ARCHES A CINTRES ELLIPTIQUES ET PARABOLIQUES

Nous avons fait pressentir qu’un des motifs allégués pour l’adoption des arches à interpolation circulaire , celui de la difficulté du tracé d’un cintre elliptique et de ses normales , était dénué de fondement réel. Nous allons le démontrer d’une manière complète, en donnant un moyen extrêmement simple d’obtenir cette dernière espèce de courbe.

Soit ab, PI. Y ,fig. 4, l’ouverture d’une arche et oc sa montée, on demande le tracé du cintre elliptique qui correspond à ces données. Construisons sur ab le demi-cercle abd , et supposons que ce demi-cercle en tournant autour de ab, pour passer de sa position primitive à la position verticale , celle dont ab lui-méme serait la projection, ait engendré un quart de sphère. Dans ce mouvement, il y aura une . n

1^8 LE CALCUL PAn I.E TRAIT.

des positions intermédiaires telle qne le point d se projettera en c , et par conséquent dans laquelle la projection du cercle mobile se confondra avec le cintre elliptique que nous cherchons. Chaque point de l’ellipse et chacune de ses tangentes pourront donc être considérés comme les projections d’autant de points et de tangentes appartenant au cercle générateur relevé suivant un certain angle ; et il suffira de connaître les relations qui lient les points et les lignes homologues qui correspondent à cette position particulière , pour pouvoir en conclure immédiatement leur tracé réciproque.

i* Chaque point du cercle mobile décrivant une circonférence dont le plan est perpendiculaire à la charnière ab , se mouvra en projection suivant une perpendiculaire à cette charnière ; a 0 chaque tangente au cercle le sera également à la sphère , et décrira un cône tangent à celleci , dont le sommet sera un point invariable de la charnière ; 3" la tangente en d décrira un cylindre dont les génératrices seront parallèles à la charnière ou sécante commune des deux courbes.

Dès lors, on voit que la tangente ed se projette en fc parallèlement à elle-même , et qu’un point quelconque de cette tangente k se projette perpendiculairement en l\ par conséquent la tangente i k , dont le point i ne varie pas , se projette en il , et son point de tangence g se projette en h. Nous avons donc ici tout à la fois une tangente à l’ellipse et le point de contact qui lui correspond.

Réciproquement , pour passer d’un point h de l’ellipse à son point correspondant sur le cercle , on joindra ce point à la charnière par une droite quelconque fo ; le point f de la tangente fo se projetant en e sur la tangente correspondante cd , la ligne eo sera ce que devient fo en rabattement ; dès lors le point h se rabattant à son tour suivant une perpendiculaire à la charnière , correspond en g sur le cercle. On voit que nous ne péchons

pas par défaut de solutions, puisque nous venons de donner un double tracé pour passer du point h au point g , et réciproquement. Nous l’avons fait , non-seulement pour fournir un procédé de vérification , mais pour prouver qu’on pourrait, au besoin , renfermer le tracé de l’ellipse de ses cordes et de ses tangentes dans le quadrilatère aed , et par conséquent ramener tout le tracé à une construction qui ne sortit jamais de l’épure sur laquelle on aurait à exécuter le cintre dans sa véritable grandeur.

Une construction entièrement analogue , et fondée sur le même principe de relèvement , pourrait être mise en œuvre en se servant du petit cercle construit sur co ; l’ellipse elle - même serait alors censée se mouvoir, et le cercle serait considéré comme figurant sa projection dans une de ses positions inclinées.

L’architecture ne se borne pas à appliquer l’interpolation circulaire à la construction des arches ; elle la met encore en usage pour décrire les volutes de ses chapiteaux , les doucines de ses profils et les rampants de ses voussures. On trouvera , dans l’ouvrage de Durand , les tracés qui correspondent à ces diverses courbes : ils n’offrent rien d’assez particulier pour que nous soyons » dans le cas d’insister sur leur procédé de description.

Avant de terminer ce que nous avions à dire sur le tracé des arches par interpolation , nous ferons remarquer l’utilité que l’on peut tirer de la comparaison du tracé elliptique, tel que nous venons d’en donner les règles, avec celui en anses de panier. Nous n’avons, en effet, aprèsavoir déterminé ces derniers cintres, qu’à chercher les points analogues de l’ellipse qui correspondraient aux points de raccordement des arcs de cercles qui les composent : c’est c.- que nous avons fait pour les fig. a et 3 ; Ion voit que les deux tracés se sont servi de vérification mutuelle. Ainsi , dans l’arc à trois centres , le point de raccordement g tombe presque sur le point cor-

répondant du contour elliptique ; dans la courbe à cinq centres , le point homologue correspond à peu près au milieu du second arc, c’est-à-dire, de celui qu’il s’agit réellement de déterminer, puisque c’est le seul dont la corde soit variable de position ; enfin, dans la courbe à sept centres , c’est l’ellipse qui nous a fourni l’origine « et J des deux arcs dont les cordes sont variables. On trouvera donc tout à la fois , dans cette comparaison , un moyen de vérification de tracé , comme on pourrait y trouver un moyep d’obtenir les grandeurs des rayons pour former l’anse de panier sans tâtonnement préalable. On voit encore ici que, dans la méthode graphique, tout se tient, en quelque sorte, et qu’une construction nouvelle est à la fois un nouveau moyen de résoudre le problème qu’on s’était proposé , et une vérification pour les constructions précédentes. Nous allons fournir une autre preuve de cette vérité , en cherchant à appliquer aux arches surbaissées la forme parabolique.

L’interpolation parabolique peut aussi bien que la circulaire convenir au tracé des voûtes surbaissées, et l’on remarquera à son avantage qu’un seul arc de parabole satisfait aux conditions du problème, et suffit toujours pour tracer la demi-voûte , tandis qu’il faut nécessaire- , ment au moins deux arcs de cercle pour atteindre de la naissance à la montée.

Les arches surbaissées donnent, comme nous l’avons déjà remarqué , quatre conditions de traGé , savoir : deux points de la courbe et les deux tangentes correspondantes. Or , ces quatre conditions déterminent à volonté, soit un arc d’ellipse , soit un arc de parabole. En construisant ce dernier par ses tangentes enveloppes, il enrésultela demivoûte cb , fig. 4. Si on compare celle-ci à la demi - voûte elliptique, on reconnaît bientôt que le débouché offert parla parabole est beaucoup plus considérable ; il suffit pour cela de remarquer que les deux lignes il et mn

IRTtllPOLAlTuN <;HAPHI(>UE. I 8 t

sont tangentes à ces deux courbes et correspondent à la même abscisse. 11 suit de cette propriétéquc toutes les lois que la question de débouché sera de nature à influer sur le tracé de la voûte , on devra soit adopter la forme parabolique , soit, en traçant le cintre en anse de panier, choisir des arcs de cercles dont la succession se rapproche plutôt d’une parabole que d’une ellipse. Le débouché parabolique est exactement mesuré par ao . oc ( i -t-^ ); et l’elliptique par '-ao . oc. 3 . i4 i 5 , etc. , ce qui donne , à peu près, le rapport de i 5 ? à 167.

On pourrait également interpoler au moyen d'un plus tjrand nombre d’arcs paraboliques ; la succession des tangentes aAc, fig. 4 , ollre un tracé qui en comporte quatre , et dans lequel on a pris pour tangente intermédiaire la tangente elliptique elle-même. On voit que cette dernière forme se rapproche tout à fait de la forme elliptique, et que rien ne serait plus simple que d’y multiplier assez les tangentes pour que leur succession formât le contour cherché, sans qu’il fût besoin de tracer autrement lu courbe; on conçoit de même comment on pourrait y procéder à la division en voussoirs et au tracé des joints normaux , quand cette division serait arrêtée.

Nous conclurons donc de ce que nous venons d’exposer dans ce cbapifre, que quand un ingénieur aura à décrire un cintre surbaissé, il sera libre d’adopter une forme d’arche elliptique ou parabolique , ou une anse de panier, procédant à volonté de ces deux tracés; vu que les difficultés matérielles se balancent tellement qu’il ne peut être influencé par elles dans le choix qu’il est appelé a faire.

CONTACrS LINÉAIRES ET OSCULATIONS. '

Jusqu’à ce moment, nous ne nous sommes occupé «les tangentes que pour apprendre à les déterminer rigoureusement. Les moyens que nous avons fait connaître se sont bornés à supposer la courbe tracée sur une surface réglée

l8a LE CALCUL PAR LE TRAIT.

facile à projeter, et à mener le plan tangent à celle-ci, suivant le point auquel le contact devait correspondre ; la tangente cherchée provenait , ainsi , de l’intersection du plan tangent et du plan de la courbe considéré comme sécant.

Toutes les fois qu’il s’agira de mener une tangente à une courbe quelconque, on conçoit , pàr la même raison , que si l’on parvient à ramener cette courbe à faire partie d’une surface connue , le problème se trouvera encore résolu par la recherche du plan tangent si cette courbe est plane ; et, si elle est à double courbure, en remplaçant le plan sécant par le plan tangent à la deuxième surface qui constitue alors la surface sécante.

On sait , aussi , que dès qu’on peut regarder la courbe donnée comme décrite par un point , en vertu de certaines forces , en déterminant leur résultante à l’instant du parcours qui correspond au point de contact , la direction de cette force se confondra avec la tangente cherchée. Cette méthode est connue sous le nom de Roberval , premier mathématicien qui l’a découverte.

A défaut de ces deux moyens d’obtenir exactement les tangentes , on est presque toujours réduit aux procédés d’interpolation , nous allons les décrire sommairement :

Par un point donné sur une courbe quelconque mener une tangente à cette courbe. — On prendra ce point comme pôle et on mènera une suite de rayons vecteurs allant aboutir à la courbe dans sa partie la plus rapprochée, adroite et à gauche du lieu de contact; on coupera ces rayons, suffisamment prolongés , par une droite qui puisse les rencontrer tous ; sur la direction de chaque rayon on portera, à partir de la droite , prise pour axe des erreurs , la corde correspondante qu’il détermine sur la courbe , en ayant soin de placer dans le sens positif de l’axe les cordes situées d’un même côté du point de contact et les autres dans le sens négatif; réunissant, enfin, par une interpolation , soit régulière, soit arbitraire, les estrémi-

INTERPOLA 1TU.N GRAPHIQUE. I B3

tés ries ordonnées polaires ainsi placées, le point où la courbe d interpolation coupera 1 axe appartiendra a la tangente cherchée , puisqu’il correspondra au rayon vecteur particulier qui détacherait de la courbe primitive un arc dont la corde se trouverait nulle.

Quand les rayons vecteurs sont trop divergents, on substitue ù l’axe linéaire un axe courbe : on peut supposer, par exemple , que l’axe linéaire s est transformé en cercle autour du pôle pris pour centre. Cette modification ne change évidemment rien a l’esprit et à la rigueur du tracé qui se trouve nécessairement ramené à des dimensions plus favorables.

Mener la tangente qui passe par un peint donné extérieurement à une courbe quelconque.

On prendra encore ce point pour pôle ; et on tiacera une suite de rayons vecteurs qui devront se succéder dans le sens ou les arcs détachés par eux , sur la courbe , diminuent de grandeur en passant de l un a 1 autre, et finissent par s’annuler ; il faut s’arrêter toutefois a celui de ces rayons qui donne la dernière corde à intersections distinctes. Cela fait, on joindra par une courbe le centre de toutes

ces cordes; et comme cet te courbe ainsi limitée a la dernière

corde distincte, n’arriverait pas tout a fait au point de contact, on construira, du côté où elle doit etre prolongée, une suite de triangles équilatéraux, ayant chacun une des cordes pour base; les sommets de ces triangles serviront comme points supplémentaires, a prolonger la courbe interrompue qui viendra couper normalement la proposée au point de contact cherché.

On peut , au lieu île prendre le centre des cordes, opération toujours accompagnée de quelques tâtonnements ,

établir haut et bas sur chacune de ces lignes le triangle équilatéral dont elle constitue la base, et operer exclusivement l'interpolation par les sommets de tous ces triangles. On obtient , dans les deux cas , une courbe qui se

trouve normale a la proposée, parce qu’elle est normale à la direction de la corde infiniment petite qui correspond à ce même point.

Mener à une courbe quelconque une tangente qui soit parallèle à une direction donnée , se résout par le tracé précédent dans lequel il suffit d’admettre que le pôle est passé à l’infini.

La direction de la tangente et son point de contact une fois connus, la normale s’en déduit immédiatement; et, comme nous n’avons rien spécifié dans ce qui précède sur la nature de la courbe , il s’ensuit que cette méthode est tout à fait générale , et peut aussi bien s’appliquer aux courbes mathématiques, qu’à celles qui dérivent d’un tracé purement arbitraire.

Les relations de contact ne se bornent pas aux courbes et à la ligne droite; dans une infinité de circonstances les courbes ont des points communs où elles se louchent entre elles; et, non seulement elles peuvent avoir en ce point une tangente commune , mais elles peuvent admettre des rapprochements qui supposent plusieurs contacts linéaires successifs et qui se trouvent compliqués par des intersections pareillement linéaires. Nous allons signaler quelques-uns de ces cas particuliers qui se rapportent principalement aux courbes du second degré.