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se prête le mieux à la description circonstanciée du terrain, et que, par son moyen, on décrit et on nivelle tout à la fois. C’est aussi celle qui convient le mieux à la cubature.

Quand, enfin, l’on aura pour but principal de donner à l’esprit le sentiment des formes et celui de leurs relations , sans avoir à s’occuper de leur mise en œuvre ; quand il s’agira uniquement de parler aux yeux , et de provoquer une rapide intelligence de l’objet décrit , c’est à la projection polaire à trois dimensions qu’il faudra nécessairement recourir ; car ses épures , étant des perspectives , montreront les objets tels qu’ils se présenteraient naturellement à l'œil.

Cette dernière méthode , dont on trouvera un exposé succinct dans le cours de cet ouvrage , par cela seul qu’elle décrit au moyen d'une seule projection , appartient plus spécialement au calcul par le trait. Elle constitue une espèce d’algèbre graphique qui s’applique avec succès à la solution d’une foule de problèmes de géométrie plane. Ceux-ci se trouvent presque toujours résolus , comme par intuition , dès l’instant où l’on a pu ramener les lignes qui les concernent à constituer une épure polaire ; car ces lignes accusent alors très-simplement des relations qu’il était assez difficile de prévoir à priori, puisque les circonstances qui les établissent dépendent de l’espace , et tiennent ainsi à la signification nouvelle qu’était susceptible de recevoir sous forme d’épure la figure plane dont on avait d’abord à s’occuper.

On trouvera, dans le chapitre des interpolations, que le système de projection polaire admet une seconde forme qui se rapporte plus directement à la géométrie de la règle , et que nous avons appelée projection dièdre ; nous en donnerons quelques exemples principalement destinés à confirmer cette assertion.

Il existe encore une autre manière de concevoir lu pro-

jection; elleest susceptible de s’appliquer également bien à toute figure provenant des trois premiers systèmes : c’est la détermination des ombres. Les ombres constituent , en général, la projection lumineuse d’un corps sur ses propres surfaces et sur celles des corps qui l’avoisinent ; par cette seule explication , on reconnaît que ce dernier système ne saurait être que le complément des trois autres , puisqu’il faut d’abord que le corps soit rigoureusement décrit , et par suite exactement dessiné, pour que ses surfaces diverses puissent devenir le siège d’une projection nouvelle.

La lumière projette par ordonnées parallèles , quand le point éclairant est censé à l’infini , èt par ordonnées polaires, quand le point éclairant se trouvé à une distance finie. Ce point est alors, lui-même, le pôle de projection. Les ombres rentrent ainsi dans les deux procédés généraux indiqués ci-dessus , et n’en diffèrent que par la nature et la diversité des surfaces sur lesquelles la projection s’opère. Il faut, de plus, y tenir compte du sens de la projection lumineuse, pour être à même de distinguer la portion qui reçoit la lumière de celle qui doit rester obscure.

Il n’y a de lignes susceptibles de porter ombre que celles qui constituent sur un même corps la séparation île la partie obscure et de la partie éclairée. Ces lignes sont des arcles, quand elles appartiennent à deux surfaces différentes ; et des courbes- de contact dites de séparation d’ombre et de lumière, quand la séparation s’opère sur une même surface. Sur la sphère, par exemple, la courbe de séparation d’ombre et de lumière est un cercle , et quand une sphère porte ombre, on ne doit tenir compte que de l’ombre produite par la surface de ce cercle.

Ce qui , dans le système de projection parallèle ou polaire, reçoit le nom de contour apparent d’un corps, s’appelle donc ici ligne de séparation d’oiiibre et de lumière ; il n’y a que les mois île changés.

l'ARTIE ÉLÉMENTAIRE.