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nant la mesure et la modification des surfaces nous dispenseront de nous étendre sur celles des solides : puisque nous avons donné le moyen de ramener le calcul des surfaces à des modifications linéaires , il s’ensuit que nous pourrons ramener celui des solides d’abord à des modifications de surfaces, et par suite à des modifications entièrement linéaires, et que par conséquent , tout problème cubique analogue à un de ceux que nous avons résolus pour une surface plane peut se traduire en ligne en adoptant le mode de réduction linéaire qui se trouve applicable aux cubes.

Quant au procédé général que nous avons donné pour évaluer les surfaces renfermées dans des périmètres courbes, il est également applicable à la mesure des cubes renfermés : j° entre un plan et une surface; 2° dans une surface entièrement fermée. Ces cubatures pourront toujours se décomposer en efïet d’une manière analogue, et présenter une suite de prismes quadrangulaires à base arbitrairement choisie , dont le volume sera donné par la moyenne arithmétique des quatre arêtes multipliées par la superficie de la section de base, moyenne arithmétique qui peut, sans inconvénient, être remplacée à son tour par la hauteur de la cote moyenne de position , qui correspond à l’intersection des plans diagonaux du prisme ; et de plus , il est clair que l’on peut choisir les dimensions des prismes eux-mêmes de manière à ce que la base rectangulaire qu’ils interceptent soit constante, et donne, évaluée en surface, un multiple ou un sous-multiple de dix. Cette division une fois adoptée, l'emplacement des cotes moyennes correspondantes à cbague prisme se trouve à son tour déterminé, et il ne s’agit plus dès lors, pour avoir le cube cherché, que d’ajouter entre elles toutes ces cotes moyennes bout à bout et de faire subir au total la modification décimale qui correspond à la multiplication par la base commune. Nous allons entrer à ce sujet dans

QUADRATURES ET CUBATURES.

des détails assez circonstanciés pour permettre de varier selon les circonstances ce mode approximatif de cubature qui correspond spécialement à la projection mixte.

Quand on se propose d évaluer le cube d’un prisme quandrangulaire droit , tronqué dans sa partie supérieure a, b , c, d, par une surface courbe quelconque, on peut, comme première approximation, remplacer celle-ci par le quadrilatère gauche qui couronne le prisme et dont les côtés forment les cordes des arcs que chaque face plane détermine dans la surface:

Or, ce quadrilatère, selon qu’on adoptera comme réelle l’une ou l’autre de ses diagonales, ac et bd, donnera lieu à deux formes de couronnement différentes. Les formules arithmétiques de cubature seront dans un cas :

= a -I- »' = S , exprimant la base totale du prisme . soit la somme des deux triangles qui forment la projection des faces dièdres dont se compose chaque couronnement

partiel ; et . + , — — , etc. , donnant en fonction des ordon-

nées a', b', d, etc., la hauteur de l’ordonnée de chacun des centres de gravité correspondants. Ces deux formules peuvent encore se transformer enSXoetSxo'; o et o' étant les cotes moyennes de cubature des quatre triangles supérieurs pris deux à deux , cotes dont l’ordonnée commune, partant du centre de gravité de S, vient aboutir successivment à chacune des droites qui unissent les centres de gravité dans la partie supérieure, elle les y divise en parties réciproquement proportionnelles aux surfaces de projection w, <»' et a, a'. On voit, d’après ces indications, que ces deux dernières formules sont susceptibles d’étre résolues sans peine graphiquement.

On obtiendra une approximation plus grande , en adoptant , au lieu des deux précédentes , la formule qui / a!+b' +c' +d\

correspond à S ^ j ; c’est-à-dire, la surface de

base multipliée parla hauteur du centre de gravité e des quatre sommets du quadrilatère gauche. Il arrive que ce point e, donne exactement la moyenne de o et de o', toutes les fois que dans le quadrilatère S, les diagonales se coupent à leur milieu respectif , c’est-à-dire , toutes les fois que S se trouve un parallélogramme.

Or, la droite qui joint les centres de deux côtés opposés du quadrilatère gauche passe également par le point e. Il

s’ensuit que cette valeur e' =

est encore très-

facile à construire, que par cette formule onmultiplie réellement S par l’ordonnée centrale du paraboloïde hyperbolique qui passe par les quatre sommets des ordonnées a', b', c', d\ et que cette cubature est rigoureuse , en ce sens que l’on substitue alors à la surface primitive une portion de surface réglée susceptible d’une cubature exacte; c’est ce que nous allons démontrer en peu de mots , en prouvant que la solidité d’un tétraèdre offre, par rapport aux paraboloïdes réglés qui le coupent diamétralement , une propriété analogue à celle que présente la surface d’un triangle et les trois paraboles qui sont séparément tangentes à ses côtés selon deux sommets différents.

Lemme. Le cube d’un tétraèdre est divisé en deux parties égales par chacun des trois paraboloïdes réglés que déterminent ses six arêtes , quand elles sont prises , quatre à quatre , fie manière à former un quadrilatère gauche. Un quelconque de ces quadrilatères a pour diagonales les deux autres arêtes qui complètent la pyramide. En faisant la figure du tétraèdre, il suffirait d’y ponctuer ces dernières , pour que le quadrilatère choisi restât seul apparent. Remarquons, en outre , que ces deux dia-

QUADRATURES ET CUBATURES. I I 3

gonalcs ne sauraient se rencontrer dans l’espace et doivent aboutir chacune à deux sommets différents.

Si l’on coupe le tétraèdre par un plan parallèle à la fois aux deux diagonales d’un même quadrilatère, on sait que l’intersection sera un parallélogramme : de plus, il est facile de reconnaître que les diagonales de ce parallélogramme constitueront séparément la génératrice mobile d’un paraboloïde qui aurait pour directrices deux des côtés opposés du quadrilatère gauche, et pour plan directeur la direction constante du plan sécant. Il s’ensuit qu’eu faisant varier ce dernier, toujours parallèlement à lui-même , l’élément linéaire du paraboloïde divisera constamment en deux parties égales la surface de la section obtenue dans le tétraèdre, dont le volume pourra dès lors être considéré comme formé d’une suite d’éléments cubiques divisés chacun en deux parties égales , par leur rencontre avec le paraboloïde. Il s’ensuit encore, que les deux surfaces diamétrales qui ont même plan directeur diviseront la solidité de la pyramide en quatre parties égales , ayant leur centre de gravité commun sur la ligne qui joint le centre de deux arêtes opposées du tétraèdre, au point commun d’intersection des trois paraboloïdes ■diamétraux, point qui se confond en e avec le centre de gravité des quatre sommets.

Pour appliquer celte propriété du paraboloïde diamétral à la cubature d’un prisme quadrangulaire droit terminé par une surface courbe, on envisage le tétraèdre que déterminent les quatre sommets a, A, c, d, des arêtes du prisme comme la différence cubique des deux couples de prismes triangulaires tronqués que les quatre ordonnées permettent de substituer à la surface; et l’on prend la moyenne de cette diflérence , ce qui , d’après le lemme précédent , donne la cubature exacte du prisme tronqué par le paraboloïde diamétral, qui a pour éléments linéaires les quatre arêtes supérieures , et ce qui revient par con-

Il4 LE CALCUL PAR LE TRAIT.

séquent à substituer la surface réglée à celle que l’on avait d’abord à considérer.

La formule arithmétique qui correspond à cette substitution s’obtiendra donc en moyennant les deux valeurs déjà trouvées , page 1 1 1 ; elles peuvent être mises sous la

forme suivante, nous supprimons l’accentuation :

— | <*>’) (u-t- b c -i-d) — Jb — . . , . #(i)

(a + i+C+rf) — à a — aC | (î)

Leur moyenne sera donnée par («)+(’) «

— + — a b — ad — a 'a — acj. .

d’où

= — — | T 2.S{a-\-b -\~c-\~d) — S(ù~J*d +Æ-pc)-(-o)ù*t- a* d -f- — — — ^S(zz-t- b^*c~\- d) -f * ab + ad-{-a.a 4-a cj . . . (4)

Formule rigoureuse dont le second terme peut être rendu nul de cinq manières différentes ; ce qui prouve que, dans la plupart des cas , on pourra se contenter de la valeur du premier.

En posant w = « et J = a' , nous obtiendrons par (4) ou par (5) , celle qui correspond à un prisme de base trapézoïdale ; la base devient parallélogrammique , en posant en outre a — J ; cette supposition est une de celles qui rendent tout à fait nul le dernier terme de (5).

Pour passer à la cubature graphique correspondante à ces dernières formules, il suffira, par la même raison, de

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prendre la moyenne des deux cotes o et o' dont noos avons indiqué les aboutissants et le point de départ commun, même page i 1 1 .

Si l’on veut tenir compte de la cote e de la surface courbe primitive qui correspond au centre de gravité e indiqué ci-dessus , on obtiendra un nouveau degré d’approximation par un procédé analogue à celui que nous avons appliqué aux superficies planes. Supposons le prisme abcd divisé en cinq autres de base équivalente , et donnons une hauteur constante e au prisme central , en leurappliquantle premier terme de(5) , la formulede cuba-

x donnant la hau-

ture sera = x ;

leur moyenne du prisme total à cuber. Elle se traduit en formule graphique par les transformations suivantes :

5x = 3e' -f- 2 ^ = de? + a ( e r ±f) = 5e' ± if,

<l’où x = e' ± — . Pary’ nous exprimons ici la flèche qui

existe de e en e entre le paraboloïde et la surface courbe qui termine le prisme à cuber. Cette flèche devant être prise avec le signe plus , quand le paraboloïde se trouve en dessus , et avec le signé moins , dans le cas contraire.

Si le quadrilatère se' réduisait à un triangle abc, la surface réglée deviendrait plane ; la cote moyenne e' serait celle qui correspond au centre de gravité e des trois sommets abc et de la surface abc ; la cote de e deviendrait : e = fictif — e ' dizf, et la formule se présente-

rait alors sous la forme x —

et se

3[a + b+c)+iie'

transformerait en : jx =

SJ

= 'je' i: 3 f\ d’où x — e ±—r. /exprimant encore la flèche

comprise entre le plan du triangle abc et la surface qui termine le prisme que l’on avait à cuber.

Ces deux nouvelles formules approximatives se réduisent à substituer à la surface primitive, dans l’une, un polyèdre à cinq faces paraboloïdes , dont les projections sont équivalentes, fig. 7; et dans l’autre, un polyèdre à sept faces triangulaires pareillement équivalentes en projection.

Pour obtenir celte subdivision d’un triangle en sept autres équivalents , menez dans le triangle donné, PI. III , fig. 8, les deux parallèles cg et fd à la distance de ab et bd capable du septième «le la surface; prenez de g en d une distance égale à gf ; joignez les sommets a et b au point c'; doublez bd, de d en c"; et, enfin joignez ce dernier aux deux sommets a et d et au point c. Les deux triangles acb et bc'd seront égaux au septième par construction; il en sera de même de leurs équivalents bcc', ddc", acd', ccc”, et, par conséquent, du dernier ac d qui se trouve le reste de la soustraction des six autres.

Ces diverses méthodes de cubature acquièrent une importance réelle quand on les rattache au système de projection orthogonale mixte ouchiflré. Nous avons déjà signalé le principal avantage que’ présentent les épures «le ce système, qui permettent d’obtenir immédiatement des sections horizontales équidistantes sur toutel’étendue des corps soumis à ce genre de description ; et comme ces courbes sont cotées, par rapport à un même plan horizontal, il en résulte qu’il suffit de supposer un quelconque de ces corps divisé en prismes verticaux, pour être à même de trouver instantanément , sur la figure, la cote relative aux arêtes de ces prismes, et, par conséquent , pour obtenir presque sans efforts , au moyen des formules précédentes , la valeur d’un cube partiel quelconque terminé par des plans verticaux.

Ce mode expéditif, appliqué aux grandes excavations,

QUADRATURES ET CUBATURES. I17

permet de les évaluer, pour ainsi dire, à vue d’œil, pourvu que dans la division en prisme on ait soin de choisir exclusivement des bases dont la surface puisse se trouver exprimée par des nombres très-simples : ce qu il est toujours loisible de faire avec un peu d’attention; alors, soit qu’on adopte pour multiplicateur variable la cote moyenne elle-même ou celle qui se déduit arithmétiquement ou graphiquement des arêtes extrêmes de chaque prisme , il est facile de voir que les cubatures des masses les plus importantes pourront s’exécuter , pour ainsi dire , en quelques minutes.

De pareils résultats pratiques ne sont pas à dédaigner': il importe presque toujours de réduire les cubes des travaux à des minima ; et, comme ce n’est qu’en variant les données d’un projet et en calculant séparément les divers cubes qu’exige chaque modification partielle, qu on peut arriver par comparaison au projet qui donnera lieu à la moindre dépense possible, il est très- essentiel que l’ingénieur ne soit pas rebuté dans l’accomplissement de ce devoir par la longueur des opérations à exécuter. La célérité que procure une bonne méthode d’évaluation est donc tout à la fois un moyen de perfectionnement dans le choix et la disposition des travaux , et un gage d’économie sous le rapport de l’importance des sommesqu’il y aura Üeu de consacrer à leur exécution.