OB + O'B
ou :
r, r', R étant les rayons respectifs du congé du cône, du congé de la
cuvette et de la bille B. 00' sera donc maximum lorsqu’il sera égal à r + /—2 R. C’est-à-dire lorsque les cinq points 0, 0', B, 1,1' seront en ligne droite (flg. 2S2).
La cuvette étant ainsi réglée, voici ce qui se passe dans une boîte à billes. L’axe A (Qg. 230), supporte une charge totale qui se décompose en deux charges partielles sur chaque cône G C. Chacun de ces cônes ne presse que sur une ou deux billes. Dans le mouvement de rotation, la couronne de billes tourne dans sa boîte autour du cône G et, successivement, chaque bille supporte la charge de ce cône.
Remarquons de suite, pour ne plus y revenir, que l’entretien du mouvement des billes ne demande aucun travail car il y a toujours autant de billes descendantes que de billes montantes.
Nous négligerons aussi, dans la suite, le travail dépensé dans le frottement des billes les unes sur les autres, travail qui, comme il est facile de le montrer, est très faible.
Nous nous placerons, pour raisonner, dans l’hypothèse la plus défavorable où, dans chaque boîte, c’est une seule bille qui supporte toute la charge, et nous allons examiner comment se comporte cette bille.
Elle est soumise (flg. 232) : à la pression P du cône C, en I ; à la réaction P' de la cuvette, en I' ; aux couples de frottement en I et T ; à son poids et aux forces d’inertie résultant de son mouvement. A cause de la légèreté de la bille, les deux dernières forces sont négligeables par rapport aux premières, en sorte que les quatre premières doivent se faire équilibre. Il en résulte d’abord que les deux pressions P et P' doivent être égales et directement opposées ; par suite, normales à la bille én I et T. En second lieu, les couples de frottement en I et V doivent être égaux.
Il est facile de calculer la valeur commune de P et P' dans chaque cas. Supposons, par exemple, l’axe A (flg. 250), soumis à une pression normale Q équidistante des deux cônes, la composante de P parallèle à Q devra être égale à Soit « l’angle d’inclinaison (flg. 252) de la droite II' sur l’axe xx' ; on aura :
Étudions maintenant le mouvement de la bille. D’une part, elle roule sans glisser sur le cône qui est fixe, par suite, elle est animée d’une rotation p (flg. 252), dont la direction passe par 1. Mais, d’autre part, elle roule sans glisser sur la cuvette, par rapport à laquelle elle a une vitesse de rotation relative p' qui passe par I'. D’ailleurs, la cuvette est, elle-même, animée d’une vitesse de rotation u autour de son axe xx'. D’après ce que nous avons rappelé plus haut, p doit être la ■résultante de u et de p'. Il résulte de là que les deux vitesses de rotation p et p' sont concourantes en un point F de l’axe xaf.
Les plans tangents en I et 1' à la bille coupent æa' en H et H' ; le
point F est compris entre H et H'. Sa position est déterminée par le fait que les couples de frottement en I et F sont égaux. Soient k et k' les coefficients de roulement de la bille sur le cône et la cuvette ; "V et V' les angles'FÏïr etlTiP : on devra avoir, en vertu de la formule [8] : /cP sin V = 4'P sin V',
ou
sin V sET'
Ceci fixe la position de F. En particulier, si k = k', on a V = V' et le point F est le milieu de HH'.
Nous ferons cette hypothèse {k= k'), dans la suite, pour simplifier nos formules ; elle est, d’ailleurs, sensiblement exacte dans des roulements neufs.
La vitesse angulaire (o de rotation de la cuvette est connue ; calculons les vitesses p et p'. Un calcul facile donne :
(O cos (g — V) \
^ 2 sin V COS V ’ /
a. cos (a 4- V) ( ^
p ~ 2 sinVcosV ‘ )
Le travail total dépensé dans les frottements, à la seconde, est :
<Bf—k¥p sinV + /cPp'sin V, ou: .'Sp= ftPcü cos a,
pour une boîte à billes. Remplaçons P par sa valeur ^ , et il vient :
®.'’ = |Q“COtga.
Le travail otal dans les deux boîtes à billes est donc, finalement :
<5, = /cQa>cotga. [H]
Celte formule, d’une remarquable simplicité, nous montre que, pour diminuer %f, il faut augmenter l’angle a. Il faut donc donner à a la plus grande valeur possible. Le roulement idéal serait celui pour lequel on aurait a = tlO». Le travail serait alors sensiblement nul, ou du moins négligeable, car il se réduirait au travail du frottement de roulement sans pivotement qui, comme nous l’avons vu, est excessivement faible.
Les formules [10] nous donnent immédiatement les vitesses de pivotement en I et F qui sont p sin V et p' sin V. On a, en effet :
psinV = p' sin V=
ü cos (a -j- V) 2 cos V
On en conclut :
P sin V + p' sin V = w cos a.
La somme des deux vitesses de ‘pivotement ne dépend donc pas du rayon de la bille. Si donc, on laisse a constant et que l’on fait seulement varier le rayon de la bille, la somme reste constante. Il n’est donc pas possible, en faisant varier le rayon de la bille, de les annuler toutes deux. Cependant, les égalités [12] nous mettent en évidence un fait très important, c'est que l’on a toujours ;
P sin V > p' sin V.
La vitesse de pivotement sur le cône est donc toujours plus grande que sur la cuvette. Le cône doit donc s’user plus vite que la cuvette; c’est ce que l’expérience confirme.
Pour éviter la fatigue du cône, on est alors amené à diminuer la différence entre les deux vitesses de pivotement, ce qui conduit à diminuer V. Il suffit de jeter un coup d’œil sur la figure 2o2 pour voir que l’on diminuera V en rapetissant la bille. On est donc amené à préférer, toutes choses égales d’ailleurs, les petites billes aux grosses.
En résumé, le meilleur roulement à billes à deux contacts sera celui dans lequel l’angle a est aussi voisin que possible de 90° et qui a de petites billes.
Le diamètre des billes ne peut pas être diminué impunément, car il faut encore qu’elles résistent à la pression qu’elles ont à supporter. D’après M. Robinson (i), une bille de rayon R (mesurée en miliimèlres), roulant entre un cône et une cuvette dont le rayon commun est r, peut supporter une pression de :
P = 4,4 R2 y/l -f ^ ^ kilogrammes.
L’application de cette formule donnera la valeur minimum qu’on pourra adopter pour le rayon des billes. Il faut, d’ailleurs, remarquer que si l’on diminuait outre mesure le rayon R, nous n’aurions plus le droit, comme nous l’avons fait, de négliger le frottement dû à la vitesse de roulement, car la formule [7] montre que le moment de ce couple de frottement augmente quand R diminue.
Il est bon aussi, pour éviter toute méprise, de faire encore la remarque suivante : il ne faudrait pas croire qu’il résulte de ce qui précède qu’un roulement deviendra meilleur si on y remplace les billes par de plus petites : c’est le contraire qui a lieu. En effet, la distance OH (üg. 251), du centre du congé du cône à la droite ÿi/'décri te par le centre du congé de la cuvette reste invariable lorsqu’on change les billes, et on a :
OH = (r-l-/ —2R) sin a.
(1) Voir; R. Scott; CycUng Art, Energy and Locomotion (Philadelphie,-1889), p. 174 ■et 175.
Iqrsque la cuvette est vissée à fond. Cette égalité nous montre que, OH étant constant, a diminue avec R et, par suite, en vertu de ce qui précède, que le frottement augmenie. Donc, lorsque, dans une boîte à billes déterminée, on remplace les billes par de plus petites, on diminue le rendement.
Lorsque nous disons plus haut qu’il y a avantage à diminuer les diamètres des billes, nous sous-entendons qu’en même temps on modifie le tracé du roulement, de façon que l’angle a conserve la même valeur.
De ce qui précède, il résulte, que le roulement à deux contacts idéal serait celui dans lequel a = 90“. Un tel roulement est théoriquement imaginable, mais, serait pratiquement difficile à réaliser.
La figure 2S3 donne le schéma d’un roulement de ce genre, mais il suffit de jeter un coup d’œil sur cette figure pour apercevoir que la réalisation pratique serait très difficile car, d’une part, il faudrait une très grande précision dans la construction et, d’autre part, l’introduction des billes entre la cuvette et le cône ne serait pas aisée. D’ailleurs, il y aurait probablement toujours un ballottement latéral.
La figure 254 représente une seconde disposition de ce genre dans laquelle la cuvette est cylindrique. Pour éviter les déplacements laté-
Fig. 253.
Fig. 254.
raux du moyeu, il faudrait placer, de chaque côté, des couronnes de petites billes bb. Un tel roulement ne serait avantageux que dans le cas où l’axe ne supporterait que des pressions normales, car alors les billes bb ne seraient soumises qu’à de très faibles pressions. Au contraire, si l’axe était soumis à des efforts obliques, comme cela a lieu dans les roulements du pédalier d’une bicyclette, les billes supplémen-
taires bb supporteraient des pressions notables et donneraient lieu à un travail de frottement qui ne serait pas négligeable (‘).
Calcul d’un coussinet a bü.les a deux contacts. — Pour faire le calcul des dimensions d’un coussinet à billes, on se donne : le rayon R de la bille, les rayons r et r' des congés du cône et de la cuvette, et l’angle o d’inclinaison de la droite des contacts sur l’axe.
On choisit évidemment pour R la plus petite valeur possible compatible avec la pression que la bille aura à supporter.
De plus, connaissant la pression totale agissant sur l’axe, on en déduit une limite inférieure pour le rayon de cet axe aün qu’il soit
Fig. 255. Fig. 256.
assez résistant pour ne pas se rompre. Soit a cette limite, supposée calculée à l’avance. •
Soient O le centre du congé du cône, 0' le centre du congé de la cuvette, B celui de la bille, I et l'les points de contact (fîg. 23S). On a d’abord ;
r, r', et R désignant, comme plus haut, les rayons des congés du cône et de la cuvette et celui de la bille.
On a ensuite (fig. 255) :
OH = 00' sin a = (r -f / — 2R) sin a,
OS = r, OT = r -f Ri, O'M = OT — OH,
