MESURE DES CUBES

L’idée des corps est pour nous étroitement liée à celle de la place qu’ils occupent : cette place est dite pleine tant qu’ils s’y trouvent encore , et vide dès qu’ils viennent de la quitter ; il faut de plus qu’une place soit vide , pour qu'un autre corps puisse venir l’occuper à son tour. En l’absence des corps, nous conservons une idée com-

plète de l’identité du vide qu’ils laissent après eux ; car, nous savons que cette place ne peut être exactement remplie que par un corps de forme et de position absolument conforme au premier, et qui lui serait rigoureusement superposable si les corps pouvaient se pénétrer entre eux ; aussi quand un corps exécute un mouvement à notre portée , nous pouvons tout à la fois : i° le suivre dans les positions successives qu’il peut prendre sous nos yeux ; 2 ° nous le représenter dans toutes celles précédemment occupées par lui ; 3° nous le figurer, en outre , dans celles qu’il pourrait occuper par suite d’une modification ou d’une extension quelconque du mouvement primitif, et cela, quand même celte dernière supposition devrait 1 entraîner tout à fait hors de la portée de nos sens : les lois que nous venons de rappeler ne cesseraient pas d’exister pour lui ; elles sont tout à fait indépendantes du lieu particulier qu’il occupe momentanément.

L’ensemble de toutes les places qu’un corps pourrait successivement occuper et laisser vides , s’il était seul dans la nature, emporte avec lui une idée absolue; car elle ne souffre ni limites , ni exceptions ; nous ne pouvons , en effet, désigner sur toutes les directions qui rayonnent , autour de nous , aucun emplacement qui ne puisse être occupé par un corps , excepté ceux qu’un autre corps occuperait d’avance. Si donc , nous comprenons cet ensemble lui-même sous le nom générique ({'espace , il est évident que nous aurons désigné par là un tout sans limites, et qui s’étend indéfiniment dans toutes les directions qu’un corps mobile peut prendre.

Considérer plus particulièrement dans cet ensemble , soit un corps, soit un des vides que ce corps pourrait occuper , s’il y était transporté , c’est distinguer une partie dans un tout, c’est définir, c’est séparer, c’est abstraire ; idées relatives que nous ne pouvons compléter qu’en donnant une forme déterminée , c’est-à-dire, des

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limites à la partie que nous considérons ; car une partie qui n’aurait pas de limites se confondrait nécessairement avec le tout qui , étant infini , n’en saurait admettre luimême.

Les limites des corps sont les surfaces : ce sont elles qui , par leur nature et leur position respectives , en déterminent ce qu’on appelle la forme , et les distinguent de l’espace qui les entoure ; elles sont composées de la succession des points qui peuvent être soumis à la vue et au toucher. Ces limites sont nécessairement doubles; car la présence d’un corps limite à son tout l’espace par rapport à la portion vide qu’il lui retranche ; de sorte qu’entre l’espace total et le corps , il y a le lieu d’une section ou d’une rupture qui s’opérera par disjonction, quand, par suite d’un mouvement quelconque, la surface qui limite le corps se détachera de la surface qui limite l’espace autour d’elle. Deux formes essentiellement distinctes , quoique exactement superposables , résultent de cette coexistence de limites ; l’une est la forme relief , celle du plein, qui appartient au ^orps ; l’autre la forme incrustation, celle du vide , qui se rapporte à ce qui reste de l’espace total , quand le corps en est retranché.

Cette double surface , que le raisonnement seul vient de nous indiquer, apparaît aux yeux lorsqu’on sépare mécaniquement un corps quelconque en deux parties. La surface totale du corps primitif se trouve , après la séparation , augmentée d’une surface relief et d’une surface incrustation , qui forment la double paroi du joint de rupture et qui, comme telles, sont respectivement égales en étendue.

La sphère fournit un des exemples les plus remarquables de la différence qui existe entre le relief et l’incrustation d’un même corps ; le relief sphérique ne peut être embrassé par l'œil que partiellement ; tandis que l’œil placé en présence de l’incruslnliou sphérique pourrait, en

quelque sorte , l’embrasser dans tout son ensemble : l’une des surfaces a nécessairement un contour apparent , l’autre ne saurait en avoir dans aûcune circonstance.

Outre les divisions réelles de l’espace qui résultent , comme noué venons de le voir de la présence des corps matériels dans un lieu déterminé ; nous pouvons en créer indéfiniment par la pensée. Nous sommes libres d’imaginer , en effet , qu’une certaine portion de l’espace total est devenue solide , et nous pouvons déterminer arbitrairement les solutions complètes qui la retranchent de l’espace. Par ce seul fait, nous créons , en quelque sorte , les deux formes iriscrustation et relief qui se trouvent alors en présence; et, comme rien ne limite le pouvoir créateur que notre imagination possède , nous pouvons attribuer aux surfaces qui en résultent non - seulement toutes les formes possibles , mais encore toutes les perfections de forme que nous sommes susceptibles de concevoir ; et par conséquent leur attribuer même une perfection qui serait absolue dans sa loi de formation.

Quand on soumet ainsi l’espace* au pouvoir de la pensée, parmi toutes les divisions à imaginer, la plus simple est celle qui le partage en deux parties égales : celle, par exemple, qui distinguerait à un instant donné toute la portion de l’espace qui est située à notre droite de celle qui est située a notre gauche. Cette supposition produirait nécessairement une Section infinie en prolongement de celle qui, dans notre corps, sépare la gauche de la droite ; et comme on ne pourrait rien dire d’une des moitiés de l’espaCe qui ne s’appliquât à l’autre , les deux surfaces qui leur serviraient de limite seraient nécessairement identiques entre elles. Dans ce cas particulier , la forme relief n’aura rien qui la distingue de la forme incrustation : elles pourront donc glisser l’une sur l’autre sans que la juxta-position mathématique cesse d’exister entre elles; car une séparation

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partielle signalerait .une différence dans les deux surfaces , et par suite dans les deux moitiés. Une pareille section est dite plane : les surfaces qui en résultent reçoivent par analogie la même dénomination, et s’appellent surfaces planes ou plans : on confond assez souvent et la section et les surfaces sous le nom générique de plan. Nous pensons qu’il est toujours nécessaire de distinguer les deux surfaces relief et incrustation de la section unique qui les produit.

Si nous admettons l’existence simultanée de deux sections planes , nous aurons divisé l’espace en quatre parties égales , deux à deux , parce quelles sont deux à deux superposables : ces parties sont appelées angles dièdres. En ajoutant une section nouvelle combinée avec les deux autres , elle produira dans l’espace huit divisions qui seront pareillement égales deux à deux , mais qui ne seront pas superposables. Ces nouvelles divisions , qui sont chacunes comprises entre trois plans , se nomment angles trièdres ; elles ont chacune pour opposé au sommet l’angle trièdre qui leur est équivalent en volume.

Pour se convaincre de l’impossibilité de superposition de ces deux parties de l’espace qui sont cependant limitées par trois angles plans égaux, et qui sont par conséquent composées de faces superposables , il n’y a qu’à les couper par une sphère ayant son centre à leur sommet commun. Chaque angle trièdre détachera sur la surface de la sphère un triangle composé de trois arcs égaux par couple à ceux du triangle correspondant; mais ces triangles, quoique susceptibles d'élre inscrits dans un cercle de même rayon tracé sur la sphère, seront dans le cas insuperposable ; puisque , d’une part, les sommets homologues ne tombent pas du même côté de l’arc qui leur est opposé, ce qui détruit la possibilité de superposition par glissement selon le plan du cercle dont ces arcs font partie, et que de l’autre , si on met ces mêmes arcs en superposition par duplicature

de leur plan , l’un des sommets opposés tombe à droite tandis que son homologue tombe à gauche. Les pyramides trièdres ayant leurs faces sphériques homologues insuperposables seront donc insuperposahles à leur tour. On peut toutefois démontrer rigoureusement l’équivalence des deux espaces cubes compris entre les trois plans et le triangle sphérique qu’ils interceptent , et en conclure par suite l’équivalence de l’espace infini que ces trois plans embrassent ; puisque rien ne limite la grandeur du rayon sphérique appliqué à cette démonstration.

Lemrne. Dans une sphère, si deux cercles se coupént suivant une corde quelconque et se meuvent sur la sphère sans que leur angle plan varie , et sans que la corde change de longueur, ils intercepteront constamment deux fuseaux qui seront égaux par couple, comme indirectement superposables aux deux fuseaux homologues qu’ils interceptaient dans leur position première. C’est-à-dire comme pouvant être substitués dans la même incrustation.

Reprenons maintenant la sphère précédente et supposons inscrites , dans celle-ci , deux sphères nouvelles qui passeraient chacune par le centre commun , et par les sommets du triangle que détermine dans la première un des angles trièdres pris séparément. Ces deux sphères seront égales entre elles ; car les sommets des deux ' triangles sphériques qu’elles comprennent dans leur surface , correspondent de part et d’autre à un cercle de même rayon ; il nous suffira donc de démontrer que pour arriver aux deux angles trièdres , les quantités à soustraire de ces deux espaces sphériques identiques sont égales par superposition.

Prenons pour cela deux faces homologues sur chaque angle trièdre, nous verrons que les deux plans de ces faces détachent de chaque sphère des calottes superposables , puisque ces faces correspondent à des triangles plans égaux et par conséquent à des cercles égaux

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sur les deux sphères ; et comme chacune des calottes superposables présente à son tour, d'après le lemme précédent , trois fuseaux également superposables aux trois fuseaux de la face homologue, il est facile d’en conclure immédiatement par soustraction l’identité de ce qui reste de la calotte, après la suppression des trois fuseaux.

Le même raisonnement peut s’appliquer aux trois calottes que détachent les autres plans qui enveloppent le tétraèdre, il en résulte que ces deux tétraèdres sphériques sonl égaux.

En considérant la portion d’espace comprise entre l’angle trièdre et le plan du cercle circonscrit au triangle sphérique, nous voyons que cet espace grandit ou diminue selon que le plan s’écarte ou se rapproche du sommet , et que c’est une espèce de grandeur dont les modifications présentent en quelque sorte les mêmes circonstances que celles de l’angle plan. Aussi, pour ramener cette grandeur cubique à une commune mesure, c’est au principe d’équivalence qu’on a également eu recours ; et de même que dans un but analogue, on a rapporté les surfaces planes au rectangle de base constante , on a également ramené la comparaison des mesures cubiques à celle du parallélipipède rectangle à base constante, qui est le cube le plus simple parmi ceux qui sont susceptibles d’être mesurés linéairement , c’est-à-dire par superposition, et en donnant un reste superposable aux deux termes de la soustraction.

Le principe d’équivalence, dont l’application était si facile pour opérer la transformation des surfaces, présentait dans la symétrie de l’angle trièdre une difficulté de démonstration qui a quelque temps occupé les géomètres; c’est pour cela que nous avons tenu à en donner une démonstration que nous regardons comme complète , puisqu’elle repose tout entière sur le principe d’égalité par superposition soustractive.

Les détails dans lesquels nous sommes entrés concer-