PARTIE ÉLÉMENTAIRE

Ces solutions exigent que l’on sache diviser un angle donné en m parties égales , ce qui nous offre un autre problème dépendant de l’art du trait, et que la progression par équi-dilïèrence mise sous forme de spirale , va nous donner «à son tour le moyen de résoudre d’une manière générale.

Car , bien qu’on puisse exécuter ces divisions sur l’arc de cercle qui , en sa qualité de grandeur linéaire, est, comme nous l’avons déjà remarqué , la commune mesure des angles plans : comme les divisions de l’arc sont tantôt possibles par la règle et le compas, et tantôt impossibles , il sera plus simple et plus général de se servir pour cela de la spirale par équi-différence , au moyen de laquelle on ramène, par un procédé identique, la mesure de ces mêmes amrles à celle de la irrandeur linéaire qui constitue la différence des rayons vecteurs comprenant entre eux l’angle donné.

Transformons la progression par différence, en employant le même procédé que nous avons appliqué à la progression par quotient , nous arriverons ainsi à un second polygone , tel que chaque rayon vecteur aboutissant aux sommets successifs du contour polygonal , ou embrassant entre eux un même nombre de ses côtes, excédera celui qui le précède d’une même quantité. Et en passant à la limite, il en résultera une autre spirale, dans laquelle une suite quelconque de rayons vecteurs , procédant entre eux par angles égaux , présenteront des longueurs relatives procédant entre elles par équi-dilférence.

Par cette seule propriété , tous les problèmes dans lesquels il s’agit de modifier un angle par addition ou soustraction se trouveront ramenés , au moyen de cette courbe, à ne plus exiger que des additions et des soustractions linéaires ; un seul exemple suffira pour en faire l’application et pour en montrer l’usage.

Supposons un angle donné quelconque à diviser en n

parties égales ; plaçons cet angle de manière que son sommet coïncide avec l’origine de la spirale par différence. Ses deux côtés , dans quelque sens qu’on le présente , deviendront deux rayons vecteurs de la courbe ; et pour résoudre le problème , il suffira d’intercaler , entre ces deux rayons, n — i termes d’une progression par différence, dont on obtiendra la raison, en divisant en n jiarties égales la différence qui existe entre le premier et le dernier terme ; c’est-à-dire, entre les rayons mêmes qui forment l’angle donné; ou seulement le dernier terme quand le premier sera égal à zéro. Les n -f i rayons formant une progression par différence, procéderont nécessairement entre eux par angles égaux.

La spirale par différence devient donc le complément indispensable de la spirale par quotient , dans tous les problèmes dont les solutions dépendront d’opérations analogues à exécuter sur des angles donnés. Il en résulte que si , du même pôle , on trace ces deux spirales de manière à ce que le zéro de l’une corresponde à l’unité de l’autre , elles formeront un ensemble , au moyen duquel toutes les opérations fondamentales du calcul graphique seront ramenées , savoir : la multiplication , à une addition ; la division, à une soustraction ; l’élévation aux puissances, à une multiplication (addition multiple) et l'extraction des racines à une division (soustraction multiple).

Les deux spirales ci-dessus étant destinées à mettre en regard deux séries linéaires qui procèdent chacune d’une loi de formation différente , on conçoit facilement qu’en exprimant ces deux séries en chiffres, on pourrait, en l’absence de toute figure, les mettre en regard dans un ordre identique, et les disposer entre elles, de manière à ce que lesmodifications arithmétiques opérées sur les termes de l’une , fissent reconnaître immédiatement le résultat des modifications plus compliquées , qui en sont comme la conséquence , dans les termes de l’autre. Celte