INTERPOLATION PAR UNE SUCCESSION D'ARCS DE MÊME NATURE

Quand le hombre de points par lesquels on a à faire passer une courbe excède cinq, nous avons déjà remarqué qu’on devait, en général, renoncer à satisfaire par une courbe unique aux conditions du problème , et qu’il fallait y suppléer par une suite d’arcs de courbe semblables. Ces arcs on les choisit de manière à ce qu’ils se succèdent sans jarrets, c’est-à-dire, en leur conservant toujours une tangente commune à chaque point où s’opère la rencontre de deux arcs successifs. Une autre condition essentielle à remplir, c’est que la courbure ne soit pas trop-disparate en passant d’un arc à l’autre.

Le cercle et la parabole sont les deux seules courbes que l’on emploie à ce genre d’interpolation. Ce choix a été déterminé tant par la facilité de description que ces deux courbes comportent , que par la variété de courbure que • l’on peut en obtenir au moyen de simples modifications dans leurs données.

Pour interpoler par arcs de cercles, on fait passer un premier arc par les trois premiers points donnés ; on détermine la tangente au troisième pqint, et on assujettit l’arc de cercle suivant à passer par le quatrième ê% le troisième point, et à avoir, selon ce dernier, une tangente commune avec l’arc précédent. Les arcs suivants se déterminent par les mêmes conditions que le second. L’on produit ainsi un assemblage d’arcs qui représente assez bien la courbe cherchée. Plus les cercles se rapprochent du cercle osculateur qui dérive du point auquel ils correspondent sur cette courbe , et plus elle se trouve représentée avec exactitude.

Cette méthode est assez simple pour nous dispenser

d’insister sur le procédé général qui en est la conséquence; nous nous arrêterons seulement à développer un des cas particuliers qu’elle présente, et qui se rapporte à la construction des voûtes dites en anses de panier.

Quand la montée d’une voûte doit être moindre que sa demi-largeur , ce qui paraît d'abord le plus simple est de soumettre son tracé à la forme elliptique. Mais les difficultés pratiques que semblent présenter tant le tracé linéaire d’un cintre elliptique, que celui de ses plans de joints , qui doivent tous être normaux à la courbe , font que presque toujours on substitue à l’ellipse une suite d’arcs de cercles tangents, c’est-à-dire, qu’on parvient au tracé de l’arche par l’interpolation circulaire. Nous allons voir bientôt que ces difficultés n’ont rien de bien réel, et qu’il est presque aussi facile de tracer une ellipse et ses normales , que de déterminer une anse de panier «à plusieurs centres. Comme dans les conditions de ce problème, il y a quatre données invariables, savoir: les deux points qui correspondent à la naissance de la voûte et à son sommet , plus les deux tangentes en ces deux points, l’une verticale et l’autre horizontale, il faut au moins <leux arcs decercle pour satisfaire aux conditions du tracé. On peut encore , comme nous allons le voir bientôt, insérer un plus grand nombre d’arcs dans le même intervalle ; on a distingué les courbes qui en résultent parde nombre d’arcs ou plutôt par celui de centres qu’elles comportent.

Anses de panier à trois centres. — Quand on veut parvenir de la naissance à la montée d’une voûte , au moyen de deux arcs seulement, PI. Y,/ig. 2, on décrit un quart de cercle, ayant la demi-ouverture de l’arche pour rayon , on partage cet arc en trois parties égales ; par la division a , la plus voisine du sommet , on mène le rayon ao , et les cordes ab , ac qui y aboutissent; on projette sur la grande corde la dilïérence bd du rayon à la montée parai-

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lèment à la petite, et le point g qui , dans cette projection , correspond à la montée est celui de jonction des deux arcs de cercle cherchés. Leur centre s’obtient immédiatement en projetant à la fois le point g parallèlement au rayon ao : 1 ° sur le diamètre de l'arche, a" sur le prolongement de sa ligne de montée. L’égalité des angles aob et go b démontre que les deux arcs comprennent l’un 6o° et l’autre 30°, de sorte qu’en terminant le cintre , il se trouve réellement composé de trois arcs d’un même nombre de degrés. De là le nom d’anse de panier à trois centres sous lequel cette espèce de courbe est connue.

On aurait pu choisir pour lieu de jonction des deux arcs un autre point quelconque ; mais on voit bientôt que si le point choisi était tel que sa tangente passât par le point d de montée, cette tangente constituerait elle-même le second arc, et que , par conséquent, ce tracé et ceux qui en seraient les plus voisins se trouveraient défectueux par l’énorme diflérence de courbure qui présenteraient les deux arcs successifs. Aussi c’est «à balancer convenablement cette différence que consiste tout le mérite d’un pareil tracé : celui que nous venons d’exposer y arrive en faisant les arcs d’un même nombre de degrés ; mais la diflérence des deux courbures ne laisse pas encore que d’être assez sensible à l’œil.

On parvient à réduire cette difficulté en augmentant le nombre d’arcs à interpoler entre la naissance et la montée.

Anses de panier à cinq centres. — Cette construction y procède par trois arcs : sur la demi-ouverture on trace encore un quart de cercle , meme fig. a, que l’on divise cette fois en cinq parties égales; on mène les rayons impairs à partir du sommet, et les trois cordes qui soustendenL les arcs correspondants; parmi ces cordes, une seule e/’est invariable de position, la seconde ô/idoitêtre transportée parallèlement à partir du point d\ la troisième seule hf\ tout

en conservant son parallélisme, peut prendre les positions diverses f'f'f", etc. Si nous cherchons le centre qui correspond à f", nous le trouvons en s , point où la perpendiculaire abaissée sur le milieu de la corde rencontre le rayon ho prolongé ; et si nous joignons ce point au point de rencontrer des deux autres cordes, nous aurons une ligne qui sera le lieu. des centres des arcs intermédiaires, en prenant dans celte figure celui qui divise la portion te aux trois septièmes , on satisfait assez bien aux conditions d’un tracé régulier.

Anses de panier à sept centres. — Après avoir tracé le qiiart de cercle comme dans le problème précédent, fig. 3, on le divisera en sept parties; et, par les divisions impaires, à partir du sommet, on mènera les trois rayons correspondants , et les quatre cordes qui aboutissent à leur extrémité. De ces quatre cordes , quand on passe à l’anse de panier, l’une est toujours invariable ; c’est celle qui aboutit aux naissances ; une autre ad , celle qui correspond à la montée , estconnue de direction et de position. Il reste à disposer convenablement les deux intermédiaires, qui , tout en gardant leur parallélisme, peuvent chacune occuper une foule dépositions différentes. Il s’agit de les projeter sur Iri courbe nouvelle (nous nous servons du mot de projeter qui n’est pas rigoureusement exact , puisque les lignes qui opèrent cette espèce de projection ne sont pas parallèles ) , de manière à ce que le cintre qui doit en résulter soit le plus agréable à l’œil possible : on obtient ce résultat en faisant coïncider les deux premiers points de rencontre a et b des cordes variables avec* l’ellipse qui satisferait aux conditions du problème. Nous allons donner , ci-après, un moyen trèssimple d’obtenir le tracé de celle ellipse.

Les auteurs qui se sont occupés des anses de panier à plusieurs centres, ont donné des procédés graphiques et des tables arithmétiques pour en déterminer facilement les

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rayons , dans le cas d’un nombre d’arcs plus considérable que sept ; quanta nous, en fournissant ci-après les moyens de faire coïncider la succession des arcs soit avec une demiellipse, soit avec une demi-parabole, selon que l’on voudra obtenir un débouché plus ou moins considérable, nous croyons avoir satisfait à toutes les exigeances réelles d’un pareil tracé. Il n’est pas d’ingénieur, ayant exécuté de grandes courbes , qui ne sache combien sont vaines toutes les précautions que l’on peut prendre, avant le décintrement d’une voûte, pour en assurer la régularité mathématique ; et il n’en est pas un, sans doute, qui ne se soit aperçu qu’au delà d'un certain degré d’exactitude , dont les limites sont d’ailleurs assez larges, l’œil le plus exercé ne saurait apprécier les défauts île courbure qui sont la suite inévitable d’un décintrement opéré sur des arcs à grande portée. Puisqu’il y a toujours une dernière opération dont on ne saurait prévoir l 'effet, il peut sembler assez inutile de viser à une exactitude que cette dernière opération doit nécessairement vicier, et que d’ailleurs les exigences de l’œil ne justifient pas d’une manière suffisante.

Après avoir traité de /interpolation par une suite d’arcs de cercle , il nous reste à parler de celle qui a lieu patune suite d’arcs de parabole. Cette dernière courbe pouvant comprendre dans chacun de scs arcs un point de plus que le cercle, se prête bien mieux à suivre les formes sinueuses qu’il s’agit de représenter. Le système à suivre est, d’ailleurs , absolument le même dans l’un et l’autre cas, sauf la quantité de points embrassés par l’une ou l’autre courbe.

Ainsi , par les quatre premiers points donnés on fait passer un arc de parabole, dont on détermine seulement les tangentes extrêmes ; par 4, 5 et 6 on fait passer ensuite un second arc avec la condition d’avoir, selon le point 4, une tangente commune avec le précédent , et l’on détermine

également la tangente extrême qui correspond à 6 ( voir la solution de ces problèmes , page i45 ). Les arcs subséquents sont déterminés par des conditions analogues. Cette construction préparatoire exécutée , il ne reste plus qu’à tracer définitivement chaque arc en particulier ; et ceux-ci étant donnés chacun par deux tangentes et leur point de contact, sont tous susceptibles d’une même description parabolique : celle par les tangentes enveloppes que nous avons indiquée à la section des raccordements.

Quand les quatre données qui déterminent un arc, k se refuseront au tracé parabolique, ce qui arrivera, comme nous l’avons déjà remarqué , toutes les fois qu’un des quatre points sera compris dans l’intérieur du triangle formé par les trois autres , ou quand la tangente passant par l’un des points coupera la corde qui en réunit deux autres, il suffira de réduire d’une unité le nombre des points compris dans cet arc pour que le tracé redevienne possible ; l’on reprendra les quatre données dès que la disposition des points le permettra de nouveau. Ces cas exceptionnels ne se présentent , d’ailleurs, que rarement ; ils indiquent presque toujours entre eux un point singulier soit d’inflexion , soit de rebroussement.

Les ingénieurs , dans les études qu’ils font des tracés de route, en pays de montagne , mettent en usage et emploient pour ainsi dire simultanément les procédés d’interpolation par arcs de cercle et par arcs de parabole.

Pour faire franchir la crête d'une montagne à la ligne de communication que l’on projette , il faut d’abord chercher sur le terrain , au moyen du niveau de pente , une succession de points isolés appartenant à la courbe de pente égale qui s’applique sur le revers qu’on se propose de parcourir. Ces points déterminés et piquetés, on en lève le plan ; et une fois qu’ils sont rapportés sur le papier, on opère entre eux une interpolation graphique par arcs de cercle tangents ; on parvient ainsi , quelles que soient les

variations accidentelles du terrain, adonner à la ligne de pente égale , ou , pour mieux dire , h la suite d’arcs qu’on lui substitue (les parties d’alignements rectilignes pouvant être considérées comme des cercles d’un rayon infini ) , une courbure régulière à l’œil , et s’écartant le moins possible de la ligne de descente égale, qui donnerait les moindres déblais si on pouvait constamment la suivre sur toute la longueur du parcours.

Mais , quand il s agit ensuite d’en venir à l’application , cette interpolation opérée dans le cabinet par arcs de cercle, se traduit presque toujours sur le terrain par des arcs de parabole; et cela, parce que, dans le cabinet et sur le papier, comme nous avons déjà eu lieu de le remarquer , la première méthode est la plus facile à exécuter , car elle n’exige que l’emploi de la règle et du compas ; et que sur le terrain, la seconde reprend à son tour l’avantage. On peut l’exécuter, en ellèt, au moyen d’une chaîne et de quelques jalons , tandis que dans les mêmes circonstances on ne pourrait parvenir à tracer une suite *.#. d’arcs de cercle tangents , sans être obligé de mettre en œuvre des instruments destinés à la mesure des angles , instruments qu’on n’a pas toujours sous la main et qui ne peuvent être confiés à tout le monde, ce qui ne permet pas de familiariser les ouvriers avec les tracés qui en dépendent.

Nous devons remarquer encore que , pour simplifier cette interpolation parabolique, l’ingénieué se contente de placer à l’œil les deux tangentes extrêmes qui embrassent chaque arc en particulier , et que le procédé se réduit seulement alors à mener des transversales qui coupent ces tangentes en parties inversement proportionnelles, et se borne , par conséquent , à la dernière portion du tracé régulier d’interpolation parabolique que nous avons rappelé ci-dessus.

Nous venons de signaler une nouvelle circonstance dans

laquelle on s’en rapporte à l'œil , pour obtenir quelquesunes «les tlonnées indispensables à l’interpolation graphique; loin de se trouver les seules dans lesquelles l’œil soit pris enquebjue sorte pour unique juge de l’exactitude d’un tracé, elles appartiennent à une dernière méthode d’interpolation qu’on pourrait appeler arbitraire; et qui consiste àfaire passer à la fois , par tous les points donnés, une ligne courbe que le dessinateur trace à volonté, soit en se confiant à la sûreté de sa main et à la justesse de son coup d’œil , soit en employant pour auxiliaire une règle courbe, disposée de manière à présenter dans son contour les différentes espèces «le courbures les plus usitées , et sur laquelle il cherche , à vue d’œil et par tâtonnement , les parties qui correspondent le mieux aux points successifs qu’il veut réunir par interpolation. Si la règle courbe présentait une forme demi-parabolique, cette interpolation toute mécanique se rapprocherait, comme on voit, de l’interpolation rigoureuse que nous avons donnée ci-dessus.

11 ne faut pas croire que ce dernier procédé, tout inexact qu’il paraisse, soit de nature à donner des résultats dont on ne puisse tirer parti : il est telle circonstance où l’on ne saurait même en employer d’autres, à moins d’y consacrer un temps trop considérable.

Nous avons eu lieu «l’en faire une application assez concluante : il s’agissait de réduire aux dimensions métriques une table à deux entrées, qui avaient été calculées en pieds , pouces et lignes. Pour y parvenir par la méthode la plus simple, nous avons d’abord traduit cette table graphiquement , et elle nous a donné une suite de points isolés que nous avons réunis par une série de courbes successives tracées par la méthode arbitraire ; ces courbes une fois arrêtées , il nous a suffi de superposer aux coordonnées duodécimales des abscisses et des ordonnées métriques de grandeurs relatives, pour avoir à la fois, par les abscisses, les nouvelles entrées , et par les Ordonnées

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les résultats correspondants de la table que nous voulions transformer.

Il est un autre service important que rend encore l’interpolation graphique, et que nous ne pouvons passer sous silence ; elle offre un moyen général d’obtenir approximativement la solution des problèmes , par la méthode dite de fausse position.

En appliquant un tracé soit régulier, soit arbitraire , à la construction des courbes d’erreurs qui résultent d’une ' suite de valeurs approchées que l’on donne successivement à l’inconnue , on parvient à trouver parmi ces valeurs approximatives celle qui rend l’erreur nulle , et satisfait par conséquent aux conditions du problème. Nous aurons occasion dans la partie suivante de donner quelques exemples de ce procédé ; ce sera la meilleure explication que nous puissions en fournir. Ici les valeurs arbitraires constituent l’argument ; et la fonction est l’erreur en plus ou en moins que l’on commet en substituant une de ces valeurs arbitraires au lieu de la valeur réelle que l’on veut déterminer.