INTERPOLATION PAR UNE COURBE UNIQUE

Les problèmes graphiques qui dépendent de cette catégorie se réduisent à la description des courbes du second degré. Au delà de cinq points , il convient de renoncer à interpoler par une seule courbe , vu que la question ainsi posée devient nécessairement d’autant plus difficile à résoudre , quelle présente un plus grand nombre de conditions à remplir.

Mais , avant d’en aborder directement la solution , il est indispensable de rappeler ici les principes sur lesquels nous allons nous appuyer. Ces principes nous les choisirons tellement généraux , et tout à la fois tellement coordonnés entre eux, qu'il soit toujours possible de retrouver, au besoin , la série des constructions qui en seront la conséquence, sans être tenu de charger sa mémoire des détails linéaires qui constituent le matériel de chaque tracé;

Nous allons , pour cela , faire dépendre ces diverses constructions d’une idée simple et fondamentale : nous supposerons que toutes les courbes à décrire font partie d’une surface réglée du second ordre , que nous choisirons dans chaque cas particulier, de manière à remplir les conditions du problème proposé : ramenant ainsi à de véritables épures les figures planes du problème primitif. Nous aurons donc à rappeler aussi, avant d'entrer en matière , les diflérentes formes que peuvent affecter les projections de ces surfaces , puisque c’est nécessairement par la projection que nous arriverons à ramener sur un plan les éléments de génération qui les constituent.

Le genre de projection qui sc'prêle le mieux au but

que nous venons d’indiquer, est la projection polaire à trois dimensions : vu que, dans ce système, une seule projection ou perspective suffit pour décrire l’espace. Nous allons donc énoncer, en peu de mots, les principales données sur lesquelles reposent les épures élémentaires qui en dérivent ; renvoyant , pour des détails plus circonstanciés, au traité spécial que nous avons déjà publié sur la matière en 1828.

1° Le système de projection polaire consiste à rapporter tous les points de l’espace à un même plan fixe , nommé tableau , par des droites qui sc dirigent vers l’œil , point invariablement coordonné avec le plan du tableau.

2 0 La projection polaire d’un plan est donnée par sa trace et sa limite; savoir : son intersection avec le tableau , et celle d’un plan parallèle passant par l’œil. Ces deux lignes sont, par conséquent , toujours parallèles. En exécutant l’épure on ponctue la limite*^la trace seule est figurée par une ligne pleine.

3 ° Une droite étant l'intersection de deux plans, a nécessairement pour projection une autre droite, ayant sa trace au point, d’intersection des traces de ceux-ci, et sa limite à l’intersection de leurs limites. Il suffit pour que ces deux points , qui limitent la perspective d’une droite, deviennent distincts sur le tableau, de figurer à la place qui leur correspond un petit arrachement delà trace et de la limite d’un plan , soit un trait plein et un trait ponctué.

4 ° Deux droites quelconques se coupent, quand elles déterminent , par leurs traces , une parallèle à la ligne qui joint leurs limites. Ce couple de parallèles appartient aux lignes projectives du plan qui les contient toutes deux. Réciproquement, pour que «leux droites puissent se couper, il faut qu elles déterminent , etc.

l’œil , la trace et

la limite se superposent : la projection jj** |^ a *j t j

.. , (à une ligne unique )

se réduit alors î, V J.

la un point )

6° * , S ) ayant même limite sont parallèles.

(Deux droites; J 1

un se su-

( droites \

plans >sont tels que les traces de l’u surfaces/

perposent aux limites de l’autre , ils sont dits invertis.

7° Un hyperboloïde réglé a pour trace le lieu des traces de ses génératrices , et pour limite le lieu de leurs limites. Ces deux courbes, toujours semblables et semblablement placées , peuvent affecter toutes les formes que comportent les lignes du second degré -,

8° Le paraboloïde réglé n’étant qu’un cas particulier de l’hyperbololde ^.présente les mêmes particularités dans sa projection , excepté qu’il ne peut avoir une ellipse pour trace, et qu’il a constamment deux droites pour limites : soit les limites de ses deux plans directeurs. De plus, sa trace est une parabole , quand ses limites sont parallèles sur le tableau.

Quanfffune de ses limites passe à l’infini, le tableau est alors , lui-même , un des plans directeurs de la surface. Dans ce cas particulier, la trace et la limite se réduisent chacune à une seule droite ; et le contour apparent se projette suivant une parabole.

9° Le contour apparent d’une surface réglée est , sur le tableau , la courbe enveloppe , déterminée par la succession des perspectives de ses génératrices.

Dans le texte , nous observerons de toujours placer les limites à la suite (à la droite) des traces qui leur correspondent : nous écrirons le plan ° ^ j , la ligne ^ j ,

selon les deux permutations que les mêmes lettres com-

INTERPOLATION GRAPHIQUE. Iü3

portent , et qui s’appliquent à deux | ] i nvert * s ,

l’astérisque sera adopté, comme signe de position relative ,

ainsi la

nous indiquera

une

trace ) limite j

suite encorte que pour indiquer une droite ou un plan qui passent par l’œil , il suffira de les désigner par les méme§ lettres deux lois répétées et séparées par l'astélab » ab)

nC ^ Ue ( a* a >" •

La présence seule de l’astérisque annoncera donc au lecteur que les lignes dont il a à s’occuper constituent une épure polaire , tout en lui fournissant le moyen d’en distinguer les éléments ; et son absence indiquera qu’il n’a plus à considérer que la figure plane qui se confond sur le tableau avec les lignes projectives de cette même épure.

Les épures de perspective ordinaire, telles que nous venons de les décrire, peuvent encore être envisagées comme le résultat d’un système projectif qui complète la description des lignes et des surfaces, au moyen d’une double intersection plane opérée d’une part sur le tableau , et de l’autre sur un plan parallèle , situé tout entier à l’infini ; l’une contenant ce que nous avons appelé les lignes et les points traces , l’autre les lignes et les points limites.

Sous ce dernier rapport , le système polaire est susceptible d’une extension remarquable et qui se prête à de nombreuses applications. On peut admettre , en effet, que les deux plans sécants, cessant d’être parallèles, se rencontrent suivant une ligne arbitraire qui, une fois tracée sur le tableau, forme l’arête de l’angle dièdre sur la face antérieure duquel on suppose encore

| . Il en ré-

isolée ; et il en sera de même du point j

ia4

toute Ja projection ramenée. Cette' ligne a déjà reçu dans plusieurs traités le nom de sécante commune, et quoiqu’il lui ait été donné dans des circonstances assez restreintes , c’est celui que nous adopterons de préférence pour elle , en le généralisant ; tandis que nous désignerons cette modification du système projectif sous celui de projection polaire dièdre.

La seule différence réelle que présentent les deux projections vient , comme on voit , de ce que dans les épures de perspective ordinaire la sécante commune est passée à l’infini , ce qui dispense d’en tenir compte autrement que par le parallélisme des lignes qui vont y concourir. La perspective usuelle constituerait donc , en réalité, un cas particulier du système dièdre , envisagé lui-même comme procédé général de projection.

Il s’ensuit encore que , dans ce système général , les deux traces d’un plan (car ici le terme de limite cesse d’être applicable) , au lieu de se trouver parallèles , viennent nécessairement se couper en un même point de la sécante commune; et c’est là l’unique modification dont on ait réellement à tenir compte en passant d’un système à l’autre ; car , dans les deux , une ligne se trouve également déterminée par la projection de sa partie comprise entre les deux points où elle perce chacun des plans de l’angle sécant.

Moyennant ces remarques , il est clair qu’on peut exécuter les deux sortes de dessins qui en résultent , par des procédés identiques, et traduire, en conséquence, dans le système dièdre toutes les épures du système polaire régulier ; celles , du moins , dans lesquelles il n’y a point à s’occuper de relations métriques , et qui se réduisent alors à de simples intersections de lignes et de surfaces ; et , de plus , il est aisé de reconnaître que , parmi ces dernières, toutes celles qui se borneront à des intersections linéaires ou planes, se trouveront matériellement

ramenée* à des intersections de lignes droites non parallèles, situées sur le tableau ; et que, par conséquent, la règle seule suffira pour exécuter les figures planes qui en résulteront.

A l’appui de cette remarque , nous aurons occasion de montrer plus d’une fois , dans cette troisième partie , que les solutions les plus élégantes qui se rapportent à la géométrie de la règle , ne sont autre chose que des épures polaires dièdres.

Nous sommes maintenant à même de faire connaître le principal motif qui nous a porté à ramener la solution des divers problèmes d’interpolation à des épures de surfaces gauches , transformation qui semble devoir plutôt compliquer la question que la simplifier, et qui , parla même , doit répugner au premier aperçu.

Mais à l’usage on s’apercevra bientôt de son importance ; car , du moment où le tracé d’une figure plane sera susceptible de représenter en projection polaire une surface réglée du second degré, on sera conduit à une solution purement linéaire du problème proposé ; c’està-dire qu’on pourra exécuter le tracé, en n’y employant qu’une règle sur le papier, et que des jalons sur le terrain ; et cette circonstance favorable se présentera nécessairement toutes les fois que la partie du problème qui se rapporte à la surface auxiliaire pourra se résoutire par des intersections de plans et de lignes Ces solutions partielles n’exigent , en eflet, comme nous venons de le voir dans l’exposé du système de projection rappelé ci-dessus , que le tracé d’un certain nombre de couples de parallèles , couples qui pourront au besoin , par le seul changement de projection dièdre, se trouver remplacés eux -mêmes par des droites allant concourir deux à deux sur une même ligne, constituant alors la sécante commune de l’angle plan sur lequel l’opération est censée s exécuter.

Les problèmes d’interpolation qui rentrent plus parti-

culièrementdansla catégorie que nous venons d’indiquer,

, , , , { 5 , 4 , 3 , 2, 1, o points )

sont les suivants : étant donnes J . * [,

(o, 1, 2, 4, 5 tangentes)

construire la courbe que cinq de ces éléments déterminent. Il faut observer que nous supposerons toujours dans ces combinaisons de données, que les points sont situés sur les tangentes , et constituent le lieu de contact de celles-ci ; nous n’admettrons pas de points isolés , combinés avec des tangentes dont le contact resterait indéterminé ; suppositions qui exigent en général l’emploi d’un cercle auxiliaire, si l’on veut parvenir à résoudre les problèmes qui les concernent. Nous en indiquerons, toutefois, quelques exemples pour développer le principe qui s’applique à leur solution ; il consiste à remplacer la surface gauche sur laquelle on rapporte la courbe par un cône à base circulaire.

Nous exposerons , en outre, une autre espèce d’interpolation dans laquelle la nature de la courbe à décrire entre comme donnée première du problème, et tient lieu d’un des cinq éléments indiqués ci-dessus. Ces problèmes

f 4 » 3 , 2, 1, o points !o, 1,2, 3 , 4 tangente

( l’hyperbole ) „ , , ,

<„ . , . > crue ces éléments de-

U ellipse ou la parabole) 1

terminent. Ces divers cas résolus, on en conclura sans peine

les tracés nécessairement indéterminés correspondant à un

nombre de données moindre ; étant donnés, par exemple ,

| 3 , 2, 1, o points | constru j re vo l on té une des trois to, 1,2, 3 tangentes)

courbes du second ordre. Outre que ces derniers comportent, en général, des constructions très-simples, ils sont toujours susceptibles d’une solution réelle ; tandis que les précédents admettent de nombreuses exceptions. Ainsi , par quatre points donnés, on peut bien faire passer une hyperbole , mais pas toujours une ellipse, et encore

sont les suivants : étant donnés

construire

les) ’

INTERPOLATION GRAPUIQCE. 127

moins une parabole. L’ellipse est possible tant que le quadrilatère inscrit , qui résulte des données , conserve la forme convexe ; ce qui exige que les points de concours de ses côtés opposés soient situés hors de son périmètre. Tous les cas de quatre points qui admettent des ellipses donnent lieu à deux paraboles. Toutefois une seule parabole est possible, quand le quadrilatère elliptique devient trapèze ; et enfin , si le trapèze devient parallélogramme , la forme parabolique se trouve inapplicable, quoique la forme elliptique le soit encore dans toute sa généralité.

Quatre tangentes admettent indifféremment les trois courbes , avec cette différence, quelles correspondent toujours à une parabole unique, qui devient encore impossible aussitôt que deux des tangenLes se trouvent parallèles.

Enfin , deux tangentes à contact déterminé présentent et les mêmes généralités et la même exception Nous ne pousserons pas plus loin cette analyse que chacun peut étendre à volonté , en ramenant les données diverses qu’il aura à discuter à la forme du quadrilatère inscrit, ou à celle du quadrilatère circonscrit à la courbe.

Nous avons à remarquer encore que, dans ces divers problèmes, les uns, ceux où le nombre des points excédera celui des tangentes , exigeront que l’on fasse usage de l’hyperboloïde réglé pour les résoudre ; tandis que les autres permettront l’emploi du paraboloïde , et seront par conséquent susceptible de plus de simplicité dans leur. 1 ; tracés.

Premier problème. Etant donnés , PI. III y fig. 9 , les cinq points 1 , a, 3, 5, tracer la courbe qu’ils déterminent.

Nous supposerons que ces cinq points sout la trace sur le tableau d’autant de génératrices d’une même surface gauche du deuxième ordre ; et que ces lignes correspondent à un système de génération différent, suivant qu elles dérivent d’un chiffre pair ou impair. Ces préli-

minaùes admis, nous pourrons assujettir les droites ( 1 ) et ( 2 ) , qui doivent sc rencontrer, à passer par l’œil : leur projection se trouvera réduite , en conséquence , aux deux points 1 et 2 ; et, de plus, les projections de toutes les autres droites devront alors , celles à chiffres pairs passer par 1 , et celles à chifires impairs, par 2 . Nous pouvons encore admettre que (5) se trouve parallèle à ( 2 ) , ce qui exige que (5) se projette tout entière suivant la direction 5 , 2 et ce qu'on indique en la notant 5 * 2 . (4) sera projetée suivant la direction 4 , • i et comme elle doit rencontrer < 5), il faudra que leurs limites se trouvent sur une parallèle 2 c, à la direction 5, 4 donnée par leurs traces. (3) devra, comme (5), passer par 2 et couper (4). La première condition fait connaître sa direction , et la seconde sa limite ; car, les limites de (3) et de (4) doivent déterminer , à leur tour, une parallèle cd à la ligne 3, 4 qui joint leurs traces; voilà donc la perspective des cinq génératrices complète, savoir : 1 * 1 , 2 » 2 , 3 * </, 4 * c et 5 * 2 , et combinées de façon que 2 . 2 et 4 s’appuyent chacune sur les trois autres. Donc, entin , une génératrice quelconque (6), s’appuyant à son tour sur les mêmes directrices , donnera par sa trace un sixième point de la courbe cherchée, puisqu’elle appartiendra à la même surface île laquelle dépendent les cinq autres. Pour obtenir un sixième point , il suffit de mener par 5,2 un plan 5r * id parallèle à 3 » d ; et la droite 6 * d sera, dans ce plan, une génératrice paire de la surface.

On pourra se donner, à volonté, la direction d’une génératrice nouvelle (8), en menant par un point quelconque n de (5) une droite indéfinie , passant par 1 ; il n’y aura qu’à choisir sa perspective, de façon qu’elle puisse s’appuyer sur (3) , au point o où la droite indéfinie , suivant laquelle (8) se projette , coupe cette directrice.

Menons, par le point », de » en ’ d, une parallèle à 3 * d, cette parallèle, coupant (5), se trouvera dans un plan, dont

INTERPOLATION GRAPHIQUE. I 2q

la limite 2 , d est connue , et dont la trace 5 , r le sera par conséquent ; mais cette parallèle, dont la trace est en r sur celle du plan qui la contient , détermine , avec 3 » d , un nouveau plan dont la trace 3 , r est dès lors connue. Ce plan, passant par (3) et parle point n, contient nécessairement la génératrice (8) ; donc sa trace, 3 , r contiendra celle de cette génératrice , que nous trouverons au point 8 ; et ce dernier sera un sixième point de la courbe qui passe par les cinq autres.

On peut remarquer, au sujet de la solution précédente , qu’elle offre la forme la plus convenable il ce genre de problème : l'interpolation se bornant, en définitive, à fournir de nouveaux points qui appartiennent à la courbe cherchée, et à réduire par là, de plus en plus, les intervalles vides qui existaient entre les points primitivement donnés , il s'ensuit que la direction dans laquelle les nouveaux points doivent se trouver, est presque toujours une circonstance importante à connaître d’avance. Or, par la forme même du tracé qui nous occupe, on voit sans peine que les nouveaux points obtenus peuvent être considérés comme procédant polairement d’une même origine 1 ; ils se trouvent chacun sur un rayon vecteur passant par ce point, et dont on est maître de déterminer à volonté la direction, ce qui laisse libre de multiplier les points de la courbe dans l’endroit même où le besoin s’en fait plus spécialement sentir.

Le problème ainsi résolu pourrait convenir à un nouvel énoncé; savoir: étant donnés, cinq points et une droite quelconque on passant par l’un d’eux, trouver le lieu de la seconde intersection de cette droite avec la courbe que les cinq points déterminent. On ramènera cet énoncé à la solution précédente, en affectant du n° i le point d'intersection connu ; et en regardant la droite donnée, comme la direction de la génératrice (8) dont on a .à chercher la trace , quand on est une fois par-

venu à compléter la perspective des cinq premiers éléments de la surface.

Puisque nous sommes maître de choisir à volonté la direction de toutes les génératrices nouvelles du système pair , supposons que nous voulons connaître celle qui a la même trace que (3) : sa direction , comme paire , sera 3, i ; et sa limite b sera sur la parallèle à 5 , 3 menée par le point 2 ; et enfin , 3, a sera la trace du plan qui contient 3 *d et 3 *b. Mais, comme ces deux droites se coupent au point 3 , le plan qui les contient s’y trouve tangent à la surface gauche; et la trace de ce plan étant l’intersection du plan sécant (du tableau) et du plan tangent, est nécessairement tangente en ce point 3, à la courbe que le tableau détermine sur la surface , celle-là même que nous construisons par points. Cette considération va nous servir à ramener immédiatement les données des deux problèmes suivants à celles du cas particulier que nous venons de résoudre, ce qui nous dispensera de les traiter avec autant de détails.

Etant donnés PI. III, fig. to, quatre points 1 , 2 , 3, 5 , et la tangente (3, 4) suivant le point 3 , construire la courbe.

Les points 1 et 2 conserveront la même signification que dans le problème précédent; et, d’après la dernière remarque nous pourrons considérer le point 3 comme contenant la double trace de (3) et d’une génératrice paire (4), tandis que la tangente en ce point sera la trace du plan qui contient à la fois ces deux droites. Puisqu’elles sont de système différent , (3) doit passer par a, et (4) par 1 ; une parallèle quelconque a b , à la trace de leur plan contiendra leurs limites , que nous pouvons, sauf cette obligation , choisir à volonté. (5) doit passer par 2 , et s’appuyer sur (4) ; elle est donc déterminée aussitôt que (4) est connue; et le deuxième problème se trouvant ainsi ramené aux cinq éléments qui

constituent le premier , le reste de la solution lui est nécessairement applicable.

Étant donnés , fig. 1 1 , trois points i, 2, 5 et les deux tangentes 1 , a et 2, b suivant les deux premiers, construire la courbe.

Conservons encore à 1 et 2 leur signification précédente , et remarquons que nous connaissons ici la trace dç deux plans tangents à la surface ; ces plans, qui contiennent séparément 1 » 1 et 2 , 2 passent tous deux par l’oeil ; il s’ensuit qu’ils contiennent et projettent tout à la fois , chacun séparément , une seconde génératrice (3) et (4) , dont la trace se trouve au point de contact de chaque plan ; c’est-à-dire , 3 * en 2 , et 4 * en 1 . Nous pourrons donc déterminer à volonté les limites de ces deux génératrices sur la direction de leurs plans projetants , à la seule condition de placer ces limites sur une même parallèle a b , à la ligne 1,2, qui joint les deux traces. Cela fait, si nous déterminons encore ( 5 ) , comme nous venons de le faire dans les deux problèmes précédents , nous aurons rétabli nos deux génératrices paires et nos trois directrices impaires , et reconstitué, par conséquent , la surface «au moyen de laquelle notre problème peut se trouver linéairement résolu.

Nous venons d’exposer , en quelque sorte, la méthode générale d’interpolation , celle dont on peut, à la rigueur, se dispenser de garder les détails dans sa mémoire ; car la solution graphique se réduisant ici à la simple exécution d’une épure polaire, doit être envisagée comme produisant une figure dont les lignes ont, soit entre elles, soit avec les points donnés , des relations presque toutes forcées; mais en l’état, elle est peut-êtic encore trop compliquée.

Pour justifier ce que nous avons fait pressentir , quand nous avons parlé de la simplicité des résultats auxquels

nous allions être conduits , il va nous suffire d’y introduire la modification dièdre.

Reprenons, PI. I \\,fig. 12 , les cinq poinls primitivement donnés , et admettons encore que les génératrices (i) et ( 2 ) passent par l’œil : pour que les génératrices (4) et (5) se rencontrent dans l’espace , il suffira qu’elles viennent respectivement couper (i) et ( 2 ) en deux points » 1 et ,2 tels que la ligne i , 2 qu’ils déterminent ait sa trace en a , sur celle du plan qui doit contenir à la fois i4) et (5) ; pour que (3) et (4) se rencontrent à leur tour, il faudra, par la même raison, que la ligne * 1 , n de direction arbitraire autour du point * 1 , et sur laquelle on peut supposer que (3) s’appuie , vienne percer le tableau au pointé'', où sa propre direction coupe la trace supérieure du plan commun à (4) et à (3) ; de telle sorte, que b a* sera nécessairement la trace du plan qui passe par les trois sommets du triangle * 1 , * 2 , * n , trace que nous pouvons , dès lors , adopter pour sécante commune dans la figure.

Ces données admises, si parla ligne * 2 , «et par le point 5', nous menons un plan, sa trace supérieure contiendra 5* et viendra couper la sécante commune b a au point c où sa trace inférieure *2,3 vient concourir ; enfin , si dans ce plan , nous considérons la ligne qui joint le point 6 * au point * «, il sera facile d’y reconnaître une troisième génératrice du système pair, car elle passe par > * 1 ; elle est dans un même plan que 5 * 2 , et elle rencontre 3 .« par construction ; sa trace 6* constituera donc un sixième point de la courbe cherchée.

On arrive ainsi par un procédé tout à fait direct à la propriété que Pascal a le premier signalée dans l’hexagone inscrit aux courbes du second degré; et cela, sans avoir à s’occuper de la nature de la courbe donnée , et sans avoir une seule ligne étrangère à tracer dans celte figure , l’une des plus remarquables parmi celles qui constituent la géométrie de la règle. On y arrive , disons-nous,

forcément, et par ce seul fait , que les lignes qui la composent constituent l’épure polaire dièdre de l’intersection d’un plan et d’une surface réglée, du second ordre. Plus tard, nous aurons à indiquer comment on se trouve conduit, par des considéralions du même genre, à la propriété des hexagones circonscrits.

Si l’on voulait déterminer, dans cette figure, les intersections ternaires des six plans invertis qui ont sur la sécante leur origine en a, b etc, on trouverait trois points où viendraient concourir trois à trois les diagonales des divers hexagones que les trois angles forment sur le tableau.

Profitons, dans cette même figure, de la direction arbitraire que l’on peut donner à la ligne i , n , autour du point i , et supposons quelle vient passer par le point 5. Cette modification dans les données, porte le point en n' et modifie autour du point a , la direction a b' de la sécante commune. Mais il arrive , par suite de ce changement , que la trace du nouveau plan c', 5 qui passe par 5 , se trouve tangente à la courbe cherchée , parce que ce plan lui-même est alors tangente à la surface au même point 5 où viennent se couper les deux génératrices de système différent 5 * 2 et 5 » n! qu’il y détermine ; et c’est encore là une conséquence du théorème de Pascal, qui se déduit de l’espace avec la même simplicité.

Par le fait de l’intersection des trois plans dont l’origine est en b , a et c sur la sécante commune , et dont les traces pleines appartiennent ici à la face supérieure du dièdre , il est également possible de trouver soit un nouveau point de la courbe, soit une de ses tangentes. Car, ces plans ayant pour intersections linéaires communes les génératrices (5) et (4), et la trace inférieure * i , n du plan b étant toujours prise à volonté , cette trace vient rencontrer son homologue .2,3 dans le plan c , en un point . n qui appartient à la troisième intersection , ligne qui se trouve

par là entièrement déterminée , puisqu’elle doit venir passer par le point o où se rencontrent les deux premières ; en la prolongeant , elle viendra couper la trace supérieure du plan b en un point e, qui appartient au sixième côté de l’hexagone. Cette construction exige sept lignes droites , comme la précédente , et quand il s’agit d’une courbe fermée, elle est toujours d’une étendue assez restreinte.

On remarquera encore combien les signes conventionnels introduits dans cette figure rendent son exécution facile. Qu’on oublie, par exemple, de bien y particulariser les traces supérieures et inférieures de chaque plan, et, au lieu d’une simple intersection ternaire, on sera exposé à en trouver trois ; car il existe deux intersections du même genre, qui complètent la rencontre des six plans invertis a, b et c que ces mêmes lignes projettent.

En complétant les éléments de cet hyperboloïde , par rapporta une sécante invariable, sa trace inférieure et sa trace supérieure constitueraient deux courbes , dont la sécante commune ( dans le sens adopté jusqu’à ce jour ), serait celle des plans de projection. Les dépendances réciproques qui naissent de cette relation mettent bientôt à même de comprendre toute l’importance du rôle que jouent les sécantes communes , tant par rapport aux polygones linéaires que par rapport aux courbes du second degré. Ces dernières n’admettant de sécante commune que lorsqu’elles peuvent être envisagées comme faisant partie d’une même surface du second ordre, et comme constituant sur celle - ci la double trace d’une même épure dièdre , il s’ensuit que , dans cette position spéciale , elles sont aussi toujours susceptibles de se trouver placées à la fois sur deux cônes ; et c’est en exécutant alors l’épure, au moyen de laquelle on obtient le sommet de ces cônes, que l’on parvient à trouver, sur le tableau , les deux points d’où l’on peut mener à la fois deux tangentes communes aux deux courbes données ,

ce qui revient à trouver en projection les deux sommets coniques et le double contour apparent linéaire correspondant à chacune de ces deux surfaces.

Cette traduction d’une figure plane en épure offre un précieux avantage qu’il ne faut jamais perdre de vue : chaque ligne y prend un caractère particulier; et cela contribue tout à la fois à faciliter l'intelligence du dessin et à garantir son exactitude. Car, ce caractère est presque toujours tellement tranché qu’une erreur «le détermination y sauterait infailliblement aux yeux les moins exercés , pourvu qu’on ait eu soin dYn tenir compte en exécutant la figure.

Ainsi deux courbes du second degré admettent , en général , quatre tangentes communes, qui se coupent en six points ; et, cependant, il n’y a presque toujours que «leux de ces points dont on puisse profiter pour trouver les sécantes communes aux deux courbes. Ce sont ceux qui, quand ils sont pris pour sommets , permettent aux deux courbes de figurer sur la même nappe ou sur les deux nappes d’un même cône ; les autres points sont tout à fait sans valeur graphique ; on les reconnaît, parce qu’ils ne résultent pas d’un point d’intersection réel : les projections des deux droites s’y croisent , sans pour cela qu’elles puissent se rencontrer dans l’espace.

Nous allons , maintenant , passer aux problèmes qui se résolvent, en employant le paraboloïde réglé ; et nous remarquerons , avant d’entrer en matière , que ce ne sera plus la trace de la surface auxiliaire que nous allons avoir à chercher désormais, mais bien la perspective de son contour apparent qui , comme on sait, peut afiecter en perspective les diverses formes que sont susceptibles de prendre les courbes du deuxième degré.

Soient données , PI. III , fig. i3, les cinq tangentes i, a, 3,4,5, tracer la courbe qu’elles enveloppent.

Nous supposerons que ces cinq droites sont les traces

de cinq plans (i) ( 2 ) (3) (4) (5) tangents à un même paraboloïde , et que ces plans passent par l’œil. Dès lors , ils auront chacun leur point de contact sur le contour apparent de la surface au point même où se coupent les deux génératrices de système différent que chaque plan contient et projette ; nous pourrons supposer, en outre , que ( 1 ) et ( 2 ) touchent chacun la surface à l’infini, et constituent les deux limites de ses deux plans directeurs. Nous ponctuerons , en conséquence , ces deux lignes pour donner plus de clarté à notre démonstration.

La ligne (t), d’après la supposition que nous venons de faire pour elle , devra contenir toutes les limites des génératrices du système pair , et la ligne (a) celles de tout le système impair ; donc , (3) paire ( en désignant ainsi la génératrice paire que le plan (3) projette ) aura sa limite en a et (4) impaire , sa limite en b ; (5) impaire , sa limite en c, et (5) paire , sa limite en d. Mais , (5) paire et (4) impaire -déterminent un plan , dont la limite est db ; (5) impaire, et (3) paire déterminent un second plan dont la limite est ca , enfin (3) paire et (4) impaire déterminent un troisième plan dont la limite est 4a; et, comme nous connaissons deux arêtes de l’angle trièdre que forment ces trois plans, savoir : (3) paire et (4) impaire, plus un point de la troisième, soit le point o où les limites des deux plans bd et ca se rencontrent , il s’ensuit que de la droite qui joindra le point o au point de rencontre de (3) et de (4), sera la perspective de l’intersection des deux plans bd et ca; donc le point où cette droite coupera (5) sera celui où viennent se. rencontrer les deux génératrices que (5) projette , c’est donc le lieu du contact de la tangente 5 avec la courbe que déterminent les cinq autres , courbe qui se confond sur le tableau avec la perspective du contour apparent du paraboloïde sur lequel nous avons opéré.

Les dispositions de la fig. i3 , ne permettent pas d’obtenir immédiatement le point de rencontre de 3 et 4 5

nous y avous suppléé, en répétant par rapport à(3) impaire et à (4) paire la construction de l’angle trièdre qui contient dans ses faces les deux génératrices (5) , et comme les troisièmes arêtes de ces deux angles se superposent en perspective, vu que le même point projette les deux intersections des quatre génératrices qui se superposent en (4) et (3), nous avons obtenu leur direction commune en joignant le point o à son homologue 6 dans le second angle trièdre , qui se compose des trois plans dq , cg et gq : on trouve, comme on voit, dans cette double solution le procédé graphique au moyen duquel on peut mener une ligne au point de rencontre de deux autres qu’il est impossible de prolonger ; et c’est dans ce but que nous avons choisi des données qui devaient nous conduire à ce dernier tracé.

La solution du problème primitif s’obtient d’ailleurs d’une façon également directe : on mène par le point h une parallèle à (4) impaire , et par le point k une parallèle à (3) paire ; ces deux droites se rencontrent dans l’espace en^>, puisqu’elles sont toutes deux sur le plan b a\ elles déterminent , en outre , avec les deux génératrices (5) , d’un côté le plan cb , et de l’autre le plan ad , dont l’intersection commune pn vient couper la ligne 5 au point de tangence cherché. Il est évident que le point m appartient à cette intersection commune , puisque c’est le sommet de 1 angle trièdre formé par les trois plans cd , ad et bc.

Etant données , PI. IV , fig. i , quatre tangentes i , a , 3, 5 , et le point de contact qui correspond à la tangente 3 , trouver la courbe que ces lignes enveloppent.

Nous conserverons aux plans (i) ( 2 ) (3) (5) leur signification précédente, et comme il résulte des données du problème qui nous occupe que nous connaissons le point où viennent se couper les deux génératrices (3) paire et (3) impaire , cette circonstance va nous permettre de trouver sur la tangente 5 le point correspondant.

Le plan , dont la limite est ba , contient (3) impaire et (5) paire-, celui dont la limite est cd , contient, à son tour, (3) paire et (5) impaire ; ces deux plans se coupent suivant une droite dont la limite est en e , et dont nous connaissons un second point, celui où (3) paire et (3) impaire se rencontrent : nous pourrons donc mener celte droite qui viendra évidemment couper (5) au point A qui se trouve commun aux deux génératrices que ce plan projette, et qui sera , par conséquent , le point le contact cherché.

Etant données , PI. IV, fig. i , les trois tangentes i , a, 3 et les points de contact a et c qui correspondent aux deux premières , tracer la courbe quelles enveloppent.

Les plans (i) ( 2 ) (3) conserveront encore leur signification précédente ; mais , ici , comme le point de contact se trouve situé de part et d’autre sur une limite de la surface , il en résulte que nous connaissons la limite des génératrices ( 1 ) paire et ( 2 ) impaire, qui se rencontrent dans l’espace au point qui se projette en o; faisant passer un plan * cd par (5) impaire et ( 1 ) paire, et un autre * ab par (5) paire et ( 2 ) impaire ; les limites de ces deux plans viendront se rencontrer en A , limite de leur intersection commune -, et o étant un point connu de cette même intersection , il n’y aura qu’à tracer cette ligne pour obtenir encore , par sa rencontre avec (5) , le point de rencontre des deux génératrices que ce dernier plan projette ; et, par conséquent , le point de contact de la langente 5.

Changeons la signification des données de ce dernier problème , et nous allons obtenir une solution encore plus complète , en ce quelle sera susceptible de toute l’extension que comporte le tracé définitif de la courbe.

Soit , fig. 3 , les Irois tangentes , et par conséquent les trois plans ( 1 ) (3) et (4) danà lesquels , comme on voit, nous ne conservons que la limite ( 1 ) du système pair, et où les points de contact se trouvent donnés sur (3) et ($),

INTERPOLATION GRAPHIQUE. 1 3lJ

eu m et n , points que nous supposerons , en outre, situés tous deux sur le tableau ; il s’ensuivra que (3) paire et (4) paire seront entièrement déterminées , et que (3) impaire et (4) impaire le seront également , puisque les limites des plans qui les contiennent, deux à deux avec les précédentes, doivent se trouver parallèles à leur trace commune; donc, enûu b a sera à son tour la limite (a) du paraboloïde , et sera , par conséquent , une nouvelle tangente à la courbe cherchée.

Si , par un point quelconque o de la trace commune des deux plans, nous menons un plan parallèle au plan directeur (i), son intersection avec le plan mn , bd sera la ligne o . d , et celle avec le plan mn » ac la ligne o , c ; donc, ce plan coupera (3) et (4) impaires aux points e et f\ donc , la droite qui passera par ces deux points sera une nouvelle génératrice paire de la surface; car elle s’appuiera sur deux directrices impaires et sera parallèle au plan directeur (i ) ; on obtiendra sans peine son point de contact par une des méthodes indiquées cidessus , puisque cette génératrice formerait au besoin la cinquième tangente à la courbe cherchée.

En faisant varier le point o on obtiendra , dans cette figure , autant de nouvelles tangentes qu’on pourra le désirer; et, comme ce tracé est aussi simple qu'expéditif, il conviendra de l’adopter de préférence, dès qu’on sera arrivé par les solutions précédentes à compléter les éléments qui le constituent , savoir : trois tangentes et deux de leurs points de contact. Passons maintenant à la forme dièdre :

Un quadrilatère plan quelconque, lorsqu’on lenvisage comme la projection dièdre d’un quadrilatère gauche , ne peutavoir que deux diagonales réelles ; aussi, parmi les trois diagonales que comporte le quadrilatère complet qu’on peut déduire de tout quadrilatère plan , il en est toujours une qui n’a aucune signification projective : sous ce rap-.

% port , elles marchent deux à deux ; chaque couple indiquant , par ses extrémités , les quatre angles du quadrilatère particulier auquel il correspond dans l’espace.

- Si on veut supposer, en outre, que les côtés de ce quadrilatère constituent quatre éléments linéaires d’une même surface gauche, puisqu’ils doivent se rencontrer aux extrémités des deux diagonales réelles , on voit qu’ils se diviseront toujours en deux couples de génératrices de système différent. Celte distinction essentielle une fois faite , il suffira , pour compléter la surface , de placer à volonté une troisième génératrice sur les deux éléments directeurs ; car , tout plan passant par cette droite , et par un point arbitrairement choisi sur une des diagonales , sera tangent à la surface , et viendra couper les deux autres génératrices en deux points , qui appartiendront au troisième élément du système directeur. Dès lors, en répétant la même opération un certain nombre de fois , il sera possible de terminer entièrement la surface ; et , par conséquent, d’obtenir ses deux traces par points, et son contour apparent par la succession de ses tangentes.

Dans cette épure dièdre, tout plan tangent coupera chacune des deux diagonales primitives en un point où viendront aussi concourir les deux intersections produites par lui sur les deux faces du tétraèdre particulier que le quadrilatère gauche détermine, et dont les deux diagonales réelles complètent les six arêtes : toutes opérations dont le tracé se trouve exclusivement linéaire, et qui s exécutent au moyen des données dièdres, telles que nous venons de les exposer plus haut.

Donc , quand on aura, sur un plan , six tangentes à une même courbe du second degré , en envisageant quatre d entre elles, comme formant la projection d’un quadrilatère gauche , la cinquième et la sixième devront être telles , que si l’on joint deux par deux leurs points d’appui sur le quadrilatère adopté, en ayant égard, pour

cela , au système particulier de génération auquel chaque côté doit appartenir, telles , disons-nous , que les quatre droites qui opéreront celte jonction puissent concourir par couple en un même point situé sur les diagonales réelles. Cette manière d’envisager le problème donue naissance à plusieurs solutions différentes ; on peut s’en rendre compte , comme il suit :

Six tangentes à une courbe du second ordre étant censées représenter, en projection dièdre, trois directrices i, 2 , 3, et trois génératrices i', 2 ', 3', si nous désignons chaque plan tangent à la surface par les deux éléments qu’il contient, trois de ces plans, tels que : u', 22 ', 33', ou bien i3', 22 ', 3i', etc. , se couperont suivant trois diagonales qui viendront séparément concourir en un point étranger à la surface, tandis que toute autre intersection ternaire, dans laquelle le même élément figurerait une seconde fois , aura nécessairement lieu sur la génératrice qui sera commune à deux des sections sur trois, et par conséquent sur la surface. On voit donc qu’il suffira de numéroter cinq tangentes données , de manière à les disposer en projection dièdre sur une même surface crauche , d’après le procédé indiqué ci-dessus, et qu’en satisfaisant à deux quelconques des intersections ternaires auxquelles la sixième tangente devra participer, il sera toujours possible de déterminer immédiatement celle-ci.

Dans cette épure, en donnant au quadrilatère toutes les formes dont il est susceptible, ce qui s’exécute par le changement de ses diagonales réelles , chacune de ces formes fournirait un tracé dillérent , au moyen duquel on parviendrait à la même solution, c’est-à-dire , à la même sixième génératrice , s’appuyant tantôt sur un couple , tantôt sur un autre, suivant la signification qu’il conviendra de donner aux quatre côtés du quadrilatère, en vertu du changement de forme que les divers couples de diagonales entraînent avec eux.

La propriété de l’hexagone circonscrit à une courbe du second ordre , qui consiste en ce que les trois diagonales centrales d’un pareil polygone concourent toujours en un même point, n’est qu’un cas particulier de cette solution générale. En effet . dans le quadrilatère gauche, PI. IV, fig. 4 , dont a * b et cd * sont les diagonales , si l’on prend cette dernière pour sécante commune , il est aisé de voir que le point o est celui où viennent se rencontrer les trois plans qui coupent séparément la sécante commune aux points c , e, d; et il est facile de reconnaître dans cette figure les trois directrices ac-, g* h et -bd, sur lesquelles s'appuient les trois génératrices ad 4 , m * n et *bc ; et , par conséquent, d’en conclure que ces lignes sont les six tangentes d’une même courbe du second ordre, qui forme le contour apparent de la surface qu’elles déterminent.

Cette propriété subsiste encore , quand deux côtés du quadrilatère se trouvent superposés l’un à l’autre, supposition qui ramène la figure à un pentagone ci rconcrit , et qui correspond au cas où les deux génératrices de système différent que ce côté représente se trouvent dans le même plan projetant. Comme le point qui leur est alors commun est, lui-même, un point de contact du contour apparent de la surface , c’est-à-dire , de la courbe à laquelle le pentagone est circoncrit, on voit qu’en profitant de l’intersection ternaire des diagonales centrales de l’hexagone que ce point complète, on pourra déterminer séparément le lieu de ce contact particulier sur chacune des cinq tangentes ; puisqu’il suffira de supposer que chacun des cinq côtés constitue successivement deux génératrices superposées , pour reproduire à chaque fois la forme hexagonale , et pour en déduire les principales lignes qui dérivent de cette forme, soit les six angles , et par conséquent les six diagonales qui la complètent.

L'interpolation par une courbe unique , telle que nous venons de l’exposer, cessant d’être applicable , quand les données du problème excèdent cinq points ou cinq tangentes, on sent que s’il s’agissait de prolonger une portion de courbe accidentellement donnée, il faudrait renoncer à ce mode d’interpolation qui ne permettrait de satisfaire rigoureusement qu’à cinq des points de la porlion proposée , et qui trahirait d’ailleurs l'imperfection du tracé, par le défaut de symétrie qui existerait nécessairement entre la portion raccordée et l’arc correspondant de la courbe du second ordre qui lui ferait face. Mais, si on ’ était certain d’avance, que la portion à prolonger se trouve elle-même «lu second ordre , ces difficultés disparaîtraient , et l’on devra alors y choisir cinq points, dont les deux extrêmes ferontnécessairementpartie,délerminerles deux tangentes à ces derniers , et terminer ensuite le tracé par le procédé que nous venons d’indiquer.

Quant à l’opération finale de toute interpolation , l’opération matérielle, celle qui consiste à réunir tous les points obtenus par un trait pur, continu, sans hésitations ni jarrets, exceptés dans les cas très-rares où l’on possède des instruments qui permettent d’exécuter le tracé demandé «l’une manière continue , le dessinateur se trouve forcé, pour y parvenir, de s’en rapporter uniquement à la fermeté de sa inain et à la justesse de son coup-d’ceil.