EXTRACTION GÉNÉRALE DES RACINES

Pour parvenir à construire les racines plus élevées que le deuxième exposant, nous allons reprendre la fig. 7, qui donne la série des puissances de a, et la mettre sous une forme plus appropriée au but que nous nous proposons. Imaginons , pour cela , un assemblage de conjuguées partant toutes d’une même origine o, fig. i 5 , faisant toutes de l’une à l’autre un angle constant a , qui soit partie aliquote de la circonférence entière, et après les avoir ainsi disposées , distribuons sur chacune d’elles une portion du tracé qui , dans la fig. 7, donne les puissances successives de a; de telle sorte, que l’unité soit portée sur celle de ces lignes qu’on choisira pour point de départ , la grandeur a sur 1% suivante , a ’ sur celle qui vient après , et ainsi de suite en opérant toujours dans le même sens. Par ce moyen , chaque angle a ne contiendra qu’une seule des transversales qui se tiennent bout à bout et en forme de lacet sur la fig. 7 , et ces transversales formeront , dans la nouvelle figure , un polygone continu , non fermé, dont chaque côté aura pour propriété caractéristique de faire des angles constants , soit avec le rayon vecteur qui aboutit à son origine, soit avec celui qui passe par son extrémité, soit avec tout autre rayon qui le diviserait en parties proportionnelles ; propriété que partagent également les diagonales ab, cd, etc., qui, dans ce polygone, soustendent un même nombre de côtés , c’est-à-dire un même nombre de fois l’angle a. De plus , d’après le tracé qui donne l’élévation aux puissances un quelconque de ces rayons vecteurs étant pris pour unité, et le suivant pour racine, les autres, placés à la suite , pris successivement et dans l’ordre naturel , donneront à leur tour les deuxième , troisième , qua-

iriùniCj etc., puissances de cette racine; pourvu qu’il y ait entre tous ces rayons successifs , le même nombre d’angles a qu’il en a été compris entre les deux qui représentent l'unité et la racine.

Enfin , comme ces propriétés sont absolues et entièrement indépendantes, soit de la grandeur de l’angle a que l’on peut réduire à volonté , soit du rapport primitif l à a, duquel dépend l’inclinaison constante de toutes les transversales, eu égard aux rayons vecteurs qui leur correspondent, il s’ensuit qu’à la limite, chacun de c^s polygones se transformera en une spirale abcd , etc. , conservant toutes les propriétés ci dessus mentionnées ; et qu’une quelconque de ces spirales , qui varieront seulement entre elles par l’inclinaison constante de la tangente sur le rayon vecteur, pourra servir à résoudre les divers problèmes qui concernent les grandeurs réciproques des puissances etwde leurs racines.

Puisque sur cette figure , et d’après les propriétés susmentionnées , la deuxième puissance de a s’obtient en ajoutant une fois à lui-même, dans le sens de i à a, l’angle compris entre les deux rayons vecteurs égaux à ces deux dernières quantités ; la troisième, en ajoutant deux fois à lui-même le même angle; la m'”' en l’ajoutant m — i fois; et puisque la puissance m cherchée se trouve mesurée sur le rayon vecteur extrême ainsi obtenu :

Il s’ensuit, par la construction inverse, que la y a s’obtiendra , à son tour, en trisectant l’angle compris entre les rayons vecteurs 1 et a ; la p / a, <n divisant ce même angle en quatre parties égales ; la y a enfin , en divisant toujours ce même angle en m parties égales-, le rayon le plus voisin de l’unité donnant, dans tous les cas , la grandeur de la racine cherchée V a ; tandis que les rayons suivants correspondront aux valeurs

( ni \a / m \ 3 / m / m \m

Va ) . \ Va ) , [Va { Va ) ■