PARTIE ÉLÉMENTAIRE
arcs sont prolongés jusqu'à ce qu’ils viennent rencontrer une seconde droite auxiliaire qui part également de l’origine , et qui vient aboutir à l’extrémité de la corde que détermine , dans le plus grand des cercles , l’ordonnée qui projette le total de l'addition sur l’extrémité de la ligne à diviser. Les cordes symétriques à cette dernière, lui étant toutes parallèles , opèrent la projection demandée ; et leur direction , résultant alors d'une double subdivision identique exécutée au compas, laisse bien moins d’incertitude sur la justesse du tracé qu’elles effectuent.
Nous allons indiquer un troisième moyen d’obtenir la division d’une droite en parties égales , sur lequel nous devons plus particulièrement insister , parce que , d’une part, il se rattache à la géométrie des alignements, et que, de l’autre, il est susceptible de fournir un instrument de division assez simple , applicable aux tracés de cabinet. Il "est fondé sur une propriété de la parabole dont nous donnerons plus tard la démonstration , et dont voici l’énoncé :
Si on subdivise une tangente quelconque à la parabole en parties égales , à partir de son point de contact , et si , par les n points de division , on mène autant d’autres tangentes à la courbe , on obtiendra un réseau de lignes dont chacune sera divisée en parties égales par sa rencontre avec toutes les autres. De plus, une autre tangente quelconque sera divisée par ce réseau dans les mêmes conditions d’égalité; excepté que, pour cette dernière, le point de contact ne fera plus partie des subdivisions égales.
La proposition réciproque a lieu : si , deux lignes étant données , on opère sur chacune d’elles une addition multiple, quels que soient et le point de départ, et l’unité employée à chaque addition , les proposées et les transversales qui joindront de l’une à l’autre les termes de même indice seront tangentes à une même parabole.
Les deux tracés élémentaires rappelés ci-dessus rentrent, comme cas particuliers , dans ce théorème général.
Il suitdela proposition précédente qu’on peut parvenir à la division d’une ligne en parties égales sans avoir de parallèles à tracer. En voici le moyen : Faites passer, fig. 5, une droite arbitraire bc par une des extrémités de la ligne à diviser ab\ opérez encore sur la première de ces droites l’addition multiple à indice n , qui a le point b pour origine; terminez le triangle abc, que les deux grandeurs totales déterminent ; exécutez sur le dernier côtéac, que vous prolongerez à cet effet, une seconde addition multiple de même indice dont sa propre grandeur fournira l’unité, et dont le point de départ coïncidera avec l’extrémité de la proposée ; joignez enfin , d’une addition à l’autre , les points qui portent un même numéro , et les lignes de jonction opéreront sur la proposée une division en parties égales, dont l’indice dépendra , comifte on va le voir, du sens dans lequel aura été exécutée la seconde addition. Ainsi , quand cette dernière aura été dirigée dans le sens ad de la proposée, la transversale zéro manquera dans la figure , ou plutôt elle se superposera à la ligne à diviser ; par conséquent , la subdivision à indice i y restera indéterminée. C’est celle qui correspond sur ab au point de contact parabolique ; on trouvera sa place en rapportant à partir de l’origine la subdivision immédiatement suivante.
Quand , au contraire, la deuxième addition se prolongera dans le sens ac de la première, ce sera la transversale à indice i qui manquera , par une raison absolument identique ; et , tandis que dans le cas précédent on avait obtenu n -j- i subdivisions égales sur la proposée, on n’en obtiendra plus dans celui-ci que « — i. Mais il n’y en aura celte fois aucune à dédoubler; et, par conséquent , c’est à cette dernière disposition qu’il conviendra d'accorder la préférence , sauf’certains cas particuliers : celui ,
