INTERPOLATION PAR UNE COURBE DE NATURE DÉTERMINÉE

Les problèmes d’interpolation , dans lesquels la nature de la courbe à tracer est déterminée d'avance , se résou- «lront sans difficulté, en faisant usage des résultats que nous fournissent les solutions précédentes.

Nous rappellerons ici que quatre points ne comportent que des hyperboles , toutes les fois que l’un des quatre se trouve compris dans l’intérieur du triangle formé par les trois au très. On obtiendra donc, dans ce cas, une quelconque

de ces courbes en complétant les cinq données requises par une tangente prise à volonté , suivant l’un quelconque des quatre points donnés. Cette tangente pourra parcourir tout le cadran , en donnant toujours lieu à une hyperbole. Le problème n’est donc indéterminé que dans ce qui concerne la forme hyperbolique ; et comme l’hyperbole se réduira à deux droites , quand la tangente passera par deux des points donnés , s’il sera facile de suivre les modifications hyperboliques produites dans la figure par les diverses inclinaisons de la même tangente.

Lorsque les quatre points formeront un quadrilatère à angles saillants , en le complétant aussi par une tangente , on obtiendra en général une ellipse , et , accidentellement deux paraboles, tant que la tangente ne pénétrerai pas dans l’intérieur du quadrilatère ; on produira une hyperbole dans le cas contraire.

D’après ces remarques , il sera facile de discuter le cas où les données se composeraient de trois points et une tangente : il suffira, en effet, de les compléter, soit par un quatrième point , soit par une deuxième tangente , pour se rendre compte de la nature de la courbe que ces données comportent.

Deux points et deux tangentes admetlentindifféremment les trois courbes. Il en est de. même de trois tangentes et un point, et de quatre tangentes. 11 n’y a d’exception que pour la parabole , qui se trouve impossible toutes les fois que deux des tangentes sont parallèles entre elles. Sans entrer dans des développements qu’on peut , moyennant ces explications préliminaires , regarder comme à peu près inutiles , nous allons traiter les seuls cas qui présentent quelque intérêt ; savoir : ceux où la courbe à tracer serait une parabole , et celui plus général qui constitue les courbes de raccordement.

Etant donnés, PI. IV, Jig. 5? les quatre points 1 , 2 , 3, construire la parabole qu’ils déterminent : ce pro-

blême n’est susceptible d’une solution linéaire que quand les points forment un trapèze ; traitons d’abord le cas

Nous regarderons ces quatre points comme appartenant à la trace d’un paraboloïde dont les limites se trouveraient parallèles , et qui , par conséquent, serait lui-même projeté sur un tableau parallèle à l’intersection commune de ses deux plans directeurs. On sait que , dans ce cas , la section (la trace) est parabolique , puisque la trace et la limite d’une même surface doivent toujours être de forme s 8 , et s‘. placée. Nous supposerons encore que les génératrices (i) et (2) passent par l’œil, ce qui fixera la direction de (3) et de (4) ; il ne restera donc qu’à déterminer les limites de ces deux dernières droites, de manière à ce que la ligne qui joint *2 à la limite de (4) soit parallèle à celle qui joint * i à la limite de (3), et de plus, à ce que ( 3 ) et ( 4 ) se coupent entre elles ; ce qui se réduit à obtenir un trapèze 1,2, a, ô, dont les diagonales i,iet2, a sont connues de direction , et dont la direction 3 , 4 du côté variable ab se trouve également connue : problème qui , d’après les propriétés générales du trapèze , revient à construire dans l’angle aob un triangle équivalent au triangle 102, au moyen d’une droite parallèle à 3 , 4 -

Sous cette forme , rien n’indique le chemin à suivre pour y parvenir; mais, si nous prenons pour asymptotes les deux diagonales 1 , 4 çt 2 , 3 prolongées, et si nous supposons que 1 , 2 soit une troisième tangente hyperbolique, on voit que notre problème revient d’abord à mener à la courbe ainsi déterminée une quatrième tangente parallèle à une direction donnée ; et enfin à chercher les points où le diamètre oh, conjugué à la corde asymptotique 3, 4 et qui joint le centre de cette corde à celui de la courbe situé en o , perce l’hyperbole.

On obtient ces deux points : i° par tâtonnement, en faisant mouvoir une règle graduée autour du centre g de

la tangente i, a ou du point g' qui lui est diamétralement opposé, les seuls qui soient connus , ou du moins accessibles dans la courbe , jusqu’à ce que l’égalité des segments compris entre chaque branche de la courbe et l’asymptote en regard , fasse connaître la position particulière de la corde mobile qui vient passer par le point i , commun à la fois à ce diamètre et à la courbe ; 2° rigoureusement par la droite et le cercle; on mène alors une circonférence qui passe par l’un des points connus gg' , et qui soit tangente aux deux asymptotes. On prend pour sécante commune la perpendiculaire à l’axe asymptotique menée par ce même point (soit la corde réelle commune au cercle et à l’hyperbole) ; et on exécute l’épure dièdre qui donne l'intersection du cône à base circulaire sur le tableau , celui dont les asymptotes forment le contour apparent, avec le diamètre oh ; ce dernier , situé sur le plan à section hyperbolique dont la sécante commune fournit alors la trace : épure qui , sauf le cercle de base du cône , se résout par de simples intersections linéaires. ( Voir cette solution , page 96. ) En appliquant aux données de la figure la première de ces deux solutions , on achèvera de déterminer le plan 34 *ab qui contient les génératrices 4 * b et 3 • a , et on aura en * a , h et * 1 , a les limites des deux plans directeurs de la surface. Menant alors (3) paire et (4) impaire, leurs limites se trouveront nécessairement en ‘ b' et * a' ; donc enfin, une parallèle à .ai', sera tangente en 3 à la courbe, comme une parallèle à * b al le serait en 4- L’on verra, ci-après, comment doit s’achever le tracé parabolique , quand il se trouve ramené aux éléments de description auxquels nous venons de parvenir.

Si l’on avait trois points et une tangente, en se rappelant que le point de contact 3 peut alors être considéré comme la réunion des deux points 3 et 4 , on ramènerait la solution de ce problème à celle de quatre points; la tangente donnerait la direction de la ligne qui joint 3 et 4.

INTERPOLATION GRAPHIQUE. t

Quand les quatre points donnés formeront un trapèze , PI. IV, fig. 6, la direction des limites parallèles de la surface sera immédiatement connue ; et il suffira de mener par i et 2 , une parallèle à la droite qui divise en parties égales les côtés parallèles i , a et 3, 4- Cette direction s’obtient au moyen des deux intersections e et s que déterminent les quatre points donnés, réunis deux à deux; nous pourrons , en conséquence , après avoir mené les deux limites de la surface parallèlement à es, tracer 6cs quatre génératrices 3 * b' , 4 * b , 4 * à et 3 * a.

Pour avoir dans cette figure, les tangentes extrêmes de 1 arc parabolique , il suffira de porter de b en h une distance égale à i , a' ; car la droite i » h située dans le plan i b*dli appartient a la surface; elle s’appuie sur les deux génératrices 4’ «' et i . i, et son plan de projection i h » i h est tangent à la surface au point i » , où les deux génératrices i * > et i • h qu’il contient ont leur trace commune. Une construction identique donnerait l’autre tangente. Il est encore plus simple de remarquer que ces deux lignes se coupent au point t, où elles rencontrent le diamètre et, conjugué à la corde qui soustend l’arc quelles embrassent.

Pour obtenir encore plus simplement ces tangentes, il faut mener les deux limites de la surface par les deux points intermédiaires 3 et 4 : ce sont alors les génératrices 3*3 et 4*4 fi 1 *! passent par l’ceil ; et le plan tangent au point 2 . devra contenir les génératrices a d et 2 * /. Sa limite * dl étant ainsi connue , sa trace sera nécessairement parallèle à cette direction.

Une construction analogue résout encore ce problème , quand les quatre points ne forment pas un trapèze; mais il faut préalablement, alors, trouver la direction des limites, comme nous l’avons indiqué, fig. 5. Cette direction une fois connue, on peut également les faire passer par les deux points intermédiaires 3 et cc qui

ramène le tracé à la forme particulière que nous venons d’indiquer.

On peut remarquer, en outre, que pour obtenir, dans cette dernière figure , la seconde parabole qui passe par les quatre points donnés, il suffira de numéroter ces points

dans un autre ordre [ so ' 1 l ' 2 ’ . En donnant les mêmes

( et 4, i, a, 3)

significations aux points qui portent un même numéro , ces deux notations conduiront séparément aux deux paraboles.

La forme trapézoïdale n’admet qu’une seule courbe, parce que la seconde se confond alors avec les deux côtés parallèles qui constituent le trapèze.

Quand on possédera deux taDgenles et leurs deux points de contact , ennous rapportant au tracé de la fig. 3, PI. IV, et en nous rappelant que nous sommes libres cette fois de placer à volonté la tangente mobile cd ; il est facile de reconnaître que tant que cette tangente variable coupera les deux côtés de l’angle, elle donnera naissance à une ellipse ; quelle produira une hyperbole, quand elle coupera les deux côtés de l’angle opposé au sommet ; et que ces deux courbes deviendront paraboliques , dès que la tangente passera à l’infini. Or, les transversales qui prennent leur origine au point variable o doivent , pour satisfaire à cette dernière condition , être menées parallèlement aux deux tangentes fixes (voir fig. 7 ), tout restant le même dans la figure ; tel est , en conséquence , le tracé linéaire que l’on doit adopter, en général, pour terminer la description de toute parabole dont on connaît deux tangentes et leurs deux points de contact. Nous allons, d’ailleurs, reprendre ci-après, sous le nom de courbes de raccordement , l’exposé plus, circonstancié de cette construction parabolique remarquable , en y joignant celle des autres courbes que ce genre de problème comporte.

Soient encore données les trois tangentes 1, 2, 3 , et le point de contact 3 ; si ce point se trouve situé sur le pro-

longeaient des côtes du triangle formé par les trois tangentes , il suffit , par les extrémités du côté en regard , de mener des parallèles aux deux derniers côtés ; la droite qui joindra leur point de rencontre au point 3 déterminera le point de contact parabolique du côté opposé.

Si le point est donné sur le périmètre du triangle oeô, fie. 7, on trouvera le second point de contact , en prenant de b en n une distance telle que le point b divise an en parties proportionnelles à celles que détermine de e en b le point de contact donné. Ce, dernier tracé est une conséquence de la proportionnalité des segments tangentiels à une môme parabole, propriété sur laquelle nous allons avoir occasion d’insister ci-après.

Soient données enfin , fig. 7 , les quatre tangentes 1 , 2, 3 , 4 j nous remarquerons que l’ensemble de quatre droites quelconques forme généralement une figure qui a reçu le nom de quadrilatère complet. Les six points d’intersection y sont distribués, trois à trois, sur chacune des droites , et ces points sont susceptibles d’être réunis-, deux à deux, par trois diagonales. Or, dans tout quadrilatère complet on trouve : un quadrilatère simple, fermé, à angles saillants aczd , et que nous nommerons elliptique, par opposition au quadrilatère simple et non fermé agzb , qui , dans la même figure , est susceptible d envelopper une parafée , et qui recevra , par la même raison , le nom de parabolique. Ces deux quadrilatères seront toujours faciles à discerner; car, parmi les trois diagonales dont nous venons de faire mention , deux ed et gb sont exclusivement, l’une elliptique, l’autre parabolique , et la troisième az appartient , à la fois, aux deux formes. Comme le quadrilatère elliptique sera toujours très-facile à reconnaître, vu qu’il est le seul qui présente un périmètre convexe, on en conclura, sans peine, au moyen des remarques précédentes , l’emplacement particulier des trois diagonales , et par conséquent , celui «les

quatre sommets, du quadrilatère parabolique ; et parmi reux-ci , il sera facile de discerner les trois sommets successifs b,z, g qui sont les seuls adjacents à la courbe. On en déduira , sans peine, quelles sont les tangentes dont les points de contact correspondent aux deux extrémités de l’arc parabolique embrassé par le quadrilatère.

Dès lors, les deux autres tangentes devront chacune couper les deux premières en parties réciproquement proportionnelles : ces parties étant mesurées entre les points de contact extrêmes m , n , et celui des quatre sommets a qui n’est point adjacent à la courbe; il suffit, en effet, de construire les deux parallélogrammes ao, ad dont chaque tangente intermédiaire constitue la diagonale, pour établir cette proportionnalité et pour revenir au tracé déjà indiqué de la fig. 7 ; la droite qui joindra les sommets libres de ces deux parallélogrammes , déterminera en m et n les deux points extrêmes du contact parabolique.

Nous venons de remarquer que l’ensemble de quatre droites détermine, sur un plan, ce que l’on appelle un quadrilatère complet , et que cette figure qui , dans sa forme la plus générale , présente six intersections réparties trois à trois sur chacune de ses lignes, admet, en outre, trois diagonales qui achèvent de réunir deux à deux ces mêmes intersections.

Elle jouit d’une propriété remarquable, et dont il est facile de tirer parti. Les centres des trois diagonales s’y trouvent constamment situés en ligne droite.

On peut en donner la démonstration suivante : si dans le quadrilatère corn plet abede , fig. 8, on considère les diagonales eb et de comme représentant des droites inverties en projection polaire, chaque couple de droites , ayant leur trace d’uri même côté , donnera naissance à un paraboloïde à contour apparent parabolique. Ces deux surfaces seront inverties, comme les directrices qui les déterminent; la trace de l’une sera superposée à la limite de l’autre,

et elles se couperont suivant la génératrice parallèle au tableau qui occupe en projection la position gh , et qui divise en deux parties égales les perspectives de toutes les directrices des deux surfaces. Si donc nous prolongeons cette ligne, elle viendra rencontrer les traces ad et en en deux points k et m , qui fourniront le centre des directrices inverties qui se projettent selon ces traces ; on obtiendra donc la grandeur entière de ces perspectives en portant de k en l la grandeur ak , et de m en n la grandeur am. Or, il est facile de voir que les points n et l appartiendront à la courbe parabolique qui doit former le contour apparent commun aux deux surfaces , et qu’ils seront précisément les points de contact des deux trace et limites qui se trouvent superposées suivant les lignes en et ad.

Nous savons ( voir la fig. i , PI. IV ) que la ligne <Jui joint ces deux points de contact doit venir passer par l’intersection f des deux droites bd et ec qui forment les diagonales du quadrilatère simple que les deux tangentes à contact connu déterminent sur les deux autres tangentes be et cd à contact encore indéterminé.

Donc les trois points n, l,f se trouveront en ligne droite; il sera dès lors facile d’en conclure le parallélisme de nf et de mg , et par suite , la division sous-double de la ligne n/'à son point de rencontre i avec la ligne gh.

Remarquons en passant, que ce parallélisme fournit un moyen immédiat et tout à fait simple, quatre tangentes à une parabole étant données , de trouver le point de contact qui correspond à deux de ces lignes.

Au moyen d’un quadrilatère complet, il devient possible en opérant sur le terrain avec de simples jalons, de prolonger un alignement donné au delà d’un obstacle qui ne permettrait pas de bornoyer dans sa direction : il suflira de disposer Je quadrilatère de façon à ce que deux des points de l’alignement donné occupent les centres de deux

JDiç

diagonales successives , et l’on trouvera au centre de la troisième un nouveau point de l’alignement cherché. Il est bien entendu qu’on choisira des données qui puissent permettre à la troisième diagonale de dépasser entièrement l’obstacle que l’on avait à franchir.

On peut encore, au moyen de la même figure, obtenir la grandeur d’une portion d’alignement inaccessible; il suffira de construire un quadrilatère, tel que l’alignement lui-même, à partir de l’extrémité inaccessible, étant pris pour diagonale , la moitié de sa grandeur totale puisse tomber sur sa partie accessible. Le point milieu de la diagonale s’obtiendra exactement au moyen de la droite qui joint le centre clés deux autres. Cette partie d’alignement, comprise comme diagonale dans le quadrilatère, se trouvera donc divisée en deux moitiés, l’une totalement accessible et mesurable, et l’autre composée d’une portion inaccessible et d’une portion accessible , et par conséquent mesurable à son tour ; soustrayant donc cette dernière de la moitié entièrement connue , le reste se trouvera nécessairement égal à la distance inacessible cherchée.

Sans doute ces deux tracés ne devront pas être adoptés de préférence dans tous les cas où l’on sera forcé de surmonter des difficultés du même genre ; mais on sait combien de pareilles solutions acquièrent d’importance, quand on se trouve accidentellement dépourvu des instruments spéciaux , au moyen desquels ou obtient la mesure des angles. D’ailleurs, après avoir si souvent insisté sur l’importance de la géométrie de la règle , nous devions donner un exemple de son application sur le terrain , et montrer comment elle peut concourir à la solution des problèmes de calcul qui dépendent de l’art du trait.

JN'ous ajouterons, toutefois, que pour faire usage d’un procédé graphique qui se fonde uniquement sur des intersections de lignes droites, il faut avoir bien soin de disposer les données de manière à obtenir un bon croi-

sèment , c'est-à-dire, défaire en sorte que les intersections ne se présentent pas sous des angles trop aigus ; sans cette précaution , les erreurs seraient presque inévitables, et l’on ne pourrait se fier aux résulta^ obtenus qu’après de minutieuses vérifications.

Les segments d’un quadrilatère complet ont entre eux des relations métriques qu’il est important de signaler dans un ouvrage qui traite du calcul par le trait, et que les considérations précédentes vont nous permettre d’exposer avec simplicité. Pilous venons de voir, fig. y, qu’un pareil quadrilatère enveloppe toujours une parabole déterminée, et que les quatre points de contact sont distribués de telle sorte que le point s, par exemple , divise la portion be , comme chacun de ses points d’attache b et e divisent eux-mémes les tangentes atn et an. En nous reportant encore à la surface dont cette parabole forme le contour apparent, et dont chaque tangente fournit par conséquent la perspective de deux génératrices superposées, et se croisant au point de contact, il est facile de reconnaître que la portion ba , système impair, comprise entre les génératrices paires be et ag) est divisée par la génératrice paire dg , comme celle-ci divise, au point £, la portion de génératrice impaire gz , qui lui est superposée, et qui se trouve également comprise entre les mêmes génératrices be et ag. On pourra donc écrire la proportion ba\bd\\zg\zt. Par une raison absolument semblable, et puisque t se trouve le point de rencontre de deux génératrices superposées de système différent, on aura aussi ae\eg\\dz\ zt; divisant ces deu^ proportions l’une par l’autre, il viendra : — ; — ;; — \ i , d’où l’on peut conclure immédiate eg dz

r .En mel-

tement la relation symétrique : — : — , . .

J 1 (la bd

tant ces deux proportions sous la forme : ba .eg .dz

= ae . bd . zg et ga . bd . ze = da . eg ,zb, on en peut con-

dure que si, dans le quadrilatère, l’on fait abstraction

des deux segments dg et ôe, et que l’on groupe autour

des deux segments bd et eg , les huit segments restants

pris deux à deux, en les choisissant de telle sorte que,

dans un même produit, les segments ne puissent s’abouter,

chaque groupe présentera les trois arêtes d’un parallélipi-

pède rectangle, lesquels seront équivalents deux par deux.

De plus , en divisant ces deux équations l’une par l’autre

ae.zg ba.dz . , , „ ,

on obtient: =-- -, relation dans laquelle les

ga . ze cia . zb

segments bd et ge ont à leur tour disparu. Enfin, on pourra compléter toutes les relations métriques que peut comporter cette figure, en faisant usage des points de contact t,s , m,n, et en la considérant alors comme donnant la perspective de huit génératrices d’un même paraboloïde à contour apparent parabolique. Nous allons démontrer que, pour cette surface, chaque système de génération est coupé en parties proportionnelles par sa rencontre avec un nombre quelconque des génératrices du système diflérent.