MESURE ET MODIFICATION DES SURFACES

Toute section plane opère la division de l'espace en deux parties égales. Si nous admettons que les deux moitiés ainsi déterminées se détachent entre elles, cette séparation mettra en regard les deux surfaces planes qui limitent chacune des moitiés prises séparément, surfaces qui se trouvaient exactement juxta-posées avant la séparation , et formaient ainsi l’incrustation et le relief qui sont le résultat de toute section opérée dans l’espace, aussi bien quand elle est générale que lorsqu’elle n’est que partielle.

Une de ces deux surfaces planes ou plan , prise à part, forme un tout infini , puisqu’elle limite un espace inGni. Pour distinguer , en conséquence , une portion de ce tout, il faudra la limitera son tour, c’est-à-dire accomplir ou simuler les opérations qui seraient nécessaires pour la détacher de l’ensemble auquel elle appartient. Il suit de là que les limites des surfaces partielles résultent de toute solution vraie ou simulée , opérée dans la surface entière dont elles font partie. Les limites qui résultent d’une * solution quelconque opérée dans une surface prennent le nom générique de lignes , et présentent aussi les deux formes relief et incrustation.

En nous bornant à considérer celles qui proviennent de l’existence simultanéed’une section et d’une solution plane, et qui ont reçu le nom de lignes droites, nous pouvons admettre : i° l’existence d’une seule solution ; la surface

QUADRATURES ET CUBATURES. 65

totale du plan se trouve alors divisée en deux parties

égales; 2 “ l’existence simultanée de deux solutions : le plan se trouve alors divisé en quatre parties qui sont égales deux à deux , puisqu’elles sont exactement superposables par couples; 3° enfin, l’existence de trois solutions ; et , quand la troisième ne passe pas par le point commun aux deux autres , outre les six portions également superposables par couples qui en résultent , il existe, de plus , entre les trois solutions , une portion de surface fermée, et de laquelle un point mobile qui parcourrait le plan ne pourrait sortir sans avoir à franchir une limite. Cette portion , qui a reçu le nom de triangle, augmente quaml une des limites s’écarte parallèlement a elle-même; elle diminue, au contraire, quand la limile mobile se rapproche du point commun aux deux autres , et devient nulle quand, enfin , cette même limite vient à passer par ce point. Nous venons donc de reconnaître à cette portion fermée de surface plane tous les caractères d’une grandeur mathématique; il nous reste à indiquer les procédés par lesquels se mesure cette nouvelle espèce de grandeur. Nous devons écarter, momentanément, le procédé de superposition soustractive, par cela seul que le reste d’une soustraction triangulaire n’est pas une portion de surface immédiatement comparable aux deux autres termes de la soustraction. La superposition , quoique ce soit le seul moyen qui puisse conduire à l’évidence , quand il s’agit de constater l égalité de deux grandeurs matérielles , ne pourrait pas même , dans la plupart des cas, nous faire reconnaître directement le rapport d’égalité entre deux surfaces triangulaires quelconques ; elle n’est praticable, en effet, que pour deux triangles qui sont dans le rapport de relief et d’incsrutation ; ce sont les seuls qui soient susceptibles d’être directement superposés.

Deux triangles situés sur un même plan comportent une

superposition indirecte ou directe , selon qu’ils se trouvent égaux ou symétriques; mais le moyen par lequel on parvient 3 les placer en superposition directe ne peut plus être mis en usage dès qu’il s’agit d’une autre surface que le plan.

Soient deux triangles symétriques, ayant leurs trois côtés respectivement égaux , mais disposés entre eux dans l’ordre où ils se présentent , quand l’un des triangles est , par réflexion , l’image de l’autre ; si nous nous contentions de faire glisser leur plan commun, pour les amener à superposition avec le même relief, jamais la chose ne serait possible, parce que le côté homologue, qui occupe dans l’un la droite de l’hypoténuse, dans l’autre, au contraire, occupe la gauche; mais , si nous supposons que la surface plane sur laquelle ils sont tous deux tracés se plie autour d’une certaine ligne comme charnière, de par suite de ce mouvement , les deux portions de plan pourront venir s’appliquer en regard; et ce changement qui place les deux triangles dans la position respective relief et d’incrustation, rendra leur superposition immédiatement possible ; un des triangles , en se retournant, ayant échangé, bout par bout, ses relations de droite et de gauche.-

Si , au lieu de deux triangles plans symétriques , nous avions à démontrer dans les mêmes circonstances l’égalité de deux triangles sphériques , comme la superposition des surfaces sphériques ne peut avoir lieu par duplicature , vu que jamais le relief ne saurait s’y convertir en incrustation, on voit que la superposition sphérique est alors absolument impossible, soit directement, soit indirectement ; mais, on arrive à la démonstration d’égalité , en prouvant que la surface de chacun des triangles à comparer est le reste d’une soustraction , dont les termes sont eux-mêmes indirectement superposables. Le raisonnement prend alors cette forme logique : si de deux grandeurs égales par superposition on retranche terme

QUADRATURES ET CUBATURES. 67

à terme une suite de grandeurs égales et superposables deux à deux , les restes , quoique non superposables , seront nécessairement égaux. Ainsi les calottes sphériques, déterminées par le cercle circonscrit à chaque triangle sphérique symétrique , se trouvent en effet égales et superposables; et, d’un autre côté, les trois lunules qu’il faut en soustraire, pour les ramener aux triangles proposés, sont pareillement égales et superposables deux à deux. Nous verrous plus tard celte forme de raisonnement servir également à démontrer l’égalité des angles trièdres symétriques.

Quand deux surfaces planes sont entre elles dans le cas d’égalité non superposable, on dit quelles sont équivalentes. La géométrie élémentaire fournit tous les moyens nécessaires pour transformer une surface donnée en ses équivalentes; ainsi, par cela seul qu’un triangle est la moitié superposable d’un parallélogramme, et qu’on peut démontrer, par superposition soustractive, l'équivalence de tous les parallélogrammes ayant même base , et compris entre celte base et une ligue qui lui est parallèle , il en résulte que tous les triangles qui ont une base commune , et leur sommet situé sur une parallèle à cette base sont équivalents entre eux. Les relations d’équivalence se prêtant à une démonstration rigoureuse et à une grande simplicité de transformation , c’est de cette sorte d’égalité qu’on a déduit les lois générales de la mesure des surTaces planes.

11 existe une forme particulière de surface fermée , le parallélogramme rectangle , qui , quand on la modifie par l’écartement parallèle d’une de ses limites, reste partiellement superposable, et par conséquent comparable à elle-même , tant dans sa portion primitive que dans 1 augmentation produite. Cette surface se trouvant ainsi mesurable à l’instar de la ligne droite , ses modifications peuvent être exprimées linéairement par les modifications

identiques de celles de ses lignes qui les partagent et les reproduisent ; on voit , dès lors , que pour rendre deux surfaces quelconques comparables entre elles par super- * position , il suffit de les transformer géométriquement chacune en un rectangle de surface équivalente et de base commune ; car une fois la transformation opérée, la comparaison linéaire des hauteurs de ces rectangles équivaudra h la comparaison immédiate des deux surfaces primitives.

On choisit pour base constante de ces rectangles transformés l’unité de mesure linéaire , qui sert à évaluer leurs côtés respectifs ; de telle sorte que, dans le nombre qui sert à exprimer les dimensions en hauteurs , on trouve en même temps celui des carrés superficiels que le rectangle comporte, et dont il peut être censé formé, par additions successives. Chacun de ces carrés , qui ont euxmêmes pour côté l’unité linéaire , constitue , par conséquent , l’unité superficielle à laquelle les surfaces primitives se trouvent rapportées.

D’après ces explications , il doit être bien entendu que, dans tout ce qui va suivre, évaluer ou mesurer une surface sera simplement pour nous trouver la hauteur du rectangle qui lui est équivalent , et qui a l’unité linéaire pour base ; et pourvu que nous ne changions rien à l’unité adoptée , une fois cette hauteur trouvée , on conçoit que nous serons libres d’opérer à volonté sur elle, soit par addition , soit par soustraction , et que les modifications linéaires que nous lui ferons ainsi subir représenteront nécessairement des modifications identiques dans la surface primitive.

QUADRATURES ET CUBATl'RES.

MESURES GRAPHIQUES DES WfàCES.

Lemme. Un rectangle quelconque a pour mesure linéaire sa hauteur répétée autant de fois que sa hase contient d’unités linéaires , soit le produ^f. de la multiplication de sa hase par sa hauteur. On n’aura donc qu’à exécuter graphiquement cette multiplication pour obtenir la dimension correspondante cherchée. Elle sera nécessairement commune u tous les parallélogrammes équivalents, quand ils seront rapportés à la même unité de mesure.

Un triangle quelconque étant équivalent à un triangle rectangle de même base et de même hauteur, et celui-ci étant la moitié superposable du rectangle déterminé par les mêmes dimensions , il s’ensuit qu’on obtient la mesure linéaire d'un triangle quelconque en prenant la moitié du produit de la multiplication graphique de sa base par sa hauteur, soit le produit de la base par la demi-hauteur.

La méthode générale d’évaluation graphique de la surface d’un triangle consistera donc à prendre pour origine , PI. II , fig. 5 , un des sommets adjacents à la base bc, et à exécuter, entre les deux cotés qui s’y rencontrent pris pour conjuguées , la multiplication susmentionnée. La base s’y trouvant toute portée , il ne restera plus qu’à y disposer convenablement la demi-hauteur de c eneet l’unité linéaire deceud, et à procéder au tracé qui opère la multiplication entre les deux facteurs. Le produit cg donnera, en mesure linéaire, la superficie cherchée, soit, comme nous l’avons déjà remarqué , la hauteur du rectangle équivalent, ayant l’unité linéaire pour base. On parviendra plus simplement encore au même résultat en portant sur les mêmes conjuguées d’un côté deux fois l’unité, et de l’autre deux fois la demi-hauteur du triangle , c’est-àdire , la hauteur totale elle-même : cette seconde manière d’obtenir le sens de projection dispense de prendre la moitié de la hauteur -, opération toujours assez longue , soit

qu’on l’exécute par tâtonnement, soit qu’on y applique le tracé rigoureux.

Quoique cette construction ne soit pas très-compliquée, on va voir qu’il est possible d’arriver encore plus simplement au même résultat; ce qui ne laisse pas que d’être de quelque importance, quand il s’agit d’une opération qui, appliquée, par exemple, au métrage des terrassements «le route , serait de nature à se renouveler trèsfréquemment.

Il existe deux sortes de triangles dont la surface se trouve donnée par la longueur même d’une de leurs dimensions constitutives; savoir : ceux dont un des côtés est égal en longueur à deux unités linéaires , et ceux dont une des trois hauteurs présente, cette même dimension. Les premiers ont pour mesure la hauteur corrélative ait côté qui égale deux, et les seconds le côté qui correspond à la hauteur qui est double de l’unité. En transformant donc le triangle proposé en un autre équivalent en surface, et qui soit dans une de ces deux catégories, on obtiendra dans les lignes du second la dimension qui mesure la surface du premier. Deux nouvelles solutions résultent de cette remarque.

Deuxième solution. Soit donné le triangle abc , PI. II , fig. 6. Si , sur le côté ab , nous portons, à partir du point ô, une grandeur bb' égale à deux unités ; et si , par a , nous menons une parallèle à i'c, jusqu’à sa rencontre c' avec la direction bc , le parallélisme des deux lignes établira l’équivalence des triangles ac'c et ac'b'; soustrayant la partie commune aod, on en déduira l’égalité de aob et cc’o ; et, enfin, celle des triangles abc et bbc', par l’addition du quadrilatère ocb'b. Mais le dernier triangle bb'c\ à cause de bb' = a , a pour expression de sa surface la hauteur ch au-dessus de ab; cette même dimension sera donc, aussi , la mesure de son équivalent abc.

Dans cette construction , on se dispensera de mener les

QUADRATURES ET CUBATl'RES. <J I

lignes b'c et h'd , et même la hauteur c'h ; celle-ci peut être prise'avec un double-décimètre, instrument qui^serl à mener des perpendiculaires assez exactement pour que, sans les tracer, on puisse en évaluer directement la grandeur sur f échelle que portent ses tranches. Ce moyen est , comme on voit, déjà plus expéditif que le précédent.

Troisième solution. Soit donné le même triangle abc ; PI. II ,/ig. y. Du sommet A, pris pour centre, on tracera une circonlér. nce avec une grandeur de rayon br égale à deux ; du poinL a , on mènera à cette circonférence une tangente que l’on prolongera jusqu’à sa rencontre d avec une ligne auxiliaire cd, menée par le sommet c, parallèlement à la base ab. Le point d pourra, dès lors, être considéré comme appartenant à un nouveau triangle abc', équivalent au triangle proposé, puisqu’ils ont une hase commune et leurs sommets placés sur une parallèle à cette base. Ce nouveau triangle, ayant par construction la hauteur de son sommet b au-dessus de ac égale à deux unités, a pour expression de sa surface la mesure linéaire de ad, mesure qui lui sera par conséquent commune avec le triangle douné.

En l’état, ce troisième procédé pourrait être considéré comme le plus compliqué des trois, puisqu’il exige l’emploi successif de l’équerre , du compas et de la règle ; mais il sera facile dans la pratique de le simpliûer. El d’abord , on se dispensera d’avoir recours au compas (nous verrons plus tard qu’on peut également se passer de l’équerre), en employant puur tracer la ligne ad un double-décimètre gradué dont la largeur soit exactement égale à deux unités, c’est-à-dire égale à o m .02 , si , par exemple, l’échelle adoptée était de o”.oi pour mètre. Il suffira , pour remplir la condition de tangence, indépendamment du tracé circulaire ,/ig. 8 , d’appliquer cet instrument sur la base ab, de manière à la recouvrir en totalité; et d’assujettir ses deux tranches à passer l’une par le point b , et

l’autre par le point a. On trouvera dans cette nouvelle disposition un autre avantage; c’est que le "décimètre étant ainsi placé, on pourra évaluer immédiatement, sur l’une ou l’autre de ses échelles, le nombre qui correspond à la longueur de ac' , et par conséquent à la surface du triangle proposé.

Ce dernier moyén reprend ainsi l’avantage; et son extrême simplicité doit le faire préférer à toute autre méthode d’évaluation, surtout quand on aura un grand nombre de triangles à mesurer à la même échelle, ce qui se présente assez fréquemment dans la pratique de l’art de l’arpenteur et de l’ingénieur. .

Il y a plus , ce procédé ne se borne pas aux triangles ; on peut également encore l’étendre aux quadrilatères. Car, en plaçant le double-décimètre de manière à ce que ses deux tranches passent par les extrémités d’une des diagonales ac du quadrilatère abcd, PI. II , fig. y et 9, il mesurera . entre les deux parallèles menées à cette diagonale par les sommets betd, la surface totalisée des deux triamrles abc et adc , qui forment l’ensemble de ce quadrilatère.

Quand les triangles à mesurer seront d’une dimension trop grande pour permettre l’emploi de ce moyen de mensuration , ce qui aura lieu toutes les fois que le plus petit côté ou la plus petite hauteur excédera trois fois la largeur de l’instrument , il conviendra de les mesurer par parties. Il suffît , pour cela, de diviser un des côtés , pris pour base, en un certain nombre d’éléments qui puissent satisfaire à la mensuration. Le triangle proposé étant la somme des triangles partiels qui proviennent de ces subdivisions, on évaluera leur total avec assez de simplicité, si on a soin de porter n — 1 divisions égales sur cette base , ce qui peut toujours avoir lieu sans tâtonnement (n étant le nombre total des parties). On réduira , par ce moyen , la mensuration effective à celle des deux seuls triangles élémentaires dont les bases diffèrent de longueur.

QUADRATURES ET CUBATURES. j'i

Dans le cas où le triangle proposé aurait une de ses hauteurs de dimension mensurable, on devrait le considérer comme un quadrilatère dont cette hauteur serait la diagonale, et le mesurer en conséquence.

Quand le triangle manquera, au contraire , aux conditions de mensuration par la petitesse de ses côtés, on répétera sa plus grande ligne, par additions successives, un nombre de fois suffisant pour que le total puisse atteindre aux deux échelles de l’instrument; et l’on diminuera la surface trouvée proportionnellement à l’augmentation qu’aura dû recevoir la base, sur laquelle on aura opéré , pour devenir mensurable.

Si l’on n’avait, enfin, qu’un double-décimètre dont la largeur p ne fût pas égale à deux unités de l’echelle adoptée, il faudrait , pour s’en servir, modifier la base ab suivant le rapport de a à p. Dans cette supposition, on porterait sur ac , fig. 7, les dimensions p = ap et 2 = ap ; et la parallèle pb à la direction pb, opérerait la division de la base dans le rapport susmentionné. Regardant alors la partie ab' comme la vraie base du triangle, on obtiendrait la surface cherchée en y appliquant l’instrument défectueux.

D’après les considérations précédentes , le même double décimètre ne peut servir, comme on voit , avec avantage à la mesure des triangles , que dans les seuls cas où l’échelle du dessin se trouverait exactement dans uu rapport sousdouble avec la largeur de l’instrument; ce qui semblerait exiger presque autant de doubles-décimètres qu’il peut se présenter d’échelles différentes ; mais il est possible de donner beaucoup plus d’extension aux services qu’un même instrument peut rendre , en le faisant construire en matières transparentes (*). On peut , dans ce but ,

O La transparence de l'instrument, en permettant d'appliquer sur les côtés des petits triangles une échelle transversale sous-multiple , dispense d’augmenter leur dimension.

l’établir en corne moulée, ou, mieux encore, en écaille blonde.

Celui que nous avons fait construire pour notre usage(*) présente une petite règle à bords tranchants , et à section transversale de forme ménisque , fig. 9 , conforme en cela au double -décimètre en ivoire qu’on trouve à Paris chez divers fabricants. Sa largeur est exactement de o ra .o4; il porte, sur sa face plate, une suite de lignes parallèles distantes entre elles de o“.ooi , d’où résulte une échelle transversale qui occupe toute la longueur de l’instrument , et au moyen de laquelle il devient possible, en recouvrant la base d’un triangle quelconque , de juger, par transparence, de la distance qui existe entre les deux lignes qui embrassent cette base ; et , par conséquent , de choisir ces deux lignes , selon les changements d’échelle auxquels il convient d’avoir égard. On voit , d’après les dimensions adoptées , que la largeur entière correspond à l’échelle de C'.oa pour mètre ; les deux tiers , à celle de o m .oi5 ; la moitié à celle de o m .ot , et le reste proportionnellement. Il est bien entendu qu’on doit, avec un pareil instrument , lire les divisions de la tranche d’après l’unité qui décide de l’échelle transversale. Aussi , quand cette unité ne sera pas une partie aliquote facile à calculer, conviendra-t-il de construire à part , sur le dessin , une échelle de longueur auxiliaire , pour ldi comparer par rapprochement la longueur absolue de mensuration que l’instrument fournira sur sa tranche ; mais ceci n’aura lieu que dans des cas fort rares, puisque les échelles en usage sont presque toujours des parties aliquotes simples du mètre.

Un double-décimètre , tel que nous venons de le décrire, présente encore un avantage qui ne laisse pas que d’étre important , et sur lequel nous devons particulièrement insister ; on peut, par son moyen, exécuter d’un seul trait

(“) Par M. Tachet, rue Saint-Honoré , n»

QLADHATURF.S ET CCBATURES. ^5

le tracé qui consiste à mener, par un point , une parallèle à une direction qui serait déjà déterminée, soit par une ligne directrice, soit par l’existence de deux de ses points , construction qui , d’ordinaire , s’exécute en faisant glisser une équerre le long d’une règle. Pour employer notre instrument à cet usage, on le placera de manière à ce qu’une de ses tranches passant par le point donné, la ligne directrice se trouve entièrement recouverte par lui ; alors , sans quitter le point qui sert de centre de rotation , on amènera la règle à une position telle, que la ligne recouverte corresponde exactement avec une des subdivisions de l’échelle transversale , ou du moins à ce qu’elle s’en trouve également distante sur toute sa longueur; ce que l’œil apprécie avec facilité, vu le rapprochement des lignes auxquelles on la rapporte. Ces conditions remplies, on est assuré que la tranche passant par le point de rotation détermine la parallèle cherchée. S’il existait trop de distance entre le point donné et la ligne directrice, on tracerait d’abord une parallèle auxiliaire , à la plus (grande distance que l’on pourrait atteindre; et l’on parviendrait ainsi , en une ou deux fois , à la parallèle demandée; mais il conviendrait d’exécuter autrement le tracé, s’il fallait répéter plus souvent cette opération préliminaire , et voici comment on devrais alors s’y prendre :

En se reportant à la flg. 8, on peut remarquer que la ligne ha est la sécante de l’angle abo , et que ao en est la tangente; donc, toutes les fois que l’instrument interceptera , sur cette première droite prolongée, une portion égale à ab, sa tranche, formant avec cette ligne un angle dont la sécante n’aura pas changé, restera constamment parallèle à elle-même. De là résultent , et un nouveau moyen de mener une parallèle , et une modification applicable au procédé de mensuration des triangles à grandes dimensions. Un exemple va nous mieux faire com prendre.

Dans le triangle abc , fig-' 8 , après avoir préalablement prolongé la base ab , on placera l’instrument comme à l’ordinaire, de manière à embrasser exactement cette base. Cela fait, on évaluera avec le plus de précision possible ( soit au dixième de millimètre ), le chiffre des deux cotes qui , sur chaque échelle , correspondent aux points a et b. Dès lors , en faisant glisser l’instrument , de manière à conserver en contact avec la ligne les deux points qui leur étaient communs au départ, quand on arrivera à une position telle que l’une des tranches passe au point c , la portion d’échelle a'c qui sera comprise entre le sommet et le prolongement de la ligne de base, étant égale à ne, comme parallèles comprises entre parallèles, mesurera la surface du triangle nie.

On peut encore , Pl. II ,fig. 6, au moyen du double-décimètre placé à angle droit sur la ligne bc , chercher quel est le point de la base ab qui s’en trouve exactement éloigné de deux unités ; et , ce point b" trouvé , mener par n une parallèle à la direction b"c : on obtiendrait ainsi sur bc le sommet c" d’un nouveau triangle équivalent au proposé , et qui aurait pour mesure superficielle son côté bd ' , celui qui , par construction , constitue la base correspondante à la hauteur qui égale deux.

Il est facile de reconnaître , dans le^deux procédés qui se rapportent à la fig. 6, un cas particulier de la réduction des quadrilatères en triangles équivalents ; car tout triangle peut, au besoin, être considéré comme un quadrilatère tel que ab'bc , ' e t dans lequel l’angle b' aurait atteint 180°. Cette supposition a l’avantage de laisser l’emplacement du sommet effacé tout à fait indéterminé ; et scion que dans cette figure on le placera en b' ou en b ", la suppression de l’angle a qui précède immédiatement l’angle variable , fera disparaître du contour quaternaire une partie déterminée de la base ab , et permettra par conséquent de ramener le triangle proposé à l’une des

QUADRATURES ET CUBATURES. •J'J

deux formes qui portent avec elles leur propre ligne de

mensuration.

Cette manière d’envisager les deux solutions de la fig. 6 a l’avantage de ramener à un seul et même procédé la mesure des surfaces polygonales. Le raisonnement consiste , comme on voit, à pousser la réduction des côtés au delà du premier triangle obtenu ; et , pour cela , à considérer celui-ci comme un quadrilatère tellement disposé que sa réduction conduise à un second triangle qui puisse fournir immédiatement sa propre ligne de mensuration ; ce qu’il est toujours possible d’exécuter, en profitant de l’indétermination du sommet qui doit compléter le quadrilatère particulier que l’on se donne ainsi à réduire.

Cette identité de procédé est d'autant plus importante à signaler que, ramenant à un problème élémentaire unique les constructions diverses qu’exige l’évaluation superficielle des polygones d’un nombre quelconque de côtés, elle tend tout à la fois à populariser la méthode graphique et à faire éviter toute espèce de méprise dans l’encbaînement des tracés qu’elle comporte; aussi, c’est à ce procédé particulier de réduction qu’il conviendra d’avoir recours de préférence , quand on sera réduit à faire usage d’un double-décimètre usuel dont la largeur ne sera pas en rapport avec l’échelle des dessins.

Envisagées sous un autre point de vue , toutes les solutions précédentes se réduisent à trouver le quatrième terme de deux rapports inverses, dont trois termes sont donnés : le rapport connu se compose de la base et de la hauteur du triangle primitif, et le troisième terme est le double de l’unité de mesure à laquelle on veut rapporter la surface. Une question du même genre se présente en statique lorsque , la grandeur d’un bras de levier et celle de la force correspondante étant données , on demande , connaissant le second bras , la valeur de la force qui ferait équilibre à la première. Celte espèce de problème est

susceptible d’une formule graphique qui l’embrasse dans toute sa généralité ; car, si l’on place séparément sur deux conjuguées , à partir de l’origine, les deux termes du rapport connu, soit la base et la demi-hauteur du triangle à mesurer , et que l’on mène l’ordonnée qui les projette entre eux , en prenant cette ordonnée pour tangente et les conjuguées pour asymptotes , on déterminera une hyperbole, dont toutes les autres tangentes détacheront des segments asymptotiques homologues, qui seront, deux par deux, en rapport inverse avec les deux premiers. L’un quelconque de ces segments élant donc pris pour unité , l’autre mesurera la surface du triangle proposé ; ce qui revient à dire que chacun des rectangles construits au moyen des segments qui proviennent d’une même tangente sera équivalent au carré que forment les segments égaux qui proviennent de la tangente au sommet de la courbe.

Or, on sait que pour obtenir dans cette figure une tangente nouvelle au moyen de la première , il suffit de mener par les deux points de départ de ces lignes sur l’une des asymptotes un couple de parallèles qui aille aboutir aux deux points d’arrivée sur l’autre ; ce qui se réduit à mener, par un point, une parallèle à une direction donnée ; et , comme on a le moyen d’exécuter ce dernier tracé en faisant glisser un double - décimètre quelconque le long d’une ligne directrice, de manière à ce que la portion qu’il y intercepte reste constante de grandeur , il s’ensuit qu’on pourra toujours , à l’aide d’un de ces instruments, évaluer approximativement une surface polygonale quelconque. Mais on devra donner la préférence à ceux qui sont établis en matières transparentes, comme fournissant tout à la fois les procédés d’exécution pratique les plus exacts et les plus simples.

Nous nous sommes borné , comme on voit , dans ce qui précède, à indiquer les divers moyens d’obtenir la surface d’un triangle et d’un quadrilatère ; et nous l’avons

QUADRATURES ET CUBATURE9. 7 C)

fait avec d’autant plus de raison , que c’est , en définitive , à ces dernières évaluations qu’on devra ramener les autres surfaces polygonales en leur appliquant, un nombre de fois suffisant , la construction géométrique , au moyen de laquelle on réduit un polygone donné en un autre équivalent en surface et d’un nombre de côtés moindre. Et comme il se trouve que pour opérer cette réduction il faut simplement , par un des angles , mener une parallèle à la diagonale qui lui est immédiatement adjacente, et répéter cette même opération autant de fois qu’il y a de côtés à réduire, il en résulte aussi que notre double- décimètre s’applique également bien à cette partie préliminaire du problème , et qu’après avoir été employé comme règle à parallèles à la réduction triangulaire des polygones, il finit par servir, comme échelle, à mesurer les triangles eux-mémes; complétant à lui seul toute l’opération , comme nous l’avons déjà annoncé ci-dessus.

Pour résumer en peu de mots les services que ce petit instrument est dans le cas de rendre, nous rappellerons que c’est à la fois : dune équerre; 2 ° une règle simple; 3“ une règle à parallèles: 4° un étalon décimal et une échelle linéaire; 5' une échelle de mesure superficielle. Nous ajouterons enfin que rien ne serait si facile que d’en faire une échelle circulaire ou rapporteur, soit en y plaçant les cordes de o à 6o°, soit en y opérant la sousdivision d’une des tranches selon l’échelle des sécantes.

Notre tâche serait entièrement terminée, si en décrivant un instrument de ce genre nous n’avions cherché qu’à en faire ressortir les propriétés diverses; on comprend qu’il nous reste à faire connaître, en peu de mot9, l’emploi auquel nous l’avons plus particulièrement destiné.

L’administration des ponts et chaussées voulant réduire, autant que possible, les longs calculs de déblai et de remblai qui servent à l’estimation des projets de routes neuves , a fait publier des tables qui donnent une partie

8o lit CALCUL l'AR LE TRAIT.

des résultats numériques que l’exécution de ces calculs exige pour être complète.

La composition de ces tables repose sur quatre données principales ; on y suppose : i° que la ligne du projet est remplacée , entre les arêtes-accotements, par une horizontale unique , moyenne de position entre les remblais de 1 accotement et les déblais de rencaissement;

que le profil du terrain , dans toute l’étendue qu’embrasse le projet, se trouve à son tour ramené à deux lignes droites moyennes , ayant leur point d’intersection commun sur l’axe même de la route ; 3“ que l’inclinaison des talus du projet reste constante sur toute la longueur du parcours; 4° que la déclivité du terrain et que les hauteurs des déblais et remblais n’excéderont pas les limites où s’arrêtent les calculs tabulaires.

Tout en reconnaissant l’avantage incontestable qui résulterait de 1 emploi d’un pareil système de tables , nous ferons remarquer que leur usage, pour devenir général , implique la nécessité de calculer autant de séries complètes différentes qu’il peut y avoir de profils divers adoptés ; qu à même largeur, elles ne sont pas applicables aux profils en revers, et a ceux qui comportent des ouvrages de soutènement ; que dans les localités fortement accidentées, deux lignes droites dont le point de rencontre est invariable se prêteront difficilement à représenter avec exactitude les profils abrupts des parties rocheuses; et, enfin, que ces tables feront nécessairement défaut partout où la déclivité du terrain et les hauteurs totales des mouvements de terres excéderont les prévisions du calculateur, comme aussi partout où les talus du projet devront être accidentellement modifiés.

Dans une foule de circonstances qu’il est facile de prévoir, on se trouvera donc forcé de reprendre la longue série de calculs quelles étaient destinées à faire éviter. C est pour remedier autant que possible à cet inconvé-

Digitize

QUADRATURES ET CUBAtUKES. 8t

Yiient, que nous avons cherché si les simplifications que la méthode graphique comporte, n’étaient pas de nature à suppléer à l’insuffisance des tables, partout où celles-ci pourraient faire défaut. Le système que nous venons de développer est celui auquel nous avons été conduit par nos recherches à ce sujet.

Et d’abord , nous pourrions remarquer, à son avantage , qu’il n’admet pas d’exceptions et s’applique à tous les genres de profils comme à toutes les variations accidentelles qu’ils sont dans le cas de subir. Pour employer la mensuration graphique au calcul des terrassements , nous n’aurons qu’à admettre à peu près les mômes suppositions que*comporte l’emploi des tables.

Ainsi nous adopterons également la substitution d’une ligne droite moyenne en remplacement des lignes accidentées du terrain , cdmme aussi des lignes brisées du projet ; mais , pour nous , cette dernière moyenne comportera toutes les inclinaisons de revers, et elle se prolongera jusqu’aux talus de déblai quand il en existera , laissant ainsi les fossés en dessous d’elle, sauf à les évaluer à part.

De plus , comme les surfaces des profils en travers qu’on a à mesurer sont toujours comprises dans des périmètres dont les lignes appartiennent partie au projet et partie au terrain , pour les ramener à des triangles équivalents, ce qui est l’opération préliminaire sur laquelle est également basée notre méthode , il était tout naturel, après avoir rectifié celles des lignes du projet qui présentaient des brisures , de moyenner à son tour la ligne du * terrain toutes les fois qu’elle se trouvait accidentée ; c’est surtout dans cette transformation que le procédé graphique l’emporte en célérité sur les moyens qui dépendent du calcul, et en exactitude sur ceux qui ne seraient basés que. sur la justesse du coup d’œil. Pour le rendre applicable à la circonstance , il suffit, dans chaque surface distincte

c 2 LE CALCUL- PAR LE TRAIT.

de déblai et de remblai , d’opérer la réduction du contour polygonal exclusivement sur la partie qui y représente le terrain , et de s’arrêter quand cette partie se trouve ramenée à une ligne droite, les lignes du projet restant .ainsi parfaitement invariables.

Cette opération terminée sur tous les profds qui peuvent l’exiger, on voit qu’il ne s’agit plus que d’évaluer des triangles ou des quadrilatères , ce dernier cas se présentant toutes les fois que la route se trouve tout entière en déblai ou en remblai ; et que nos figures se trouvent ramenées à la forme de facile mensuration sans avoir rien laissé d’arbitraire dans le choix des lignes, puisque rien ne s’oppose à ce que les profils primitifs soient levêfe sur le terrain avec toute l’exactitude désirable , et que leur transformation s’opère dans le cabinet par un procédé géométrique rigoureux.

Quand , en plaçant sur chaque figure réduite le double décimètre décrit ci-dessus , on aura déterminé la ligne qui mesure sa surface, il sera bien de l’y tracer à demeure. Pour la distinguer des autres , il suffira de la tracer double ; on écrira son chifire au centre de l’intervalle des deux traits , PI. Il, ftg- 8 ; et l’on pourra même colorer cet intervalle de la teinte affectée à la nature de terrassement (déblai ou remblai) à laquelle appartient la surface correspondante. Si c’est un déblai, on y ajoutera la valeur des fossés négligés, obtenue linéairement une fois pour toutes. Par ce moyen , le métrage fera corps avec les dessins ; et ceux-ci fourniront désormais une indication nouvelle : celle des surfaces représentées par des lignes spéciales , portant des cotes de facile vérification.