AVERTISSEMENT

que nous avions entrepris pouvait bien difficilement provenir en entier de notre propre fond : une fois l’idée conçue, il ne s’agissait, en quelque sorte, que d’en rassembler les matériaux épars, de les coordonner logiquement entre eux , et de remplir les diverses lacunes qui pouvaient s'y présenter, de manière à parvenir au développement complet de la nouvelle théorie. Ce serait donc méconnaître les obligations les plus essentielles que de ne pas indiquer ici l'origine des principaux emprunts auxquels nous avons dû avoir recours.

Peut-être même nos efforts eussent-ils été complètement infructueux , sans les ressources cjue nous ont procurées et les Annales de M. Gergonne , et les travaux de M. Briauchon , et ceux plus récents de M. Poncelet. Mous avons, envers M. Chasle, une obligation encore plus étroite; car outre les précieux documents que renferme son Histoire des méthodes en géométrie , nous avons à lui faire agréer un témoignage particulier de reconnaissance pour la manière dont il a bien voulu y mentionner nos premiers essais sur le système de projection polaire.

Enfin, en dehors des facilités que nous venons de signaler, il fallait encore un certain loisir pour se livrer à la publication d’un ouvrage de cette nature : ce loisir , nous le devons à l’homme d’état qui se trouve chargé depuis 1 83a de la direction du corps des ponts et chaussées; sa bienveillance nous ayant conservé une position

AVEHTISSEMENT.

qui se trouve plus en rapport avec le genre de nos études et avec l’affaiblissement de notre santé , que la plupart de celles qui pouvaient nous être assignées, dans les rangs du service actif.

A défaut de toutes ces circonstances réunies , ce nouvel ouvrage n’eût probablement jamais paru. Il contiendra d’ailleurs assez de travaux qui nous sont personnels , pour qu’on ne puisse le regarder comme une simple compilation. Et , sans prétendre établir la moindre comparaison entre ce que nous olfions et ce que nous avons emprunté , tout ce que nous pouvons désirer de plus favorable pour le livre que cet ensemble de travaux a produit, c’est qu’on use quelque jour à son égard delà même liberté que nous nous sommes permise en le composant.

INTRODUCTION

L’idée abstraite ou collective qui se rattache aux diverses significations du mot grandeur, devrait comprendre , sans exception , tout ce qui e6t susceptible d’être modifié en plus et en moins; mais on se contente quelquefois d’appliquer ce terme générique à une seule espèce de grandeurs , dont les changements comportent une appréciation rigoureuse, et qui font l’objet principal des mathématiques. Nous allons exclusivement nous occuper , dan- ^. 9 * uvi3,

de celles qui rentrent dans cette catégorie.

Les modifications que les grandeurs sont susceptibles de subir, se trouvent renfermées entre deux limites: l’annulation totale et l'infini. Elles tendent vers la première par la diminution , et vers la sebonde par l’augmentation.

On apprécie le changement qu’une modification quelconque a fait subir à une grandeur donnée , en comparant celle - ci , prise dans ses deux états de transformation successive , à un troisième état de grandeur qu’on suppose , chez elle , primitif et invariable ; et qu’on distingue sous le nom d 'unité de mesure.

INTRODUCTION

Mesurer est l’opération par laquelle ou parvient à cette comparaison : elle consiste à déterminer combien de lois l’unité se trouve comprise dans la grandeur qu’on évalue; ou , en d’autres termes , à chercher combien de fois il faudrait faire subir à cette grandeur une diminution équivalente à l'unité, pour l’amener à sa limite d’annulation.

Toutes les grandeurs , une fois mesurées, deviennent des groupes plus ou moins considérables d’unités: et, sous cette nouvelle forme , qui répond à l’idée de quantité, le plus ouïe moins d’unités que contient chaque groupe, fait connaître les relations d’égalité ou de différence que présentent entre eux les divers groupes à comparer.

Ce procédé cesse d’être applicable quand les deux grandeurs que l’on veut mesurer ne peuvent être considérées comme provenant par modification d’une unité de même espèce. Il n’y a pas de comparaison directe à établir entre des grandeurs qui sont de nature différente.

Pour mettre la mesure des grandeurs à la portée de toutes les intelligences , on a classé méthodiquement, eu série , les différents groupes d’unités à partir de leur limite d’annulation. La nomenclature qui correspond à cette classification, est soumise à des lois si simples, qu’elle, se grave promptement dans la mémoire, et que chacun peut, par l'enchaînement méthodique de ses dénominations , se faire une idée précise ,

INTRODUCTION

soit de la place qu’un groupe occupe dans la série, soit de la quantité comparative d’unités qu’il contient.

Ce système de classemerit a reçu le nom de numération. Chacune des dénominations spéciales qui en est résultée a été appelée nombre ; de là, le nom de série naturelle des nombres que la série elle-même a reçu. La loi qui préside à sa formation est , en effet , celle qui se présentait le plus naturellement à l’esprit : chaque groupe, mis en place, doit contenir une unité de plus que celui qui le précède dans la série. La loi qui régit sa nomenclature offre, de son côté, une périodicité de dénominations et de désinences qui se reproduit à chaque dizaine d’unités successives : c’est pour cela que ce système de numération a été appelé décimal.

Une notation graphique également simple et reposant sur la même périodicité décimale, a été adoptée pour conserver et reproduire, au besoin, les divers nombres correspondants à des grandeurs déjà mesurées , et dont il importe par conséquent de conserver le souvenir. Les éléments de cette notation graphique sont connus sous le nom de chiffres. L’écriture quirésultedeleurcombinaison est tellement parfaite, qu’elle se traduit immédiatement en nombres , dans toutes les langues où la numération décimale est adoptée, et qu’elle indique nettement à l’esprit la position que le nombre qu’elle représente occupe dans la série infinie qui procède , comme on sait, par un , deux , trois, etc.

INTRODUCTION

Au moyen des relations que nous venons de rappeler, un assemblage de chiffres et le nombre qui leur correspond ont forcément , par eux-mêmes , et abstraction faite de toute considération d’unité, une signification qui leur est propre, et une valeur de position relative ; puisqu’ils indiquent une place déterminée dans une série qu’on peut, à volonté, considérer tout entière abstractivernent. Ce n’est plus alors qu’une classification mnémonique ; et , sous cette nouvelle acception , elle peut s’appliquer à une infinité d’objets tout à fait étrangers l’un à l’autre, et que l’on envisagerait exclusivement par rapport à l’ordre dans lequel ils se présentent entre eux. Ces objets sont dits alors numérotés ; les dénominations des nombres prennent ordinairement dans cette circonstance la forme adjective premier , second, troisième , etc., et la série, sous cette forme, peut admettre un terme dernier.

Dans toutes les occasions où l’on ne spécifie pas d’unités, les nombres sont dits abstraits ; et concrets dans les cas contraires.

Le moyen le plus simple pour reconnaître mécaniquement le nombre qui correspond à un groupe quelconque d’unités, est de réciter la série naturelle des nombres terme par terme , au fur et à mesure qu’on détache du groupe, une par une, les unités qui le composent. Le nombre de la série auquel on arrive au moment où la grandeur se trouve annulée, est celui qui appartient au groupe qu’on vient de détruire ; on

INTRODUCTION. 5

arrive nécessairement à un résultat identique , en reformant le même groupe par additions successives , à partir de la première unité. Cette opération , dans quelque sens qu’on l’exécute, s’appelle compter. Les deux manières de compter se servent de vérification mutuelle.

Mais on sent que dans le plus grand nombre des cas, il est absolument impossible d’évaluer une grandeur donnée en la comptant. Les opérations mentales et matérielles auxquelles on est alors obligé d’avoir recours , ont reçu le nom de calcul. C’est par le calcul pris dans son acception la plus générale que les mathématiques nous font arriver à la détermination des grandeurs.

Comme les modifications opérées sur les nombres exprimés en chiffres , correspondent toujours à une modification équivalente des grandeurs représentées par eux, c’est sur les nombres considérés abstractivement et exprimés en chiffres , que s’exécutent le plus ordinairement les opérations de calcul qui font connaître à priori ce que deviennent les grandeurs qu’ils représentent , quand on se propose de les modifier en plus ou en moins d’une manière quelconque. . Les opérations d’ensemble et de détail qui conduisent à ce résultat, s’appellent alors calcul arithmétique, et la science qui les concerne porte elle-même ce nom. Ces calculs peuvent, en se conformant h de certaines règles connues, s’exécuter mentalement sur les nora-

INTRODUCTION

bres, comme s’exécuter, en quelque sorte, mécaniquement sur leur représentation en chiffres.

L’arithmétique n’étant, elle-même, qu’une branche particulière de la science des grandeirrs , ne fournit pas , à beaucoup près , tous les procédés qui sont nécessaires pour parvenir, à les évaluer. Au lieu défigurer la série naturelle des divers groupes d’unités par des assemblages de chiffres , qui sont des signes purement conventionnels , et qui ne représentent rien par euxmêmes, on peut également la représenter, dans certaines circonstances, par la série naturelle des unités linéaires; puisqu’enajoutantsuccessivementetboutü bout l’unité linéaire à elle-même, ori arrive à former des groupes de même rang, dans chacune des séries naturelles, susceptibles , par conséquent, d’être , au besoin, désignés par les mêmes nombres , et figurés par les mêmes chiffres. On y trouve cet avantage que, dans une infinité de cas , les grandeurs linéaires sont immédiatement comparables entre elles , sans avoir besoin d’être rapportées à une même unité.

Les calculs qui correspondent è cette espèce de grandeur dépendent de la géométrie, et s’exécutent matériellement par le tracé, l’œil peut toujours en suivre les opérations comme en apprécier très - approximativement la justesse.

Daps ce nouveau système de calcul , la série linéaire qui correspond , terme à terme , à celle des nombres naturels , prend le nom d 'échelle.

INTRODUCTION

Vu la parfaite symétrie qui existe clans toutes ses parties, on peut, sans inconvénient, réduire une échelle à ne contenir qu’un petit nombre de groupes d’unités. 'Elle porte ordinairement avec elle, et indique par une notation chiffrée, son rapport , terme à terme , avec la série des nombres naturels. C’est au moyen de cette correspondance que l’on parvient immédiatement à exprimer en nombre une grandeur linéaire quelconque; et, réciproquement, que l’on peut traduire en ligne une grandeur quelconque déjà mesurée et exprimée en nombre. Cette dernière substitution une fois opérée, on conçoit comment les diverses opérations de calcul qui avaient lieu arithmétiquement sur les nombres représentés en chiffres, peuvent s’exécuter , à leur tour, graphiquement sur ces mêmes nombres représentés pardesgrandeurs linéaires du même ordre, en se conformant aux lois géométriques qui régissent les modifications de ces dernières. Telle est l’idée fondamentale qui a donné naissance i cet ouvrage.

Nous allons voir*, en suivant ses développements, que toutes les opérations de calcul arithmétique ont leurs équivalentes dans le système de calcul graphique. Lors donc qu’il s’agira de combiner des nombres entre eux , ou de grouper des unités suivant certaines lois , nous allons établir, que l’on pourra également y parvenir , soit par la science du calcul des chiffres ou l’arithmétiqueproprement dite, soilau moyen du calcul par le trait dont la géométrie fait connaître les règles.

INTRODUCTION

Ces deux procédés pouvant se servir de vérifications mutuelles , ayant, d’ailleurs, chacun des avantages qui leur sont propres, nous avons lieu d’espérer que l’exposé des règles du calcul par l’art du trait auquel nous allons nous livrer dans cette nouvelle publication , ne sera pas un travail entièrement dépourvu d’intérêt et d’utilité , et c’est ce que nous confirmerons au besoin par les applications dont nous avons à les faire suivre.