PARTIE ÉLÉMENTAIRE

par exemple, où l’on voudrait obtenir immédiatement le double de la n + i ème partie d’une ligne; n étant un nombre pair.

De ce que , en procédant de la même addition multiple auxiliaire à indice n , on peut , à volonté , obtenir les n+ i ou les n — i parties de la droite à diviser, selon le sens où la deuxième addition se trouve exécutée , il en résulte encore que si , fig. 6 , à partir de l’origine et sur la droite auxiliaire bc , on suppose connue d’avance la série infinie

de ses aliquotes procédant par — ’ Y’ 5 ~> ce

qui revient à y marquer les premiers termes seulement des additions multiples à indice n . . . 5,4» 3 et a , en joignant ces subdivisions au point c’ , on obtiendra , sur la

proposée, la série — , -, —, — .. . ; tandis que

si on les joint au point d', on obtiendra la série

T* 4* 5 ’ b * ' * iï+7*

Ces relations, nécessairement réciproques entre les droites bc et ba , dérivent, comme conséquence immédiate, des propriétés que nous venons de signaler dans le réseau parabolique de la fig. 5. Elles permettront, en Défaisant usage que des trois termes ad', ac' et ac', d’obtenir cependant toutes les subdivisions fractionnaires de la proposée. Et , pour n’en citer qu’un exemple qui ne manque ni d’élégance ni de simplicité, il nous suffira de faire remarquer que les deux transversales qui aboutissent sur bc à la subdivision \ opèrent complètement la division ternaire de la proposée ba\ résultat qu’on peut déduire soit de la relation établie ci-dessus entre les premiers termes des trois séries, soit en remarquant que si les aliquotes 7 , 7 , 7 , etc. , au lieu d’occuper sur bc la moitié qui correspond au point b , occupaient celle qui aboutit au point c, pour que les mêmes relations existassent entre

les deux séries dérivées , il suffirait de changer l’un pour l’autre les points de départ cetd des transversales.

Le réseau complet des tangentes étant une fois établi à demeure sur un plan , si l’on y fait mouvoir une droiterie grandeur donnée, rapportée sur le tranchant d’une règle à biseau , ou , simplement , sur le pli rectiligne d’une feuille de papier, de manière à ce que sa direction reste constamment tangente à la parabole que le réseau enveloppe , toutes les fois que ses extrémités viendront s’appuyer sur deux lignes quelconques du réseau, les n — i tangentes intermédiaires diviseront cette droite en n parties égales. En variant sa position , il sera donc possible de la diviser mécaniquement en un nombre de parties compris entre 2 et» — 1 , n exprimant celui des tangentes dont la figure se -trouvera composée.

Cette division mécanique pourrait encore s’opérer par superposition , et en faisant varier le réseau lui-même au lieu de la ligne à diviser, pourvu que celui-ci fût établi sur une surface de matière transparente; l’instrument serait alors, par rapport à la division linéaire, ce qu'est le rapporteur en corne par rapport à la division circulaire.

Il nous reste à parler de la première des trois formes que peut prendre la division graphique , celle dont tous les termes sont linéaires. -

La question, quand elle est ainsi posée, n’a de sens et ne comporte de solution que lorsque la ligne à diviser mesure une surface : sans cela , cette espèce de division ne serait pas l’inverse de la multiplication superficielle.

La surface à diviser , quand elle est mesurée par une ligne, se trouvant nécessairement rapportée à une unité superficielle carrée dont l’unité linéaire constitue le côté , c’est en projetant cette dernière unité dans le sens du diviseur au dividende que l’on obtient le quotient cherché , c’est-à-dire le deuxième côté d’un rectangle équi-