl; P

En portant ces valeurs de a et p dans les formules [3] et [S], on a, finalement :

1° Dans le cas où V n’est pas voisin de zéro, c’est-à-dire dans le cas où il y a un pivotement sensible :

TO =!/■/? sinV; [6]

2“ Dans le cas où V = 0, c’est-à-dire lorsqu’il y a roulement sans pivotement :

Telles sont les deux formules qui, suivant les cas, fournissent le ouple de frottement (*). Pour en faciliter l’application à nos lecteurs, lous réunissons ici les significations des lettres qui y figurent :

/, coefficient de frottement de glissement ;

P, pression totale normale supportée par la bille au contact ;

/, longueur de l’arc de contact ;

R, rayon de la bille ;

V, angle d’inclinaison de la vitesse instantanée de rotation sur le plan tangent au point de contact (dans le cas où cet angle n’est pas très petit).

Les formules [6] et [7] montrent nettement que le moment du couple de frottement est beaucoup plus grand dans le premier cas que dans le second. Lé rapport du moment [7] au moment [6] est, en

effet, de l’ordre de grandeur du rapport ^, rapport qui est très petit car

l’arc de contact / est très petit par rapport au rayon R de la bille.

Le moment 111 donné par la formule [7] est môme généralement si petit qu’il est presque négligeable.

Faisons un exemple numérique :

Considérons une bille de 6 millimètres de diamètre supportant une pression I’ de 10 kilogr., ayant un contact l de Vio de millimètre. Prenons f = 0,16, ce qui est le coefficient de frottement moyen, métal sur métal graissé.

1“ Avec pivotement sensible, en prenant une rotation à 30°, V = 30", la formule [6] donne :

IIX = 0,00004 kilogrammomètres ;

2“ Sans pivotement, V = 0, la formule [7] donne’.

Ilf = 0,000001 kilogrammomètres.

Le moment du couple est 40 fois plus grand dans le premier que dans le second cas.

Cet exemple numérique suffit pour montrer que le frottement provenant de la vitesse de roulement est absolument négligeable.

(1) Lorsque l’angle V est petit sans être nul, on peut se demander quelle est celle des deux formules [6] ou [7] qu’il faut appliquer. La réponse est aisée ; il faudra toujours prendre celle qui donne pour llï la plus grande valeur.

Pratiquement, on pourra donc admettre que le frottement développe un couple, uniquement dû au pivotement, situé dans le plan tangent au point de contact, et dont le moment est donné par la formule [6] :

‘Wl = i flPsm\. [6]

C’est ce que nous ferons dans la suite.

Le coefficient f dépend de l’état de polissage et de lubrification des surfaces en contact ; il varie peu lorsque les surfaces se déforment.

Le coefiicient l dépend de l’usure ; il augmente avec le temps, de telle sorte que le travail perdu dans les frottements va en croissant.

Posons; k = | fi;

k est un coefficient numérique, que nous appellerons le coefficient de roulement, qui dépend de la nature et de l’usure des surfaces en contact.

On aura, alors, la formule simple :

^ll = *PsinV, [8]

qui est celle qu’on appliquera dans la pratique.

De la formule [8] on conclut aisément le travail dépensé dans les frottements. Si w est la vitesse angulaire de rotation instantanée (en mesurant les angles avec des arcs d’un cercle de rayon 1), le travail dépensé à la seconde est :

î5=tofePsinV. [9]

En résumé, à tous les points de vue, il y a intérêt à réduire le plus possible le pivotement.

Appliquons maintenant ces généralités à l’étude des roulements.

Tout roulement à billes se compose d’un axe A (flg. 250) qui porte deux parties renflées C appelées cônes. Sur chaque cône roule une

Fig. 250.

couronne de billes B maintenues, d’ailleurs, dans des boîtes sphéroïdes D D nommées cuvettes.

Suivant les cas, ce sont tantôt les cônes qui sont fixes et les cuvettes

qui sont mobiles; tantôt les cuvettes sont fixes et c’est l’axe qui tourne.

Le premier cas est celui où l’axe A est l’essieu d’une roue et où les deux cuvettes DD sont fixées au moyeu M.

Le second cas se présente, par exemple, dans les bicyclettes au pédalier : les deux cuvettes sont alors vissées, à poste fixe, dans le tube du pédalier et A est l’axe des pédales.

Au point de vue théorique, il n’y a pas de différence entre les deux cas. Nous raisonnerons toujours, dans la suite, en nous plaçant dans le premier cas, mais nos conclusions s’appliqueront au second.

11 y a plusieurs sortes de roulements suivant le nombre des points de contact de chaque bille.

Roulements à deux contacts. — Dans un tel roulement, la bille B ne touche la cuvette et le cône, chacun, qu’en un seul point.N Nous admettrons, ce qui a toujours lieu dans la pratique, que les méridiennes de la cuvette et du cône sont des arcs de cercle et nous chercherons, d’abord, la position de la bille. Pour régler le roulement, on visse la cuvette à fond dans le moyeu M (Bg. 250). La bille se place alors de façon que ses deux contacts soient diamétralement opposés.

Considérons, en effet, la cuvette dans une position quelconque. Soient O et O' les centres des congés du cône et de la cuvette (fig. 251) ; B celui de la bille et I et V ses points de contacts. O est un point fixe et, lorsqu’on visse la cuvette, le point O' décrit une droite yy'. Soit H le pied de la perpendiculaire abaissée de O sur yy' ; H est fixe et la