CENTRES DE GRAVITÉ

Nous terminerons ce que nous avions à dire des surfaces par quelques mots sur le moyen «l’obtenir leurs centres de gravité.

On sait que pour déterminer celui d’un triangle quelconque, il faut joindre un des sommets au milieu de la base qui lui est opposée. En répétant cette opéraration , par rapport à deux sommets quelconques , on ob-

tiendra le centre de gravité qui se trouve placé sur les deux lignes ainsi tracées , au tiers de la distance totale qu’elles comportent , ce tiers mesuré à partir de la base à laquelle chacune des lignes aboutit.

Quand le triangle diminue par le rapprochement d’un de ses sommets , cette construction ne cesse pas d’ètre exacte ; donc , quand le triangle se projette suivant une droite , elle est encore vraie. Cette recherche du centre de gravité s’applique, en conséquence, à trois points également pesants, situés d’une manière quelconque sur une droite , comme elle s’appliquerait à trois points placés aux trois sommets du triangle.

Pour obtenir le centre de gravité des sommets d un quadrilatère quelconque, on peut le regarder comme la projection d’une pyramide triangulaire On prendra donc , après avoir mené une quelconque de ses diagonales, le centre de gravité ,du triangle qu’on choisira pour représenter la basepyramidale ; joignant ce point à l’angle qui représente le sommet, on mesurera sur cette dernière, à partir de la base, une distance égale au quart de sa grandeur ; et le point correspondant sera le centre de gravité des sommets du quadrilatère.

Une cc«touction encore plus simple consiste à joindre deux à cHPles milieux des côtés opposés ; chacune des lignes de jonction contient encore le centre de gravité des quatre sommets , qui se trouve , par conséquent , à leur, point de rencontre. iNous verrons plus tard que les six lignes qui composent cette dernière figure, peuvent être considérées comme la projection de six génératrices d’un même paraboloïdc.

La droite qui joint les milieux des diagonales passe également par le centre de gravité des quatre sommets ; et toutes ces intersections ont encore lieu quand le quadrilatère est gauche.

On parvient , par les considérations suivantes , à la dé-

QUADRATURES ET CUBATCRES. I o3

termination du centre de gravité de la surface d’un quadrilatère ; ce point doit se trouver sur la ligne qui joint les centres de gravité des deux triangles partiels, dont tout quadrilatère se trouve formé ; et, comme on peut employer indifféremment les deux diagonales à cette division triangulaire, il en résulte qu’il se trouvera à l’intersection des droites que l’on obtient dans chacun des deux modes de division.

Or, il est facile de reconnaître que chacune de ces droites, prises à part, doit être parallèle à la diagonale momentanément supprimée , et doit s’en trouver distante d’une grandeur égale au tiers de la différence qui existe entre le grand et le petit segment de la diagonale qui aura été choisie pour opérer la division triangulaire.

A partir de l’extrémité qui, sur chaque diagonale, correspond au grand segment, et soustractivement à ce dernier, on portera donc le petit segment correspondant; on construira un parallélogramme sur les deux portions de ligne qui constituent le reste de cette double soustraction , et l’on trouvera le centre de gravité cherché au tiers delà diagonale qui, dans ce parallélogramme , aboutit au point de rencontre des diagonales du quadrilatère , cette distance mesurée à partir de ce dernier point.

Ainsi déterminé , le centre de gravité remplira , par rapport aux deux diagonales, la double condition de distance parallèle à laquelle il devait se trouver assujetti.