SURFACES A PÉRIMÈTRE COURBE

. La mesure graphique des surfaces serait Incomplète, si , après avoir donné le moyen de déterminer les superficies qui sont comprises dans un contour composé de

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lignes droites, nous ne donnions pas un procédé applicable à celles qui sont renfermées dans un périmètre, soit mixtiligne, soit entièrement courbe.

Nous emploierons pour celte évaluation nécessairement approximative , une marche semblable à celle que nous venons de suivre pour les polygones à côtés rectilignes : nous chercherons encore , parmi toutes les lignes qu on peut mener dans la figure donnée , celles qui doivent nous fournir immédiatement, par le chiffre de leur longueur, celui d une partie distincte de la surface à mesurer. Un exemple va nous servir à développer le principe sur lequel repose cette méthode.

Supposons qu’on ait à évaluer la section d’une rivière, pour eu connaître la dépense d’eau : le moyen qu’on emploie ordinairement consiste à prendre une suite de sondes dans une direction normale au courant ; et , une fois les sondes et leurs distances mesurées, à évaluer à part chacun des trapèzes de la surface liquide compris entre deux sondes consécutives; ce qui revient, en considérant ces trapèzes comme rectilignes, à moyenner les deux sondes extrêmes, et à multiplier le chiffre moyen par

la distance horizontale comprise entre les sondes.

Mais , au lieu de prendre les deux sondes extrêmes et de les moyenner, il serait bien plus simple de mesurer immédiatement la sonde moyenne elle-même, et de la multiplier par la largeur; et si, de plus, cette largeur était constante et égale, par exemple, à i , à 5, à io, àao, à 3o,.etc. unités, la surlace de chaque trapèze se trouverait une fonction connue du chiffre de sa hauteur moyenne, et par conséquent s’obtiendrait, soit par un simple mouvement de virgule , soit par une modification facile à lui faire subir. Notre méthode consiste donc, comme on voit, à ne pas prendre les sondes au hasard, et à les disposer de manière à satisfaire aux conditions ci-dessus énoncées. En prenant la première sonde à 5 mètres du bord,

et toutes les autres à 10 mètres de celle-ci , il est facile de reconnaître que l’on a pris les moyennes hauteurs d’une suite de trapèzes ayant tous une largeur constante de 10 mètres , et qu’il suffi t , par conséquent , de placer toutes les sondes bout à bout , et de multiplier leur chiffre total par io , c’est-à-dire f de reculer la virgule d’un rang pour avoir la section cherchée. Il reste presque toujours , sur le bord opposé à celui où l’on commence l’opération , un dernier triangle dont les dimensions en longueur sont moindres que la commune, et qu’il faut nécessairement évaluer à part, pour compléter la section cherchée.

En général , pour évaluer la surface d’un quadrilatère mixtiligne formé par l’axe des abscisses, un arc de courbe quelconque , et les deux ordonnées rectangulaires qui aboutissent aux deux extrémités de celui-ci, on peut, comme nous venons de le faire , se contenter , si la courbure n'est pas trop sensible , de considérer la surface comme un trapèze; et dès lors la hauteur réduite qui correspond au rectangle équivalent est donnée arithmétiquement par la demi-somme des ordonnées extrêmes , et graphiquement par l’ordonnée moyenne ; mais, quand la courbure sera trop prononcée pour être négligée ; et surtout, quand on ne voudra pas se contenter d’une pareille approximation , toujours sensiblement plus forte , ou plus faible que la véritable grandeur, il sera possible d’obtenir une hauteur réduite plus exacte que les deux précédentes en prenant le sixième de la somme des deux ordonnées extrêmes augmentées de quatre fois 1 ordonnée intermédiaire ; ce qui revient à supposer que l’on remplace le quadrilatère mixtiligne primitif par deux trapèzes rectilignes comprenant entre eux un rectangle dont la hauteur égalerait l’ordonnée intermédiaire. Car , en supposant une largeur égale aux trois surfaces , on arrive à la réduite mentionnée ci-dessus par les considérations suivantes :

Soient a et b les ordonnées extrêmes , c Tintermé-

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diuire et f la flèche située sur son prolongement , d’où

a+ = c àzf. Le signe dépendra du sens de la courbure.

. On trouve , en évaluant séparément les hauteurs moyennes des trois quadrilatères , quelles sont égales à Cl mQ c b

, — , . Pour obtenir leur surface, il faut mulli-

plier chacune de ces dimensions par le tiers de la largeur l ,

soit la largeur totale. par le tiers de chacune d’elles,

j, , „ . . (a + c ic c+b\

dou ion tire pour leur somme: /. < — — -t 1 — -j

= /. 1 + ^ + , expression dans laquelle le coefficient

de l donne pour la hauteur môyenne correspondante ,

Soit encore, içc — ic 4 — — — = 2 c + c± t /’=3c:fc — ;

d’où enfin x = c±. .

Cette même réduite x peut donc s’exprimer beaucoup plus simplement en fonction de c et de f. Elle est égale à

l’ordonnée intermédiaire de la courbe j a fS mcntcc ) ( j u

\ diminuée )

tiers de la flèche que son prolongement détermine dans

,, , , . . t convexité ) ,

l arc , quand celui-ci tourne sa I . . ! vers l axe des

* \ concavité )

abscisses.

Quand donc, on voudra opérer arithmétiquement , il faudra employer la première de ces deux valeurs de x , tandis que , lorsqu’il y aura lieu d’appliquer le procédé graphique , la deuxième devra être exclusivement préférée.

Comme il est toujours possible de ramener à des éléments de forme mixtiligne pareille , Loute surface entièrement comprise dans des lignes courbes , on voit que cette solu->

tion approximative s'applique sans exception à la mesure générale des surfaces à périmètre partiellement ou entièrement courbes.

La solution précédente consiste uniquement à substituer à lare de courbe un polygone rectiligne qui n’en diffère pas d’une manière trop sensible , et dont les côtés soient assujettis à rencontrer en trois points la courbe donnée.

On pourrait remplacer ce polygone lui-même par un seul arc de parabole ayant quatre points communs avec l’arc proposé. Comme la quadrature de la parabole est alors un<e opération extrêmement simple, cette substitution serait de nature à*donner des résultats plus exacts que la précédente , si jamais le besoin s’en faisait sentir.

Lemme : la surface du segment parabolique compris entre l’arc et la corde est égale aux deux tiers du triangle formé par la corde et les deux tangentes extrêmes à cet arc.

La courbe partage donc ce triangle en deux parties qui sont entre elles dans le rapport de un à deux. Cette dernière proposition va devenir évidente , si , en opérant par soustractions successives sur les deux parties à comparer , on parvient à en retrancher une suite de termes décroissants , qui , pris par couple, soient constamment entre eux dans le rapport sus-mentiodné.

Traçons celle des tangentes intermédiaires qui est parallèle à la corde, et qui divise par moitié les deux tangentes extrêmes^oir la propriété métrique déjà signalée, page ig); elle détachera , dans l’une des surfaces à comparer , un triangle égal au quart du triangle primitif, et, par conséquent , égal à la moitié du triangle qui , dans l’autre , aura la corde pour base , et son sommet placé au point de contact de la tangente intermédiaire. Soustrayant , de part et d’autre , ces deux portions qui sont entre elles dans le rapport voulu , nous aurons à prouver

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que les restes de cette double soustraction superficielle sont toujours entre eux dans le même rapport ; mais ces restes se composent de deux figures de torme identique à celle sur-laquelle nous venons d’opérer : on y retrouve encore un arc de parabole qui divise le triangle iormû par ses deux tangentes extrêmes et par sa corde ; nous pouvons donc y renouveler la soustraction précédente, cl la reproduire indéfiniment de reste en reste. Nous aurons ainsi décomposé chacune des surfaces ou deux séries décroissantes qui, prises terme à terme, sont entre elles dans le rapport que nous avions annoncé ci-dessus.

Quand donc il s’agira d’évaluer un pareil segment parabolique , il suffira de mener les deux tangentes extrêmes et de prendre graphiquement les deux tiers du triangle quelles forment avec la corde. Nous n’insisterons pas sur toutes les transformations superficielles auxquelles celte propriété peut donner lieu , ce serait nous livrer à des redites inutiles.

On trouvera au chapitre des interpolations le procédé graphique , au moyen duquel on détermine les tangentes extrêmes d’un arc de parabole passant par quatre points donnés. Cette construction est linéaire , quand les points forment un trapèze.

Si l’on a donc à opérer la quadrature d’un polygone mixtiligne quelconque , en prenant quatre points convenablement disposés sur chacun des côtés courbes qu’il présente , on remplacera ceux-ci par autant d’arcs de parabole ; et , après avoir évalué la surface donnée en substituant d’abord les cordes aux arcs , il ne restera plus qu’à faire subir au total, ainsi obtenu, les modifications qtii seront la conséquence de la quadrature parabolique des segments corrélatifs à chaque corde prise à part.

L’erreur commise, dans chacune de ces quadratures partielles, se bornera à la différence de surface embrassée par les deux courbes superposées , différence tou-

jours minime , puisque les deux courbes se coupant en quatre points, les erreurs en plus et en moins doivent, en général , se balancer très-approximativement.

On ramènera la recherche de toule surface, comprise dans un contour entièrement courbe , aux conditions des tracés précédents, en menant dans ces dernières une ligne diamétrale que l’on choisira la plus longue possible. La somme des ordonnées moyennes prises par rapport à cette ligne , et détermnées , d’après les méthodes que nous venons d’exposer, donnera une grandeur linéaire totale qu’il suffira de modifier dans une proportion qui soit en rapport avec la largeur commune des trapèzes accouplés , pour obtenir linéairement la surface cherchée.

Quant au Gercle , à l’ellipse et aux autres courbes régulières, pour obtenir leur mesure linéaire, il suffira de traduire graphiquement la formule connue qui donne leur surface, ce qui se réduira , par conséquent, à opérer une simple multiplication superficielle.

Nous donnerons , dans la troisième partie , le moyen d’obtenir la grandeur des circonférences qui entrent comme facteurs dans la plupart de ces formules.