CONTACTS CIRCULAIRES

Supposons un cercle infiniment petit dont le rayon augmenterait successivement, parle mouvement rétrograde du centre, opéré suivant la même droite; les circonférences diverses qui en résulteront, se toucheront toutes à l’extrémité fixe de celte ligne. Quand le rayon deviendra infini, la circonférence correspondante sera une droite perpendiculaire a la direction constante parcourue par les centres. Et, enfin, 'quand le rayon passera du côté négatif, il reproduira en sens contraire Ce la circon-

1NTEHP0LAT1UH GU API1IQCE. (35

férenceà rayon infini , la succession identique les cercles situés du côté positif.

Ici, les conditions de contact resteront invariables ; car deux cercles diflérenls ne sauraient avoir entre eux qu’un seul point de contact commun ; ils se confondraient, s’ils se coupaient en outre suivant un second point. La démonstration de cette propriété est absolue , comme indépendante de la grandeur du rayon et de la distance qui existe entre les deux points communs.

Il est facile de reconnaître que deux courbes du second degré affecteront un contact tout à fait analogue: r- quand elles seront semblables et semblablement placées ; car généralement , dans ce cas , elles pourront être considérées comme la projection de deux cercles ; 2° quand elles seront tangentes extérieurement; car, prises à part, on pourra toujours les transformer circulairement , et comme elles ne pourront avoir avec la droite qui les sépare et qui les louche qu’un contact circulaire , à plus forte raison n’auront-elles qu’un contact du même ordre l’une par rapport à l’autre.

Mais quand deux courbes sont quelconques, nous avons vu qu’elles pouvaient se trouver tangentes selon deux droites , et au même point de ces droites , sans se confondre , comme aussi avoir un contact linéaire commun et un point d’intersection également commun. Dans le premier cas, elles ont un même système de diamètre conjugué, celui qui correspond à la corde qui unit les deux points de tangence; dans le second, les deux diamètres conjugués viennent séparément passer par le centre de cette corde. Ces propriétés sont encore absolues , en tant qu’elles se trouvent indépendantes de la grandeur de la corde. Elles subsisteront donc encore quand la corde sera devenue infiniment petite ou infiniment grande , quand , par conséquent, elle sera devenue tangente, et quand les deux courbes seront de forme parabolique et semblablement placées.

La corde , dans toutes ces circonstances , est une des sécantes réelles commune aux deux courbes ; or, quand on suppose que la sécante réelle représente la limite des deux plans où ces courbes sont tracées, la figure correspond alors à deux hyperboles semblables et semblablement placées , et ces courbes deviennent paraboliques dès que la sécante commune devient tangente.

Quand la sécante commune, avant de devenir tangente , réunit deux points de simple intersection , elle donne naissance à deux paraboles quelconques ; la seule condition qui les lie est d’avoir leurs axes parallèles-

Quand elle unit un point de contact et un point d’intersection, les deux paraboles sont égales , mais disjointes.

Enfin, quand elle unit deux points de contact, les deux courbes ayant pour diamètre commun celui qui correspond au centre de la sécante, sont, en outre, superposées suivant leur axe principal; et dans ces deux derniers cas elles peuvent se mouvoir parallèlement à la direction de l’axe sans que les conditions de tangence soient altérées.

Il en résulte que les courbes de second degré , outre le contact circulaire, sont susceptibles de donner lieu à deux autres espèces de contacts que les cercles ne peuvent reproduire entre eux , et que les paraboles à axes parallèles ne peuvent affecter que suivant leurs branches infinies. Cette dernière propriété va nous fournir le moyen de les reproduire à volonté entre toutes les courbes du second ordre.

' OSCULATION DES COURBES DU SECOND ORDRE ET DÉTERMINATION DES COURBES OSCULATRICES

Les deux tangentes qui aboutissent aux extrémités d’un arc quelconque du second ordre ab, PI. V,fig. 5, mesurées entre leur point de rencontre commun c et le lieu du contact , sont en général inégales. Comme c’est enjoignant le point c au milieu de la corde ab qu’on a le prolooge-

ment du diamètre conjugué à cette corde, il faudrait, pour qù’il y eût égalité dans les tangentes, que la corde et le diamètre se rencontrassent h angle droit, circonstance qui n’a lieu que si le diamètre du contact est en même temps un axe de la courbe.

Il suit de là que, pour qu’un cercle puisse avoir deux points de contacts avec une courbe du deuxième ordre, il faut nécessairement que les deux tangentes communes proviennent d’un même point situé sur l’un des axes; ce qui exige que le centre du cercle se trouve à son tour placé sur l’axe lui-même , position, comme on voit, tout à fait exceptionnelle.

Dans le cas des tangentes inégales , pour que le cercle tangent en b touche aussi la seconde tangente, en admettant que cb = ca’, son second point de contact devra se trouver en a' ; ce cercle coupera , par conséquent, la courbe en un point a" compris entre a et a' et tel que la corde ba" sera en général plus grande que ab. Par un raisonnement semblable le cercle tangent en a aura son deuxième contact en b et coupera la courbe en un point £", mais ce dernier se trouvera compris entre b et b', et tel que la corde ab" sera plus petite que la corde ab.

Toutes ces relations étant indépendantes de la grandeur de la corde ab , ne cessent pas d’exister quand celte corde ayant diminué par degrés insensibles , finit par devenir tangente. Nous pouvons donc en conclure qu’il existe en* tre un cercle et une courbe du deuxième ordre trois sortes de contacts : i° le contact circulaire; a° le contact qui comporte une intersection dans le lieu même où s'opère la tangence; 3° enfin le contact cfui résulte de deux tangences circulaires juxtaposées sans se confondre.

Admettons que, par un procédé quelconque, nous ayons, trouvé le cercle qui , placé en contact au sommet de la courbe , a dans ce point une double tangence ; celui , par conséquent , qui aurait son centre au point où les deux

normales symétriques infiniment voisines situées à droite et à gauche de l’axe, viennent s’y couper; et supposons que les deux courbes ainsi placées dérivent par projection polaire de deux autres qui seraient situées sur un plan dont la limite fût tangente aux deux courbes au point qui correspond à l’extrémité de l’axe : les deux courbes'' ayant chacune deux branches qui concourent à l’infini , seront deux paraboles ; les deux branches d’un même côté auront emporté eri se séparant la tangente commune qui le'ur correspondait; les deux paraboles auront donc , à la fois, un même axe et une même amplitude , puisque leurs branches se rencontrent tangentiellement à l’infini ; ce qui ne saurait avoir lieu sans que les deux paraboles s’y trouvent superposées; car les deux branches se trouveraient déjà parallèles en vertu de la seule coïncidence des axes.

Nous pouvons donc en conclure que deux courbes quelconques auront entre elles un double contact circulaire , quand elles pourront être considérées comme la projection polaire de la même parabole placée dans deux positions successives, et qui proviendraient l'une de l’autre par un mouvement de translation opéré dans le sens de l’axe primitif. Telle est précisément la relation que présentent entre elles deux courbes du second ordre quand elles ont un même diamètre aboutissant à un même point de tangence où est venu s’annihiler une de leurs sécantes communes qui joignait deux points de contact!

Ces remarques vont nous permettre de résoudre les problèmes suivants : mener à une courbe donnée, i° le cercle . osculateur à double tangence qui correspond à 1 un îles sommets; 2 ° une courte quelconque ayant en un point quelconque une osculation du même g'enre avec la proposée , 3" le cercle osculateur à la fois tangent et sécant ; 4" une courbe quelconque ayant avec la proposée un contact du même genre à la fois tangent et sécant.

Premier cas. Soit donnée , PI. V, fig. 6, l’ellipse oapb.

1MTEI\P0LATIÜI* GHAPHIQUE.

pour avoir le cercle oscillateur au sommet nous mènerons l’axe op et la tangente cd correspondants au point de contact ; considérant alors cette courbe comme une parabole ayant pour limite de son plan la tangente cd, nous < hercherons de combien elle doit s’avancer dans le sens de son axe pour que sa projection devienne un cercle.

Une corde quelconque ab, parallèle à la limite, avancera parallèlement à elle-même ; et pendant le mouvement de progression, ses extrémités a et b s’appuieront constamment sur les deux parallèles ao et bo. Les deux tangentes en a et b, pendant ce mouvement, s’avanceront aussi parallèlement à elles-mêmes ; et , en projection , elles pivoteront autour de leurs limites c et d.

Nous avons donc à chercher une position de ab telle qu’en joignant ses extrémités a'b' aux points c et d, les trois tangentes cd, cd et db déterminent un cercle. On y parvient en décrivant une circonférence de c ou d pris pour ceutre, avec un rayon égal à co ; le point où elle viendra couper la parallèle ao ou bo , qui lui fait face, appartiendra au cercle cherché, puisqu’il appartiendra à une ellipse dont les quatre tangentes co , od , ca‘ et db se trouveront égales par construction.

Un tracé identique, sauf le cercle, exécuté pour chaque position particulière que peut prendre ab dans son mouvement de translation entre les parallèles infinies ao, bo, correspond à une nouvelle courbe osculatrice ; et il est facile de s’assurer quelle ne peut plus allécter la forme circulaire.

Ainsi, quand elle est parvenue à la position, où sa grandeur projective, interceptée entre les deux parallèles, se trouve égale à deux fois la distance cd, la courbe osculatrice devient une parabole. Elle donne une ellipse allongée dans le sens de l’axe de contact dans toutes les positions intermédiaires au cercle et à la parabole ; une ellipse allongée en sens contraire entre le cercle et la tangente

d’osculation, et enfin une hyperbole dans tout le reste de son parcours.

Toutes ces courbes ont un axe commun de direction , et varient seulement entre elles par la grandeur relative du second axe. On ne saurait y trouver en conséquence qu’un seul cercle , une seule parabole , une seule hyperbole équilatère , etc.

Donc , si l’on demandait de remplacer le cercle osculateur par unecourbe particulière dont le rapport des axes fût déterminé , il n’y aurait qu’à placer la corde ab dans une position telle , que les deux axes de la nouvelle courbe fussent entre eux dans ce même rapport ; ce qui résoudrait en partie et par interpolation le second cas des problèmes énoncés ci-dessus.

Troisième cas. Déterminer le cercle osculateur, à la fois tangent et sécant , à un point quelconque donné sur une courbe du second orilre.

Supposons que l'une des deux paraboles , dont nous venons de tracer la perspective , se soit écartée parallèlement à l’axe commun , le nouvel axe p'o conservera même limite o , et les cordes parallèles à la limite cd conserveront leur même dimension. En se transportant dans le prolongement de leur direction première , elles formeront par conséquent le système diamétral conjugué au nouvel axe,

La figure nouvelle sera bien composée de deux paraboles identiques aux deux premières ; mais on aura beau faire mouvoir la corde al'b" homologue à ab , il sera impossible de lui trouver, le long du nouvel axe , une position qui détermine un cercle. Dans cette seconde représentation des paraboles, le cercle à double tangence devient donc impossible. Toutefois, si nous comparons le cercle du tracé précédent à la forme qu’il allêcte dans la transformation oblique , nous reconnaissons qu’il s’y trouve figuré par une ellipse on.

Ces deux courbes représentent deux paraboles idcnti-

INTERPOLATION GRAPHIQUE- * igi

ques , dont les axes se sont écartés dans le sens de la tangente mm à leur sommet commun. Donc, par rapport à l’ellipse primitive op' , celle qui représente un cercle a éprouvé à la fois un mouvement de disjonction p'p dans le sens de l’axe, puis un mouvement de translation pm. Deux courbes tangentes, à l’extrémité d’un même axe, ne peuvent se disjoindre, parallèlement à cet axe, sans qu’il existe une intersection qui se trouve située entre ces deux axes. La projection polaire ayant confondu les axes disjoints à leur point o de limite commune , y a réuni , à plus forte raison , l’intersection qu’ils comprenaient entre eux. Donc, enfin, le cercle se trouve tangent et sécant selon le point o de la courbe. Ce contact est, par rapport aux deux courbes, ce qu’est un contact d’inflexion entre une droite et une courbe ; car il est facile de reconnaître qu’en redressant le cercle osculateur, suivant la tangente du point du contact o , la courbe avec laquelle il est en osculation , redressée par le même mouvement, se trouvera présenter un point d’inflexion.

Le problème se trouvera donc ramené, quand le diamètre qui correspond au lieu de contact se trouve oblique , à chercher parmi toutes les formes que la parabole peut prendre par un mouvement de translation opéré dans le sens de l’axe, celle qui e<t susceptible d’alFecter la forme circulaire par suite d’un second mouvement de disjonction parallèle à cet axe.

Prenant donc encore une des cordes conjuguées a’'b", qui correspondent au diamètre passant par le poinldeconlacto, et menant par ses extrémités les deux parallèles oa' s t ob\ nous aurons, au moyen de ces parallèles, la grandeur relative qu’affectera la corde par suite d’un mouvement quelconque de progression dans le sens de l’axe ; et si, des points limitcscet rfdes tangentes qui proviennent de cette corde primitive, nous décrivons encore deux cercles, il faudra trouver parmi toutes ces cordes , différentes de

U)ï , LE calcül par le trait.

grandeur, celle cjui , en s’avançant sur sa propre direction, pourra venir placer à la fois ses extrémités sur chacun des cercles.

On y parvient en transportant la corde primitive ellemême sur sa propre direction , jusqu’à ce que son centrer coïncide avec le prolongement de la normale op du point de contact. L’une quelconque des parallèles , b"d,a"c , transportée dans cette nouvelle position , donnera , par son intersection avec le cercle en regard, la position de disjonction de la corde a"b" qui détermine le cercle à la fois tangent et sécant au point o. Les autres courbes s’obtiendraient par des considérations tout à fait analogues.

DÉTERMINATION APPROCHÉE DU CERCLE OSCULATEUR SUR UNE COURBE QUELCONQUE.

Une courbe quelconque étant donnée, et un point étant désigné sur son périmètre , si l’on voulait obtenir d’une manière approchée la courbure circulaire qui correspond le mieux à celle qu’elle offre en cet endroit ; il faudrait d’abord mener la tangente correspondante au lieu de contact, ainsi que les deux tangentes qui en sont le plus immédiatement voisines ; sur ces deux dernières on décrirait la parabole quelles déterminent; et enfin on chercherait le cercle osculatcur à la parabole , et qui correspond sur cette dernière à la normale de contact. Cette parabole ne devrait être définitivement établie qu’après quelques tâtonnements; ainsi, il. serait bien d’étudier les trois paraboles qui proviennent des trois tangentes prises deux à deux séparément , afin de bien s’assurer qu’on a adopté celle qui reproduit aussi parfaitement que possible la courbure de la proposée; car c’est bien plutôt ici la parabole qui est la véritable osculatrice , ou du moins qui constitue la courbe de facile tracé , au moyen de laquelle on peut suivre le plus exactement possible la courbure déterminée par une série quelconque de points successifs ; propriété que nous avons déjà eu lieu d’appliquer à

lit méthode générale d’interpolation par des arcs de même nature. Cette parabole auxiliaire pourrait donc encore être assujettie à passer, sur la courbe, par quatre points formant un trapèze, et dont le point donné ferait nécessairement partie.