PARTIE ÉLÉMENTAIRE

troisième ternie donné était plus petite que la perpendiculaire abaissée de son point de départ sur la conjuguée opposée , la solution deviendrait impraticable. On obvie sans peine à cet inconvénient , en remplaçant la deuxième conjuguée par une aqtre qui intercepte un angle moindre , et qui rende possibleies conditionsdu tracé. Un instrument spécialement affecté au calcul graphique : le compas de proportions est fondé sur la nécessité de ce rapprochement accidentel des deux conjuguées; à cet effet , celles qu’il porte spnt mobiles autour de leur commune origine. Ces conjuguées présentent chacune une échelle identique, dont le zéro correspond à l’origine commune. Quand, sur l’une de ces échelles , on a superposé les deux grandeurs a et b à partir de l’origine, de l’extrémité de celle qui (l’antécédent )

constitue i. , {connu, et avec une ouverture

v. le conséquent!

de compas égale au terme distinct (à la transversale) , on cherche par tâtonnement et en rapprochant la deuxième branche de l’instrument , une ouverture angulaire qui permette aux conjuguées de former un triangle isocèle, dont la transversale doit occuper la base, ce qui arrive, au moment où la pointe libre du compas tombe sur la seconde conjuguée , au point qui correspond exactement sur l’échelle mobile à celui déjà occupé sur l’autre échelle par la pointe fixe. Toutes les transversales qui remplissent les mêmes conditions d’égalité se trouvant nécessairement parallèles entre elles , on voit comment la valeur du quatrième terme s’en déduit, et comment une autre ouverture de compas donne immédiatement ce quatrième terme , soit la seconde transversale parallèle à la première.

Le compas de proportion a donc pour objet principal d’opérer la projection des lignes entre elles dans un rapport quelconque, tout en dispensant d’avoir pour cela des parallèles à tracer. Il contient, en outre , plusieurs autres échelles qui sont destinées, soiL à la mesure graphique des arcs, soit à relui du diamètre «1rs boulets de

4o LE calcul par le trait.

divers calibres , etc. Nous renvoyons ceux qui pourraient désirer une description plus complète de cet instrument, aujourd’hui à peu près négligé , aux ouvrages spéciaux qui ont été expressément composés pour en expliquer la construction et en indiquer les divers usages.

Nous pourrions au besoin trouver encore d’autres séries par quotient dans la fig. i4 ; nous indiquerons, parmi ces dernières , celles que forment les surfaces triangulaires et trapézoïdales semblables, comprises entre les conjuguées et les transversales successives, et dont la raison est i à a’. Sans insister davantage sur ce point, nous nous contenterons d’appeler de nouveau l’attention du lecteur sur la fécondité des conséquences qui peuvent , comme on voit , se déduire de la seule inspection des formes graphiques sous laquelle une seule série se présente.

Pour obtenir la somme d’un nombre de termes donnés, dans une progression par quotient, il faut encore la supposer tracée à termes tout à fait distincts , puis admettre que chacun d'eux est multiplié par la raison. Cette opération équivaudra h la multiplication de la somme totale cherchée , et s’efïectuera graphiquement en faisant avancer tous les termes d’un rang. Elle doublera donc à partir du second, tous les termes de la série primitive, qu’elle dépassera d’un terme à son tour. Si nous soustrayons donc la série primitive de celle-ci , le reste , d’après les règles delà soustraction, se composera de la dillérence des seuls termes non-doublés ; c’est-à-dire du premier de la série primitive et du dernier de la série qui a avancé d’un rang , et ce reste équivaudra nécessairement à ce que devient la série , quand , après l’avoir multipliée par la raison q , i : q, étant alors le sens de projection , on la retranche une fois du produit obtenu , c’est-à-dire , quand on la multiplie par q — i.En divisant donc ce même reste par cette quantité {q — i ) , on aura la somme cherchée. Cette division opérée graphiquement entre les deux transversales extrêmes prises pour conjuguées , donnera la somme