MODIFICATION DIRECTE DES SURFACES

Nous avons vu, dans ce qui précède, que dés qu’on avait obtenu la mesure linéaire d’une surface donnée , les n&odifications en plus et en moins qu’on faisait subir à cette mesure correspondaient nécessairement à des changements analogues dans la surface primitive ; mais il est une foule de circonstances où ce genre de calcul indirect ne serait pas de nature à remplir le but qu’pn se propose ; ce sont particulièrement celles où la forme de la surface entre comme condition principale du problème à résoudre. Nous allons, en conséquence, indiquer quelques-uns des moyens que l’on peut employer pour modifier directement les surfaces elles-mêmes.

QUADRATURES ET CUBATURE6. 89

L’addition et la soustraction directes des surfaces s’exécutent d’après les mêmes principes que les opérations linéaires analogues : la première a lieu par juxta-posilion , et la seconde par superposition ; le total de l’addition est la surface comprise dans le nouveau contour ; le reste de la soustraction est la portion de surface qui ne se trouve pas doublée par le fait de la superposition.

Pour que l’addition directe soit possible, il faut, de plus , que chacun des deux termes à ajouter présente , dans son périmètre, une portion linéaire qui soit à la portion corespondante dans les relations d'incrustation et de relief. C’est par le rapprochement des deux lignes que la juxta-position s’opère. Ces lignes disparaissent ainsi du contour définitif qui embrasse le total. Quand cette dernière condition ne peut être remplie, les deux surfaces n’ayantentre ellesque des points de contact isolés, ne peuvent pas être envisagées comme formant un total distinct.

La soustraction n’exige pas impérieusement cette dernière condition ; mais il est évident que le reste est bien plus facile à évaluer, toutes les fois qu elle peut être satisfaite ; ce qui a presque toujours lieu quand le contour des deux termes se compose de lignes droites.

La projection est encore un moyen de modifier les surfaces : quand on projette orlhogonalement une surface plane quelconque sur un autre plan, pris à volonté, le rapport entre la partie projetée et la projection obtenue est constamment égal à celui qui existe entre le rayon et le cosinus de j l'angle d’inclinaison que les deux plans forment entre eux.

Comme la chose est évidente , pour une simple droite , quand celle-ci se trouve située, sur le plan à projeter, dans une direction perpendiculaire à la charnière commune, il va nous être facile d’en conclure que la même relation doit exister pour tout triangle mesuré par une droite qui affecterait la même direction.

Di

On satisfait à cette dernière condition , dans un triangle, quelconque , en lui assignant pour unité linéaire de mesure , la moitié de la transversale , qui , partant du sommet intermédiaire par rapport à la charnière , est menée dans son plan parallèlement à celle-ci; le triangle, considéré comme un quadrilatère dont cette transversale serait la diagonale, aura pour mesure superficielle la somme des perpendiculaires abaissées sur cette diagonale des deux sommets opposés. Dans le quadrilatère projeté la diagonale conservera sa grandeur primitive , et les perpendiculaires homologues la couperont encore à angle droit: la somme de ces perpendiculaires mesurera donc , à son tour, la surface projetée. La proposition se trouvant ainsi démontrée pour un triangle quelconque, s’applique, par extension, d’abord à tous les polygones ; et, en passant à la limite , à toutes les surfaces terminées par des lignes droites ou courbes.

La démonstration précédente serait la même, quelle que fût l’inclinaison des ordonnées projetantes sur la surface projetée, sauf qu’il faudrait y remplacer l’unité et le cosinus par la perpendiculaire et sa projection. 11 s’ensuit que pour avoir le rapport qui existe entre deux surfaces qui sont entre elles dans la relation de projection réciproque, il suffit de prendre celui de deux perpendiculaires à la charnière , pourvu quelles soient homologues dans les deux surfaces. u < .

Parla projection polaire, opérée sur deux plans parallèles, on obtient des figures dites semblables, et dont les surfaces sont entre elles dans le rapport des secondes puissances de leurs lignes homologues.

La multiplication et la division des surfaces pourraient

avoir lieu par un procédé analogue à celui qui a été employé pour les lignes , et s’exécuteraient entre deux plans coordonnés. Le sens de projection y serait donné sur deux

conjuguées quelconques élevées , dans chacun des plans,

QUADRATURE» ET CUBATURES. 01

perpendiculairement à la charnière et partant, sur celle-ci , d'une même origine.

La réduction des polygones en triangles équivalents , est une de ces opérations dans lesquelles, la forme se trouvant l’objet principal du problème, on est forcé d’avoir recours , pour le résoudre , à l’addition et à la soustraction directe des surfaces.

Le tracé par lequel on parvient, à cette réduction se fonde sur la proposition suivante : dans un trapèze quelconque, les deux diagonales et les deux côtés non parallèles forment deux triangles distincts , opposés par un de leurs sommets, et qui sont tous deux équivalents en surface. Si l’on se rapporte, page 70 , à la démonstration de l’équivalence des deux triangles abc et bb'd, on reconnaîtra qu’elle résulte de celle des deux triangles aob' et cc'o qui forment dans le trapèze ab'cc'le couple distinct dont nous venons de parler : celte démonstration s’applique à un trapèze quelconque.

Soit donné, en conséquence, PI. III, fig. 1 , le polygone abcdef qu’il s’agit de réduire à un nombre de côtés moindre , sans modifier l’étendue de sa surface.

En menant toutes les diagonales qui aboutissent à un même sommet a , nous le diviserons en autant de triangles qu’il contient de côtés moins deux ; tar il y aura deux de ces triangles qui renfermeront chacun dans leur périmètre, deux des côtés du polygone primitif et une seule diagonale. Si sür une de ces dernières lignes ac , prise comme côté parallèle , on construi t un trapèze acbc\ dont un des côtés primitifs bc constituera la diagonale , tandis que les côtés non parallèles seront fournis , l’un pat ba et l’autre par cd prolongé, le point d se trouvera le sommet d’üû nouveau polygone ac'def d’un nombre de côtés moindre et d’une surface équivalente au premier, puisque ce nouveau polygone résulte de l’addi lion du triangle cc'o et de la soustraction du triangle boa , opérations

ga LE CALCUL PAR LE TRAIT. ,

qui se détruisent, ces triangles formant le couple distinct équivalent du trapèze hacd .

Comme pour trouver le nouveau sommet c , nous n’avons eu qu a mener par l’angle b une parallèle à la diagonale ac , qui soustend cet angle , jusqu’à la rencontre de la direction cd ; par la même raison , nous trouverons d' en menant par c une parallèle à la diagonale ad, jusqu’à la rencontre delà direction de, et e' en opérant.d’une manière analogue sur le prolongement de ef ; et comme à chacune de ces opérations , on aura réduit d’un côté le contour primitif, afe' formera le périmètre du triangle équivalent cherché. On obtiendra , par conséquent , la mensuration de cette surface en appliquant au triangle afe , un quelconque des procédés de mensuration indiqués ci-dessus. ,

Si le dernier côté du çolygone se trouvait égal à deux unités, on parviendrait immédiatement, par cette transformation, à un triangle équivalent en surface, et qui aurait pour mesure la hauteur correspondante à ce côté. Quand cette circonstance n’a pas lieu, on peut , en quelque sorte , la créer à volonté ; il suffit de supposer que le triangle final représente un quadrilatère , ayant un de ses côtés égal à deux unités , et adjacent sur sa propre direction à un angle qui se serait progressivement ouvert jusqü’à former deux droits; ce qui exigera encore une réduction à opérer dans le contour polygonal. Cette manière d’envisager le problème , conduit , sans avoir besoin de changer de tracé , à la mesure immédiate du polygone proposé. ,

On peut remarquer que cela revient à obtenir la mesure du triangle afe' par l’emploi du deuxième procédé de mensuration ; ce procédé n’étant , lui-même , qhun cas particulier de la méthode générale de réduction que nous venons d’exposer.

Nous donnerons encore un autre exemple des additions et soustractions de surface qui sc rapporte à une

QUADRATURES ET CUBATURES. t)3

des propositions les plus célèbres de la géométrie élémentaire.

Supposons que l’on ait construit, PI. III, fig. 2, danslé plan du triangle rectangle abc , d’une part , le carré acde , sur l’bypothénuse , et de l’autre le carré abgf, sur le grand côté de l’angle droit , et que l’on demande quel est le reste de la soustraction de ces deux surfaces :

Lcmme. Si l’on soustrait du grand carré quatre fois le triangle primitif placé , comme le présente la figure , dans une position symétrique par rapport à chacun des côtés de ce carré, le reste sera un autre carré blmn, ayant pour côté ab — ac. En soustrayant à son tour ce dernier carré de abgf, le reste sera , d’un côté , un parallélogramme abch égal à deux fois le triangle abc, et de l’autre, un parallélogramme identique gl diminué d’une portion égale au carré alhi.

Ayant ainsi décomposé chacun des termes à comparer en parties superposables entre elles , il ne nous reste plus qu’à procéder à leur soustraction effective.

Opérant cette soustraction par parties , nous trouverons que le carré fi recouvrira le carré bm , et que le rectangle ca recouvrira deux des quatre triangles du contour ; mais, comme les deux triangles restants ne pourraient être recouverts en entier par le rectangle gi; etj comme ils le seraient par le rectangle total gl , il s’ensuit que la partie non recouverte sera exactement égale à hila , c’est-à-dire , au carré construit sur le petit côté cb. Donc , enfin, si du carré construit sur l’hypothénuse , on retranche le carré construit sur un des côtés de l’angle droit, le reste de la soustraction sera égal en surface au carré construit sur l’autre côté.

Nous bornons à ces deux exemples ce que nous avons à dire de la modification effective des surfaces. Les opérations d’un ordre plus élevé doivent s’exécuter de préférence sur leurs représentations linéaires. Nous allons

q4 LE CALCUL FAR LE TRAIT.

donner quelques problèmes de ce dernier genre dans lesquels on opère sur les lignes de la surface elle-même.

Supposons qu’il s’agisse de partager la surface d’un triangle en parties qui soient entre elles dans un rapport donné , au moyen de lignes assujetties à passer par un des points de son périmètre.

Premier cas : Si les lignes de division doivent passer par un des sommets du triangle, il suflira de diviser le côté opposé dans le rapport demandé, et d'en joindre les subdivisions au sommet qui a été donné pour point de départ. En adoptant pour unité, PI. III, fig. 3,1a demiliauteur, bd les triangles bac et bec auront pour mesure linéaire de leur surface les segments ae et ec ; leurs surfaces seront par conséquent entre elles dans le rapport qui aura servi à déterminer les segments de la base opposée.

Deuxième cas : Diviser le même triangle, dans le même rapport, en assujettissant la ligne sécante à prendre son point de départ en c sur le côté ac.

En se reportant à la solution précédente , on ramènera sans peine le nouveau problème à faire passer par c une droite qui détache de l’angle c une portion équivalente à bae , ce qui s’obtient en menant par e une parallèle à la direction db , et joignant le point f où cette parallèle coupe le côté opposé au point c'. On reconnaît, dans ce tracé, la construction au moyen de laquelle on ramènera le quadrilatère bfcc à un triangle équivalent bec . Ainsi conçu , ce problème est susceptible d’une seconde solution ; car, en plaçant l’équivalent du triangle bea dans la position bdc, dg est la ligue homologue à ef, et par conséquent cg est la seconde transversale qui divise le triangle dans le rapport demandé. Si donc les portions cd et ae étaient chacune le tiers de la ligne ac, les deux sécantes, partant du point c, diviseraient le triangle en trois parties égales. On transformerait , par un procédé identique , toute division opérée dans le triangle à partir

QUADRATURES ET CUBATURES. Cp

Je l'angle b en une division pareille opérée à partir d’un point quelconque situé sur le côté opposé à cet angle.

Troisième cas. Opérer la même division par une ligne parallèle à une direction donnée. Soit, fig. 4, le même triangle dont il s’agit de retrancher une portion représentée par bag , au moyen d’une ligne parallèle à sa base ac.

En prenant pour unité la demi-hauteur ah, la surface du grand triangle est mesurée par cb , et celle du triangle semblable cherché parle segment bg-, \/ cb et l^bg, seront donc les côtés des carrés équivalents à ces deux triangles ; donc , enfin , leurs côtés homologues devront être entre eux dans les rapports des côtés de ces carrés , puisque des carrés sont nécessairement des figures semblables.

Si donc, nous ajoutons bg h bc , et si , sur le total cb' nous construisons une demi-circonférence, toute droite, parallèle à dg , projettera entre les deux conjuguées rectangulaires bd et bc dans le sens de [/ cb à \/ bg ; donc , enfin , en portant cb sur bd, et la projetant en m , on déterminera la grandeur bm du côté homologue , et en menant par ce point une parallèle à la direction donnée, le problème se trouvera résolu.

Cette construction .admet une vérification très-simple : on reconnaîtra que 1 on a opéré juste, quand les quatre points gmna détermineront un trapèze; car cette dernière condition est une conséquence forcée de l’équivalence des deux triangles agb et amn.

Il en résulte , que le problème précédent revient à trouver un trapèze qui ait la ligne ag pour diagonale , et dont la seconde diagonale mn soit assujettie tout à la fois à se trouver parallèle à la direction donnée , et à ?voir ses deux extrémités placées sur les côtes ab et bc : sous cette nouvelle forme , sa solution va prendre un caractère plus général.

. Fig. 5. Un couple quelconque de parallèles passant par « et par g, coupe les deux côtés de l’angle abc en

qb LE CALCUL PAR LE TRAIT.

deux autres points , tels que la seconde diagonale qu’ilâ déterminent dans chaque trapèze ainsi formé, détachera constamment de l’angle fixe abc un triangle équivalent au triangle agb ; dès lors , toutes ces diagonales ag , cd , eh. sont les tangentes d’une même hyperbole qui a pouf asymptotes les deux côtés ba et bc, et toutes ces tan- ' gentes ont leur point de contact situé au milieu de la distance que les asymptotes interceptent sur chacune d’elleSi En menant donc à l’hyperhole une tangente parallèle à la direction donnée , on satisfait aux conditions du problème qui, comme on voit, comporte deux solutions.

Ces préliminaires admis , nous avons à mener deux tangentes parallèles à la direction donnée a'd , ou, ce qui revient au même , à chercher l’intersection du diamètre conjugué bc", qui divise en parties égales les cordes asymptotiques parallèles à cette direction.

On obtiendra ces deux points par tâtonnement, en faisant mouvoir un double décimètre , ou toute autre mesure graduée, autour du point de contact n d eag, jusqu’à ce qu’on ait trouvé la direction mr pour laquelle le segment mu intercepté entre ce point et l’asymptote en regard , soit exactement égal à celui qui se trouve intercepté entre la ligne bc" , et la seconde asymptote. Ce résultat obtenu , la règle graduée coupera le diamètre au point i où celui-ci rencontre l’hyperbole ; et , par conséquent, on n’aura plus qu’à mener par ce point une droite parallèle à la direction donnée. Cette solution est particulièrement applicable sur le terrain , et nous aurons occasion d’indiquer une circonstance où il convient d’y avoir recours , de préférence à toute autre.

On pourrait également parvenir à ces deux points du contour hyperbolique, par un tracé rigoureux : il faut alors, PI. III , fig. 6, mener un cercle quelconque tangent aux deux asymptotes, et considérer le cône qui aurait ce cercle pour trace , et dont le sommet se trouverait projeté en b.

' QUADRATURES ET CUBATURES. 97

Un plan tangent, suivant la génératrice qui se confond avec bm , contiendra la tangente ga à l’hyperbole rapportée sur cette surface conique; et, comme ce plan aura sa trace en n/, le point / appartiendra , sur cette trace , au plan sécant qui détermine notre hyperbole sur le cône, et qui contient pareillement cette tangente. Tout étant symétrique dans la figure, la trace Ip de ce plan sera perpendiculaire à la direction de l’axe du cône et de l’hyperbole. Si , donc , par la génératrice du cône qui se projette, suivant le diamètre conjugué ôc', nous menons a la surface un second plan tangent , sa trace sp viendra couper en p celle du plan sécant ; ce point appartiendra donc à la tangente cherchée ; il en sera de même du point t situé sur l’intersection commune bl des deux plans, et sur la tangente ga. La figure comportant un double tracé, les lignes homologues y sont indiquées par les mêmes lettres.

Nous nous sommes arrêtés sur cette dernière forme de solution , parce que l’hyperbole dont nous l’avons fait dépendre , et qui semble au premier abord tout à fait étrangère aux conditions des problèmes qui nous occupent, devient absolument indispensable , pour peu que ces conditions se compliquent. Si on nous demandait, par exemple , de soustraire le tiers d’un triangle, à partir de l’un des sommets, par une ligne assujettie à passer par un point i intérieur à son périmètre , il faudrait encore opérer la division ternaire correspondante par un des sommets adjacents à celui qu’il s’agit de détacher; construire l’iiyperhole que cette ligne de division auxiliaire touche et détermine; et mener par le point i , deux tangentes à celte hyperbole. De cette dernière construction , il est facile de conclure que ce nouveau problème sera susceptible de deux solutions, quand le point sera situé hors de l’hyperbole ; qu’il n’en admettra qu’une seule, si le point fait partie du contour hyperbolique ; et enfin , qu’il n’y aura pas de solution possible, quand il se trou-

Digitiz

vera situé dans ]a partie intérieure : celle d’où on ne peut mener de tangentes à la courbe.

Si l’on proposait d'opérer, dans un quadrilatère quelconque, des divisions analogues à celles que nous venons d’exécuter dans un triangle , il faudrait déterminer encore, le plus simplement possible, une surface égale à la partie aliquote qu’on veut en retrancher ; et la placer ensuite, elle ou l’une de ses équivalentes, dans l’endroit même où la soustraction doit avoir lieu.

La première de ces opérations consistera à mener dans la figure une diagonale quelconque , ainsi que les parallèles à sa direction passant par les deux sommets qui lui sont opposés. Nous appellerons ces deux dernières les parallèles capables d’un quadrilatère à surface constante et à diagonale fixe, ou simplement parallèles capables. Dès lors, en choisissant sur la diagonale fixe une partie linéaire aliquote, proportionnelle à la subdivision superficielle qu’on se propose d’obtenir, tout quadrilatère partiel qui aura cette partie pour diagonale invariable, et dont les deux sommets mobiles seront assujettis à se trouver sur les parallèles capables , oflrira pour surface la partie aliquote demandée.

Si on voulait avoir celte surface partielle sous la forme triangulaire, il suffirait de transporter parallèlement à ellemême la portion correspondante de la diagonale fixe au centre des deux parallèles capables, et de l’y doubler : le quadrilatère auquel elle donnerait naissance, dans cette nouvelle position , serait composé de deux triangles égaux chacun à la surface demandée.

On peut encore retrancher d’un quadrilatère une partie * aliquote déterminée de forme quadrangulaire , sans recouriraux parallèles capables ; car si, après avoir mené une des diagonales dé la figure , on opère , à partir de cette diagonale, dans chacun des triangles qu’elle détermine, une soustraction triangulaire aliquote de même indice, les

QUADRATURES ET CUBATURES. pg

«leux triangles partiels à soustraire se trouveront accolés suivant cette ligne commune , et leur ensemble formera , en conséquence , un autre quadrilatère dont la surface sera , au quadrilatère primitif, dans le rapport demandé. Le quadrilatère donné, et sa partie aliquote ayant une diagonale commune , les distances de leurs parallèles capables respectives seront forcément entre elles dans le même rapport qui existe entre les deux surfaces ; mais on voit que cette dernière considération n’a pas été directement employée à la solution.

La seconde partie du problème se résoudra encore au moyen des deux parallèles capables, puisqu’il n’y aura qu’à faire varier les sommets libres d’un quadrilatère partiel sur ces deux parallèles , pour obtenir toutes les formes équivalentes sous lesquelles il peut se présenter.

Nous allons donner quelques exemples de ces modifications : par le centre de la diagonale fixe , menons une droite quelconque , et prenons sa partie interceptée entre les deux parallèles capables pour seconde diagonale , leur ensemble donnera la forme équivalente dans laquelle les diagonales partagent le quadrilatère en quatre triangles , égaux deux à deux.

En opérant le même genre de transformation , après avoir transporté la diagonale fixe , parallèlement à ellemême , au centre des deux parallèles capables, on arrivera à la forme dans laquelle les diagonales se coupent toutes deux à leur centre commun. On aura donc transformé le quadrilatère donné en un parallélogramme écrivaient.

Il va sans dire que, dans tout quadrilatère, les deux diagonales sont entre elles en raison inverse de la distance que mesurent les deux parallèles capables qui leur correspondent , et que cette relation suffit pour établir sur une ligne quelconque prise pour côté ou pour diagonale un cjuadrilatère équivalent à un autre donné.

Parmi les problèmes qui se rattachent à la subdivision

IOO

d'un quadrilatère , on peut remarquer celui qui consisterait à trouver un point intérieur, tel que les lignes menées par lui aux quatre angles déterminassent quatre triangles équivalents. Comme les lignes qui unissent un angle quelconque au centre de la diagonale opposée sont le lieu du sommet commun de tous les triangles équivalents qui ont pour base les côtés adjacents à cet angle , on reconnaît sans peine que ce problème , qui ramènerait la figure à représenter la projection d'une pyramide dont les quatre faces se projeteraient suivant des triangles équivalents, n’est susceptible d’une solution certaine que si les diagonales se coupent ensemble ou séparément à leur centre; or cette catégorie constitue évidemment une exception. Mais il est un autre problème du même genre , qui se rapporte aux cubatures , et qui est susceptible d’une solution générale, bien qu’il paraisse dépendre, en quelque sorte, du précédent ; c’est celui qui consiste à diviser un quadrilatère donné en cinq autres tous équivalents , dont l’un occuperait la partie centrale de la figure , tandis que les quatre autres seraient le résultat de la jonction de ses angles à ceux du quadrilatère primitif : le tout constituant la projection d’un tronc de pyramide quadrangulaire à faces latérales gauches , et dont chacune se projeterait suivant un quadrilatère équivalent au cinquième de la base.

Pour parvenir au tracé d’une pareille figure , on cherchera d’abord le cinquième du quadrilatère donné, par le moyen indiqué ci-dessus ; et on transformera ce cinquième de façon à ce que , appliqué sur la ligne gh , PI. III, fig. 7, son côté opposé lui soit à peu près parallèle; ce que l’on est toujours maître d’exécuter en disposant de sa diagonale fixe dg , de façon à ce que la parallèle capable correspondante mn embrasse extérieurement le point g, disposition qui permettra de donner à de la direction voulue.

On appliquera ensuite ce même cinquième sur les

QUADRATURES ET CUBATURES. 101

deux côtés adjacents ch et fg, en adoptant pour diagonale fixe, d'une part cd , et de l’autre ef, il en résultera un hexagone cadebf , et arrivé à ce point , le problème se réduira à disposer, sur nbe t sur ma, des sommets variables a et b , de telle sorte, que la ligne ab divise l’hexagone en deux parties égales.

C’est à quoi l'on parvient par les considérations suivantes prenez le point b sur la diagonale ob , du parallélogramme que l’on obtient en composant , à partir du point o , les côtés de et cf, comme s’ils représentaient deux forces , l’équivalence des deux triangles bed et cbf en résultera. Du point ô, ainsi déterminé, menez une droite au centre de cd , cette construction déterminera à son tour l’équivalence de tous les triangles , tels que cab et abd , qui auront leur sommet commun sur cette ligne. Donc, le point a, où elle rencontre la parallèle capable ma correspondant à cd , sera le dernier angle cherché; puisque nous venons d’établir l’équivalence des deux couples de triangle qui composent les deux quadrilatères abcf et abde.

Nous avons indiqué toute cette solution d’une manière sommaire, pour ne pas compliquer notre travail de détails trop minutieux , et surtout , parce qu’ilmpus suffira , plus tard, dans l'application que nous nous^iroposons d’en faire, d’avoir démontré la possibilité d’une semblable subdivision.