RACCORDEMENT PARABOLIQUE

Nous supposerons que la parabole cherchée est lecontour apparent d’un paraboloïde qui aurai tic plan du tableau pour plan directeur du système pair, et pour directrices impaires,

PI. IV,/%. 9, les droites b* a et a,c, dont la perspective se confond avec la direction des tangentes données. < Si nous coupons ces deux droites par une suite de plans parallèles au tableau , ils détermineront chacun , par leur intersection avec les directrices , une génératrice du système pair, et fourniront, par conséquent, une suite de nouvelles tangentes à la courbe cherchée. Mais tout plan parallèle au tableau coupe les perspectives de deux droites quelconques en parties proportionnelles à la longueur totale qui se trouve mesurée sur chacune d'elles entre la trace et la limite ; car trois plans parallèles coupent deux droites quelconques en parties proportionnelles , et cette relation ne cesse pas d’exister, quand on projette ces droites sur un des plans sécants. Nous n’aurons donc qu’à diviser une des droites ba en un nombre de parties égales quelconques , à projeter ces divisions sur ac , à les numéroter séparément sur chaque droite, en allant delà trace vers la limite; et toute ligne qui joindra deux numéros du

l5<> LE CALCUL PAR LE TRAIT,

même ordre , sera une nouvelle tangente à la parabole cherchée , puisque ce sera la projection d’une nouvelle génératrice de la surface. Le point de contact de chacune de ces tangentes se trouvera exactement au milieu de la distance interceptée par les deux tangentes qui la suivent et la précèdent immédiatement. C’est là une des conséquences forcées de l’égalité des divisions opérées sur les directrices b* a et a ,c -, car , il suit de cette égalité que toutes les autres directrices impaires doivent, à leur tour , se trouver divisées en parties égales , par 1 ensemble des génératrices parallèles au tableau , qui résultent de ce mode de description; mais, si l’on suit ces intersections ligne par ligne, on trouve nécessairement que la génératrice et la directrice qui se superposent suivant la tangente particulière que l’on considère , se coupent en un point que l’épure ne peut indiquer , car les deux droites se confondent en projection, mais qui n’en est pas moins déterminé, puisqu’il doit, comme tous les autres, diviser en parties égales l’espace compris entre l'intersection qui le précède et celle qui le suit immédiatement. Aussi, quand on tient compte de ce point , sur chacune des transversales , les trouve-t-on toutes divisées en autant de portions égales qu’on en a adopté sur chaque directrice a “b et c*d. Ces deux dernières sont tangentes à la courbe, par le même motif, l’une à son point trace b , c'est-à-dire, au point où elle est rencontrée par la génératrice qui lui est superposée, et qui constitue sur le tableau la trace du paraboloïde , et l’autre à son point limite * c , c’est-à-dire , au point où la parallèle au tableau qui lui est superposée , et qui sc trouve .à l’infini, soit la limite du paraboloïde, vient la rencontrer à son tour.

On prolonge la courbe et on la complète, au besoin, en ajoutant de nouvelles subdivisions égales sur chacune des droites ab , ne, soit dans le sens positif, soit dans le

sens négatif, en suivant Ja série îles numéros qui procès dent de la trace à la limite. La fig. 9 ne présente que les génératrices parallèles au tableau ; mais il est facile de trouver sur leur direction la trace et la limite de chacune des directrices superposée , car c’est l’ensemble de ces points qui constitue la trace et la limite de la surface elle-même.

Puisqu'une série de plans parallèles au tableau coupe les perspectives d’un faisceau de droites en parties proportionnelles, il s’ensuit que le plan qui passe par trois sommets successifs du polygone pp p'', etc., est coupé par le plan parallèle au tableau qui passe par le point intermédiaire p suivant une ligne qui vient rencontrer la droite pp" en son milieu, et qui divise nécessairement dans le même rapport la parallèle h pp" qui joint sur le tableau , les deux points de contact adjacents ; cette ligne , joignant ainsi le centre dune corde parabolique, au point de rencontre des tangentes qui proviennent des extrémités de l’arc soustendu , est an diamètre du contour apparent ; et puisque tous les diamètres d’une parabole sont parallèles, il s’ensuit que le plan qui passerait par p'p’p" aujrait encore sa trace parallèle à celle du plan précédent ; mais ces deux plans ont , par supposition , une ligne p'p" commune ; ils doivent donc se confondre entre eux dans l’espace; donc enfin, la courbe pp' p" p'" clc. sera plane.

Ce Sera encore une parabole : on démontre cette dernière circonstance , en remarquant que , dans cette figure, le plan sécant pp'p" a sa trace parallèle au diamètre parabolique du contour apparent; et que, par conséquent, il se trouve parallèle à l’intersection commune des deux plans directeurs de la surface ; circonstance qui suffit pour prouver qu’il la rencontre suivant une parabole.

RACCORDEMENTS HYPERBOLIQUES.

Si I on veut raccorder les deux alignements ab,ac par

un arc d’hyperbole, / 7 g . 10, il faut joindre par une droite ac les deux points de contact , mener à celle-ci deux parallèles quelconques équidistantes b'c' et b"c? ; mais telles , cependant, que l’une d'elles dépasse le point de rencontre a îles deux alignements, et achever le trapèze b'db"c" dont ces deux alignements forment les diagonales.

Dans ce trapèze, les lignes b'b" et c'c" seront les asymptotes de la courbe cherchée ; un couple quelconque de parallèles b"d et ce passant parles extrémités d’une même diagonale c'b" déterminera , par son intersection avec les asymptotes, une nouvelle tangente ed , dont le point de contact h sera situé au milieu de la corde asymptotique ed interceptée sur elle.

Cette construction se rattache également à une épure polaire : la figure présente un paraboloïde dont les deux traces linéaires ob" et oc' sont superposées aux deux limites ; il en résulte que les deux systèmes de génération se composent de lignes mutuellement inverties , et que par conséquent les points de contact de celles-ci sur le contour apparent s’y trouvent au centre de leurs perspectives. Pour déterminer une nouvelle génératrice, nous avons fait passer un plan c'e*b"d (deux parallèles) par la directrice c' * b " , et la ligne e * d , située dans ce plan , ayant sa limite en d et sa trace en e , et s’appuyant sur la directrice c'* b ' , s’est trouvée une génératrice de la surface ; elle a pour directrice invertie la ligne d* e.

Ce mode de raccordement hyperbolique a donc , comme le précédent, l’avantage* de fournir immédiatement , et la nouvelle tangente et son point de contact.

« RACCORDEMENTS ELLIPTIQUES.

Pour parvenir à la construction des deux courbes de raccordement indiquées ci-dessus , il faut nécessairement connaître le point où viennent concourir les deux alignements donnés; mais on conçoit qu’il peut se présenter

INTERPOLATION GRAPHIQUE. |5t)

une foule de circonstances pratiques dans lesquelles ce point se trouve ou tout à fait inaccessible, ou placé tellement en dehors de la surface partielle sur laquelle on opère, qu’il devienne impossible de songer à en tirer parti .

Soient donc ( PI. IV , fig. 3 ), les deux alignements mit et nd, dont on suppose le point de concours inaccessible, et qu’il s’agit de raccorder par une courbe tangente aux deux points m et n.

On mènera la ligne indéfinie mn , et, selon le sens où la courbe cherchée devra tourner sa convexité , on prendra, du même côté de mn , sur les deux alignements , quatre points a, c, b,d , formant un trapèze quelconque , assujetti seulement à avoir ses deux côtés a , c et b , d parallèles à mn. Cela fait , pour avoir une nouvelle tangente à la courbe cherchée , il suffira de mener, par un point quelconque o, situé entre met«, deux transversales qui viennent aboutir aux extrémités d’une des diagonales du trapèze, ces droites, prolongées, rencontreront les alignements primitifs en deux autres points c et J] qui appartiennent à une tangente et déterminent sa direction. Si l’on veut, en outre, obtenir son point de contact, on remarquera que les deux diagonales du trapèze font ellesmêmes partie des tangentes à la courbe de raccordement: elles correspondent à la portion d’ellipse qui est inutile à la solution du problème, et proviennent, comme cas particulier, de l’extension que reçoit le tracé, quand le point o sort des limites m et n pour parcourir le reste de la ligne. Nous posséderons en conséquence cinq tangentes. Or, nous avons vu que , dans le pentagone circonscrit quelles déterminent, il suffit de joindre par une droite le point de rencontre des diagonales extrêmes qui soustendent un même côté, à l’angle qui lui est opposé, pour obtenir , sur ce côté , le lieu de son point de contact.

Il résulte des considérations précédentes, que plus le trapèze se trouvera éloigné de la ligne mn , plus l’ellipse

Diai

décrite sera de forme allongée ; quand une des diagonales passera à l’infini , elle deviendra une parabole. On satisfait à ce changement dans les données, en menaut les deux transversales qui partent du point variable o , dans des directions constamment parallèles aux deux alignements ; c’est-à-dire, allant les rencontrer à l’infini. Nous avons déjà remarquéque ce tracé parabolique revient identiquement , quoique sous une forme plus générale , à celui qui fait le sujet du premier tracé de raccordement. On voit, à l’inspection de la figure, que les deux sommets variables qui, dans chaque parallélogramme, déterminent une tangente nouvelle , divisent toujours la portion des deux tangentes ou alignements primitifs qui se trouve comprise entre leur point de contact et le point de rencontre commune , en deux parties inversement proportionnelles. Or, c’est précisément sur cette dernière propriété que se fonde la construction précitée.

Le tracé, sous cette nouvelle forme, est susceptible d’être précisé de la manière suivante :

Si , par une succession de points pris sur le même côté d’un triangle , on mène des parallèles aux deux autres côtés , dans la série des parallélogrammes ainsi formés , la diagonale indépendante du point de départ enveloppera une parabole. Cette courbe sera tangente aux deux côtés directeurs; le troisième côté formant la corde qui joint leurs deux points de contact. De plus , chaque diagonale coupera ces deux mêmes côtés en parties inversement proportionnelles , et sera , elle-même, divisée par son propre point de contact dans le même rapport suivant lequel elle divise ces deux côtés.

On peut encore conclure de la solution précédente un autre tracé parabolique remarquable par sa simplicité, et susceptible de nombreuses applications.

Une ligne pq qui dans la fig. 7 diviserait en deux les génératrices qui forment les tangentes extrêmes, divisera

INTERPOLATION GRAPHIQUE. l6l

nécessairement toutes les autres dans le môme rapport ; on en conclut que sj , dans le plan d’un triangle déterminé par trois droites quelconques, on en fait mouvoir une quatrième, de manière à ce que le centre de sa partie interceptée entre deux côtés quelconques se trouve constamment placé sur le troisième , la droite mobile et les trois côtés du triangle seront à la fois tangents à une même parabole. Cette construction, nécessairement triple , donne naissance à trois courbes que l’on obtient ainsi séparément ; elles ont toutes un de leurs points de contact situé sur le milieu du côté triangulaire qu’on a choisi de préférence comme lieu des centres du système de génération correspondant.

RACCORDEMENTS CIRCULAIRES.

Quoiqu’il n’y ait rien de plus simple en apparence que de tracer un raccordement circulaire, il arrive, le plus souvent , que cette opération , quand on veut l’exécuter sur le terrain , y perd tous les avantages quelle présente sur le papier. Comme la facilité de description circulaire lient exclusivement à l’usage des compas , elle disparait entièrement dès qu’on ne peut plus avoir recours aux grands instruments de ce genre, savoir : le compas à verge ou celui à cordeau , au moyen des quels on obtient le tracé circulaire d’un mouvement continu ; et c’est ce qui arrive toutes les foi6 que le rayon du cercle à décrire excède 3 o à 40 mètres. Un cercle de cette dimension devient aussi difficile à décrire qu’une autre courbe du second ordre ; en ne peut également parvenir à son tracé que par interpolation.

Pour raccorder deux alignements par un arc de cercle à grand rayon, on rapporte «à l’une des origines b de la courbe (PI. IV, fig. il), naturellement à celle de départ, une ligne bn parallèle au deuxième alignement ; on a ainsi en abc le supplément de l’angle à raccorder;

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162 LE CALCUL PAR LE TR Ail*.

et , si l’on construit un arc de cercle qui mesure l’cuvcrture de cet angle , les tangentes extrêmes à cet arc formeront entre elles un angle dej égal à celui des alignements primitifs. L’arc lui-même constitue donc le raccordement circulaire cherché, exécuté sur une petite échelle ; et le rapport linéaire des deux figures se trouve donné par celui qui existe entre la corde fd et son homologue sur le terrain. On sera donc maître de choisir ce rapport à volonté, en faisant varier convenablement le rayon du cercle arbitraire.

Supposons, maintenant, qu’on divise cet arc en un certain nombre in de parties égales, et qu’on lui circonscrive un polygone dont chaque côté ait son point de tangence correspondant à une des subdivisions paires, les angles extérieurs de ce polygone seront constants , et les côtés en seront égaux , excepté le premier et le dernier qui seront moitié des autres. En mesurant à l’échelle un des côtés, on aura par comparaison la grandeur réelle du côté correspondant sur le terrain ; et , si l’on rapporte cette grandeur sur les deux côtés de l’angle mon , on obtiendra la corde réelle mn qu| soustend l’angle extérieur du polygone à construire.

Ces éléments une fois connus , on prend sur bd une grandeur égale à un demi-côté , ce qui détermine en g le premier sommet polygonal ; on prolonge cette grandeur du double , et avec cette seconde partie pour rayon , et de g comme centre , on décrit l’arc ch sur lequel on porte la corde mn qui détermine en h un second sommet du polygone, et par conséquent son deuxième côté; on prolonge encore celui-ci d’une quantité égale à lui-même ; et parune opération absolument identique on arrive ainsi à tracer le polygone tout entier.

En exécutant un pareil tracé, il est rare que l’on arrive du premier coup à une coïncidence parfaite ; mais il est facile de se corriger par tâtonnement , en altérant

INTERPOLATION GRAPHIQUE. l63

d’une manière légère les dimensions des angles et des côtés de la dernière portion du polygone. Cette altération , pourvu quelle n’admette pas des transitions trop brusques, ne sera pas sensible à l'œil. On opère le tracé final en réunissant par une courbe les milieux de tous les côtés du polygone, et rien ne s’oppose à ce que cette dernière opération soit exécutée paraboliquement.

Ce tracé polygonal peut d’ailleurs , vu son extrême simplicité, être confié à des manœuvres doués de quelque intelligence ; on pourra donc le leur faire reprendre et vérifier sans inconvénient , la perte de temps qui pourra en résulter n’ayant pas, sur un grand chantier, une importance appréciable.

A ce tracé régulier, correspond un tracé arbitraire - dans lequel , tout en suivant le même principe de description, l’ingénieur se donne à volonté, et sans figure préalable , tant les côtés que les angles extérieurs du polygone qu’il se propose de construire ; et pourvu qu’il en ménage les variations avec intelligence, en les soumettant à une certaine loi de continuité, il parvient à décrire sur le terrain des courbes qui satisfont l’œil presque aussi bien que celles qui sont le produit des tracés rigoureux.

Les raccordements circulaires sont spécialement appliqués au tracé des chemins de fer; on les y emploie de préférence , vu que la grandeur du rayon de courbure élant une des conditions impérieuses du tracé, ce rayon n’a besoin que d’être vérifié une fois pour toutes, quand il s’agit du cercle ; tandis que si l’on employait une autre courbe du second degré, outre les difficultés matérielles du tracé, il serait encore nécessaire de s’assurer que, parmi tous les rayons de courbure de l’arc de raccordement, il n’en est aucun d’inférieur aux conditions de grandeur requise.

Quand on peut apercevoir les deux extrémités de la

corde qui réunit les points que l’on veut raccorder circulairement , on peut aussi , pour tracer l’arc de cercle, se servir de la propriété des angles qui ont leurs sommets situés sur la circonférence : on sait qu’un angle constant, dont le sommet varie de manière à ce que ses côtés passent toujours par les extrémités d’une même corde, a pour mesure constante la moitié de l’arc que cette corde soustend : il s’ensuit que son sommet parcourt dans ce mouvement le double de l’arc supplémentaire. Il ne reste donc plus qu’à déterminer l’ouverture de l’angle mobile , de façon à ce que l’arc parcouru soit tangent aux deux alignements qu’on veut raccorder. Or, cet angle est celui que la corde de contact fait des deux côtés avec la portion des alignements à raccorder ; et pour que le cercle soit possible , il faut que ces deux angles soient égaux.

C’est ordinairement au moyen des alidades d’un graphomètre que l’on exécute cette opération ; les alidades sont d’abord fixées de manière à former entre elles l’angle constant , et l’on place l’instrument, à chaque station, de manière à ce que les deux rayons visuels qu’elles déterminent passeut par les deux points du raccordement donnés ; à chaque position de l’instrument correspond un point du cercle. Une fausse équerre atteindrait le meme but.

Avant de terminer cette partie , nous avons à exposer la méthode par laquelle se résolvent au moyen , d’une courbe unique les problèmes d’interpolation , que nous avons réservés en commençant ; elle dépend de la projection dièdre, et s’y rattache par les considérations suivantes : l’intersection de deux plans qui coupent à la fois une môme surface du second ordre étant prise pour sécante commune , conserve par rapport à ces courbes toutes les propriétés qui dérivent de cette supposition , soit que par le fait cette ligne forme la corde qui leur est commune, soit qu’elle se trouve située tout entière en

' , INTERPOLATION GRAPHIQUE. l65

dehors des deux périmètres; auquel cas, les courbes n’ont entre elles aucun point de commun.

-Ainsi, par exemple, deux tangentes émanant d’un même point de la sécante , et aboutissant h chacune des courbes séparément, appartiennent au plan tangent à l’une des deux surfaces coniques que ces courbes déterminent ; et par conséquent , la droite qui joint les deux points de contact est une génératrice de cette dernière surface , et passe par son sommet. En projection , ce sommet dévient le point d’où l’on peut mener, à la fois, deux tangentes communes aux deux courbes primitives , ces deux tangentes figurant le contour apparent conique correspondant; il faut donc qu'elles soient disposées de manière à ce que la surface conique puisse contenir à la fois les deux courbes données, ce qui exclut comme sommet ceux des points suivant lesquels se rencontrent les quatre tangentes communes à deux courbes du second ordre qui ne satisfont pas à cette condition. Ces relations font connaître la sécante par le sommet; et réciproquement.

Or, si dans les deux courbes ainsi liées il se trouve un cercle, rien ne sera si facile que de transporter sur le plan-du cercle toutes les opérations qui seraient données à exécuter sur le plan de la courbe non-circulaire; car il suffira de projeter polairement l’une des figures sur le plan de l’autre , en prenant pour pôle le sommet du cône qui les contient toutes deux. C’est ce que nous avons déjà exécuté PI. JII , fig. 6, dans laquelle il s’agit de trouver 1 intersection d’une hyperbole avec une droite. Nous nous contenterons <le donner un second exemple de l’application de celte méthode aux problèmes d’interpolation qui ne sont pas susceptibles d’une solution linéaire, pour en bien faire apprécier l’esprit, et pour en signaler toute la généralité.

Soit proposé de faire passer une courbe du secontf

ordre par trois points donnés abc , PI. Y,/ig ■ i , de telle sorte que cette courbe se trouve tangente en même temps à deux lignes quelconques om et on.

Nous pourrons toujours , par l’un de ces points a, faire passer un cercle amn qui touche à la fois les deux droites données , et regarder alors ce cercle comme la base d’un cône dont les deux tangentes figureraient le contour apparent en projection sur Je tableau ; le sommet de la surface correspondant ainsi au point o, où les deux tangentes se rencontrent. Si nous regardons alors les deux autres points b e te, comme situés sur ce même cône , il est clair que le plan sécant qu’ils déterminent avec le point a donnera naissance à une intersection conique qui se confondra avec la courbe cherchée. Remarquons en outre que , par le choix de ces données premières , on reconnaîtra si le problème proposé se trouve susceptible de solution. Admettons, par exemple, qu’un des trois points soit situé en dehors de l’espace angulaire , suivant lequel les deux nappes de la surface conique se projettent , et il deviendra impossible de satisfaire à cette disposition particulière des données , par cela seul qu’il serait impossible de disposer entre les tangentes une surface conique , telle que les trois points puissent s’y projeter à la fois. Contrairement, donc , à ce que nous avons vu jusqu’ici , il existe des cas où l’on ne saurait satisfaire à ces cinq données. Moyennant ce tracé préliminaire on pourra , quand ces cas se présenteront, s’en rendre compte à priori.

Les trois points abc correspondent à trois droites passant par l’œil; ces droiïes déterminent réellement six points de la surface. Elles la coupent une première fois, selon sa partie vue , et une seconde fois , dans sa partie postérieure au contour apparent. Mais , comme on peut se donner le sens dans lequel sc présente le cercle de base , par rapport à ces deux parties , ce qui s'effectue

INTERPOLATION GRAPB1QUI. I (>7

en ponctuant l’arc postérieur, ces six points se réduisent à cinq, puisque le point a se trouve alors tout à fait connu de position. Les quatre autres seront £ 4 , c<-, les grandes lettres de chaque couple indiquant le point antérieur; cinq points, combinés trois à trois , correspondent à quatre plans que nous désignerons par les triangles d’où ils dérivent , savoir : abc , ah c , a t c , a ‘ * , et ceuxci se projetteront couiquernent , à partir du point o , en ab'd , ab'd , ab’c', a 4 '*'. Les lettres ponctuées correspondent ici à la projection conique des quatre droites . dont la perspective se superpose en bc ; par conséquent, si l’on prolonge cette dernière ligne, les divers points dejg où elle viendra rencontrer chacune des projections , seront les traces des quatre droites quelle projette; il suffira donc de les joindre au point a , pour avoir les traces des quatre plans suivant lesquels nous avons à couper la surface, ou les quatre sécantes réelles communes au cercle de base et aux diverses courbes de section que nous avons à décrire , chaque sécante déterminant sur le cercle un quatrième point de la courbe particulière à laquelle elle correspond.

Pour trouver les points de contact de ces diverses courbes avec le contour apparent conique, par l’une quelconque on , des génératrices qui le constituent , et par le point a, on fera passer un plan; sa trace an coupera chacune des quatre projections de 4c en 1 , 2 , 3, 4; el en joignant ces divers points au sommet du cène , on obtiendra l'intersection du plan oan avec chacune des quatre droites, dont bc se trouve la perspecti ve. Donc enfin, en joignant au point a,. chacun de ces derniers points c', c’, C 3 , c 4 , on aura dans le plan oan quatre droites qui appartiendront séparément à l’un des plans sécants , et qui , prolongées , viendront rencontrer la génératrice on aux quatre points n', n 3 , » 4 , où elle est coupée par

ces divers plans ; c’est-à-dire, aux quatre points où les

courbes de section lui seront tangentes. Une opération 1 semblable conduirait au même résultat sur la génératrice o m. C’est d’ailleurs le procédé général pour obtenir la courbe par points , en l’appliquant à une génératrice quelconque.

Il serait tout aussi facile de déterminer une tangente à la courbe suivant un de ses points ; ainsi , soit donné le point b , on mènera la trace du plan tangent au cône , suivant la génératrice ob ; cette trace qui passe par 4', viendra rencontrer en h la sécante commune du plan abc-,' joignant ce point à b , on aura dans ce plan la tangente hb cherchée, et ainsi de suite, pour les autres points, selon le plan auquel ils appartiendront.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur cette figure : il est bien clair que du moment où nous avons pu transporter les données du problème sur un plan et sur un cône, la difficulté ne consiste plus qu’à compléter l’intersection de ces deux surfaces. L’on voit qu’on y parvient sans peine, par une seule projection; et que, sauf le cercle de base, tout le reste de l’épure s’opère alors linéairement.

Quant à la généralité de la méthode, il semble que les résultats la signalent suffisamment , puisque ce n’est pas une simple courbe à laquelle nous avons été. conduit, mais bien aux quatre courbes différentes que comportait le problème que nous avions à résoudre. Pour éviter une trop grande confusion de lignes, nous n’en avons tracé que deux ; mais il est bien facile d'en conclure le moyen d’obtenir les deux autres.

On comprend aussi .que tout ce qui se trouverait proposé , par rapport à l’une quelconque des quatre courbes , pourrait se ramener à un problème de même genre , dans lequel la courbe se trouverait remplacée par le cercle de base du cône , et cela , par une projection identique à celle au moyen de laquelle nous avons lié les cordes de

INTERPOLATION GRAPHIQUE. 1 6 g

ce cercle aux diverses lignes dont elles se trouvent la projection conique, quand on prend pour pôle le sommet o.