MESURE LINÉAIRE DE LA CIRCONFÉRENCE

Les solutions obtenues par la méthode d'interpolation fournissent , comme nous l’avons déjà vu , des résultats approximatifs dont le plus ou moins d’exactitude dépend soit de l’adresse du dessinateur, soit de la perfection, des instruments qu’il est dans le cas de mettre en usage, pour décrire les diverses courbes auxquelles il se trouve conduit par les circonstances particulières de chaque tracé. On ne saurait donc se rendre compte de leur précision mathématique, puisque, bien que rigoureuses en théorie, elles cesseraient nécessairement de l’étre quand on passerait à l’exécution pratique.

Nous allons donner quelques solutions d’une autre espèce qui sont également irrégulières, mais qui , se trouvant susceptibles d’étre régulièrement exécutées au mpyen des deux instruments de précision que comporte le tracé de cabinet , savoir : la règle et le compas, peuvent , dès lors, être considérées comme donnant un résultat final exact, sa uf l’unique différence qui provient du principe adopté; dillérence que celte supposition permet d’évaluer en nombre.

Nous désignerons sous le nom d’empiriques ces tracés qui ne dérivent d’aucun système particulier, et auxquels on parvient d’ordinaire par tâtonnement; nous allons, en conséquence , nous borner à les décrire , en ayant soin de donner en même temps les calculs qui les justifient , et qui font connaître le degré de précision théorique auquel on peut atteindre par leur moyen.

Trouver une grandeur linéaire qui soit égale au quart de la circonférence dont le diamètre est ne.

Solution empirique : décrivez, sur ae, PI. V, /ig. y, la demi-circonférence demandée; portez -y trois fois le rayon , pour déterminer les sommets b et c du demiexagone abce ; sur ae , pris pour base , construisez le sommet d d’un triangle isocèle ade , dont les deux nouveaux côtés soient égaux à la diagonale ac qui soustend deux côtés successifs de l’exagone, et forme le côté du triangle inscrit; enfin, du pointé, avec un rayon égal k bd , décrivez un arc de cercle ; il viendra couper la demi-circonférence en un point i tel que la corde ai, qui correspond au plus grand arc à partir des extrémités du diamètre ae, se trouvera égale au quart de la circonférence abce. On voit que la construction finale pourrait également s’exécuter en prenant c pour centre et cd pour rayon ; ce qui permettra de vérifier, sous un certain rapport , l’exactitude de ce tracé ; nous disons sous un certain rapport , vu que toute erreur qui ne produira pas une altération de symétrie dans la figure échappera à cette vérification.

Il n’y a d’autre moyen , pour justifier ce tracé, que de le traduire en chiffrer. Ainsi, supposons le diamètre ae—%; le côté du triangle inscrit, ac sera égal à J/3; l’apothegme du triangle aed sera égal à J/ 2, ; et celle de l’exagone inscrit sera égale à j 1 / 3 . La hauteur du triangle ade se trouvant la différence de ces deux apothegmes sera

exprimée par ■. Dès lors , le rayon bd= corde bi

se trouvera égal à \/ L 4. = j/3 .

L’arc ai se trouvant ainsi connu par les deux cordes de ses parties constituantes ab — 1 et bi = p/3 — \/ 6 > on aura Corde ai — ab cos. a -f- bi cos. i

INTERPOLATION GRAPHIQUE. 1Qλ

Réduisant et opérant les calculs, on trouve :

Cordeai=7 jj/ , + i /6 +J/9—3 \/6 ] = ï [ 3 - j .

Mais = 3 . 1 4 * 59265

La différence, soit l’erreur commise =• o.ooo8o65a On n’aurait donc, sur un cercle entier de 1 mètre de rayon,

qu’une erreur de 16 dix-millimètres et 4 dix-millimètres pour son quart; erreur inappréciable dans le plus grand nombre de cas.

Cette solution a l’avantage de pouvoir s’exécuter entièrement au compas, c’est-à-dire au moyen de l’instrument de précision par excellence; elle est extraite de la Géométrie du compas , par Marscberoni, ouvrage spécial, * dans lequel se trouvent une foule de tracés qui dépendent du calcul par le trait, et qui n’exigent, pour être exécutés, que l’emploi du même instrument.

Trouver une grandeur linéaire qui soit égale à la demicirconférence dont le diamètre est gl.

Solution empirique , fig. y : tracez le cercle et menezlui une tangente à l'une des extrémités g du diamètre donné; arrêtez d’un côté cette tangente au point », où elle constitue de» en g' la tangente trigonométrique de l’arc tle 3o*; portez sur la tangente ainsi limitée , de n en p, trois fois le rayon ; et la distance pl mesurera la demicirconférence cherchée.

On détermine la sécante on de l’arc de 3o° en portant le rayon de g en q , et en élevant une perpendiculaire sur son milieu ; tout cela s’exécute avec la même ouverture de compas ; mais comme le reste de la figure dépend de la règle , on a réellement , ici , moins de certitude d’arriver à l’exactitude théorique. On peut remarquer que , par une espèce de compensation , celte exactitude atteint un chiffre plus élevé.

Voici les calculs qui justifient ce second tracé :

En admettant encore que le diamètre gl est égal à deux unités, on trouve :

pl =K 4 +( 3 — tang. 3 o*)\ Or, Un,

substituant et ellectuant les calculs , on aura

Mais =3.14159265

Dillérence ou erreur commise =0.00006931

Si l’on voulait avoir immédiatement la grandeur de la < irconférence entière, on y parviendrait par la construction suivante :

Solution empirique : ajoutez bout à bout, i* trois fois I« rayon ; 20 deux lois le rayon projeté dans le sens de 3 à l/io; 3 * quatre cinquièmes du rayon; 4 * enfin, trois huitièmes du rayon; et le total de cette addition sera la circonférence cherchée.

On obtient deux fois le rayon projeté dans le sens de 3 à J/i o, en construisant un triangle rectangle aob, Jig. 8, dont les deux côtés de l’angle droit soient respectivement égaux , l’un au rayon et l’autre à trois fois le rayon ; l’hypoténuse ob s’y trouvant égale à V 1 +(3)’ = ]/ 10 , toute droite parallèle au petit côté projettera entre les deux autres dans le sens demandé. En conséquence , une perpendiculaire élevée à l’une quelconque des subdivisions o et o" déterminera sur ob , fie d en b , ou de o en d , la projection demandée; il ne restera donc plus qu’à construire et à mettre bout à bout les autres termes qui composent l’addition indiquée ci-dessus. 11 sera bien d’exécuter séparément les subdivisions aliquotes du rayon ; et pour ne pas être exposé à les confondre, on les placera à chacune des extrémités de l’addition. D’après ce que nous

venons d'exposer , la grandeur trouvée sera exprimée en chiffres par :

3+1 + 2 + a .i^=^ + |i^7ï;«6.a83i85io68 5 8 3 4° 3

Et sa moitié par = 3 .i4 1 5ç)2d534

Mais ir = 3 .i4i59x65

Différence ou erreur commise = 0.000000 1 o

Cette approximation est la plus forte de toutes ; elle se trouve même poussée si loin, qu’on ne pourrait pas s’en promettre , à beaucoup près , une pareille en prenant directement la valeur de tc sur l’échelle la mieux divisée ; elle excède donc toutes les exigences du tracé le plus rigoureux , eu égard à l’emploi graphique qu’on pourrait avoir à faire du résultat que ces tracés fournissent. En conséquence, sauf l’adresse du dessinateur, la solution est aussi complète qu’on peut avoir à le désirer. Nous disons : sauf l’adresse du dessinateur, parce qu’il y a dans ces opérations partielles une source d’erreur presque inévitable, et qui tient surtout à leur défaut d’ensemble et à leur multiplicité. Chacune d’elles offre un problème à part à résoudre -, et il faut que tous les résultats partiels soient exacts à la septième décimale pour que leur total, s’il, est exact à son tour, atteigne à fa même approximation.

Aussi, nous a-t-il semblé qu’on pourrait, sans inconvénient, se contenter d’une approximation moindre, en faisant subir à cette dernière solution les modifications suivantes :

Prenez sur ao un point p situé au quinzième de la distance ao, que nous supposerons, celte fois, égale au diamètre du cercle donné, et tout restant invariable dans le triangle aob déjà décrit , la circonférence cherchée se trouvera égale à l’hypoténuse pb. Celte grandeur

se trouvera en effet mesurée par V ( 3 )’ + (H)’ = 77 ^aaai = 3. i4i 832 ; elle excédera donc la valeur de ît de 0 . 00024 .

Si , d’un autre côté, on prend l’hypoténuse nb du triangle anb dans lequel an soit égal au rayon , égal , par conséquent , à^ao, celle-ci se trouvera mesurée par Y (3)’ + ( 4 )’ — 7 = 3. o 4i38ï , et en ajoutant à cette quantité

un dixième du diamètre, soit jdea«= ««", elle deviendra 3. 1 4 1 38 1 , quantité qui approche de n à moins de 0.0002 1 . Ces deux dimensions entre lesquelles sc trouve par conséquent située la vraie valeur de se serviront au besoin de vérification mutuelle , avec d’autant plus de facilité que les subdivisions et /„ procèdent toutes deux d’un commun diviseur 5 , et que le partage en trois et en cinq parties peut s’obtenir directement sur la figure en faisant usage de la subdivision ternaire qui résulte de l’addition multiple dont ab se trouve le total. Voici le détail complet de celle double solution :

Prolongez ob dans le sens bo d’uue portion om égale h sa propre grandeur, joignez l’extrémitém de ce prolongement au point o", et la transversale mo" coupera ao au cinquième e demandé à partir du point o.

Une construction absolument identique donnera en n" le cinquième de la portion an.

Enfin , joignez le milieu s de me au point b , et sb viendra passer aux 4 de eo, par conséquent au de ao.

Soit donc que partant de la grandeur bri=bn-\-nn!' on décrive un arc de cercle du point b comme centre , soit que cet arc ait pour point de départ l’extrémité du sinus ap = ~ de ao , il faudra , si l’on a bien opéré , que les deux tracés se superposent; et, dans le cas où la figure se trouverait exécutée sur une échelle assez grande pour permettre d’apprécier les o.ooo.jô 1 qui séparent ces deux arcs de cercle, ce qui suppose au moins cinquante centimètres de diamètre à la circonférence qu’il s’agit de mc-

INTERPOLATION GRAPHIQUE. I Çÿ

surer, il sufiira de prendre exactement la moyenne entre les deux résultats , pour avoir * avec une nouvelle approximation qui s’étendra, cette fois, jusqu’aux unités décimales du cinquième ordre.

Ainsi , non-seulement ce tracé porte avec lui sa propre vérification ; mais, aussitôt que la chose devient nécessaire, il fournit un supplément d’approximation, qui, traduit en chilïres, est alors de 0.000014. Pour un cercle de 5 o mètres de diamètre, l’erreur théorique s’élèverait donc à 0,7 de millimètre; et comme les plus grands compas à verge n’atteignent pas vingt-cinq mètres de longueur, il en résulte qu’une approximation supérieure devient tout à fait superllue à défaut d’instruments graphiques qui puissent permettre de réaliser avec précision des cercles de celte portée.

Mesure d’un arc de cercle par son développement linéaire :

Premier cas. Quand le dessinateur aura à sa disposition une échelle circulaire ( uu rapporteur), il pourra, en mesurant l’arc par son moyen, apprécier en chilïres le rapport qui existe entre l’arc à développer et la circonférence d’où il provient; il pourra aussi , selon la grandeur de cet arc , prendre pour terme de comparaison la moitié et même le quart de la circonférence. Une fois ce rapport obtenu , il construira , au moyen des tracés empiriques donnés ci-dessus , celle de ces trois grandeurs à laquelle l’arc aura été comparé; et, en la projetant dans le sens indiqué par le rapport trouvé, il obtiendra le développement de l’arc cherché.

Deuxième cas. Si le dessinateur n’a pas d’échelle circulaire à sa disposition , il obtiendra le rapport de l’arc à la circonférence ou à ses aliquotes , par le même procédé de mensuration qu’on emploie pour obtenir le rapport qui existe entre deux droites : il portera, au compas , le petit arc souslractivcment sur le plus grand ; il reportera

le repte fractionnaire de cette soustraction de forme nécessairement multiple sur le petit arc; et procédant ainsi de reste en reste, par soustractions successives, il poussera son opération jusqu’à ce qu’il soit parvenu à un reste assez petit pour pouvoir être négligé. Dès lors , l’unité de la dernière soustraction se trouvant comprise exactement un certain nombre de fois dans les deux arcs , ou pouvant du moins être considérée comme telle, servira à évaluer en chiffres leur longueur respective, et par conséquent à établir graphiquement sur deux conjuguées le sens du rapport cherché.

Pour évaluer un arc au rapporteur avec une certaine exactitude, on pourra construire sur l’arc même à mesurer, et à partir de la dernière subdivision entière que l’échelle circulaire est susceptible d’y indiquer, un nonius auxiliaire, soit une portion d’échelle circulaire, divisée en dix portions égales , et dont l’ensemble comprendra neuf des plus petites divisions que présente le rapporteur.

Si l’instrument était disposé de manière à porter luimême le nonius, il dispenserait de ce supplément de tracé et comporterait une appréciation de lecture encore plus parfaite , vu que la division des instruments , quand elle est exécutée par des procédés mécaniques spéciaux , l’emporte de beaucoup en exactitude sur celle que l’artiste le plus habile peut opérer à la main sur le papier.

Nous allons compléter ce qui concerne le cercle , en donnant les moyens les plus simples de diviser un arc en trois parties égales.

La division d’un arc ou d’un angle, ce qui revient au même , est encore un de ces problèmes que l’on ne peut résoudre , en général , qu’approximativement , et dans lesquels le calculateur , tout en restant maître du degré d’approximation qu’d désire atteindre, ne peut jamais cependant arriver à l’exactitude théorique. Toutefois , la division binaire d’un arc se ramène, comme on sait, à

INTERPOLATION GHAPHlyUE. 201

élever une perpendiculaire sur le milieu de sa corde ; cette solution est donc tout à fait exacte, dans le sens relatif que nous avons attaché à ce mot.

Quand la division est ternaire, il existe, pour résoudre ce problème, une méthode de tracé susceptible d’une très-grande approximation, et telle que chaque répétition partielle conduit à un résultat plus exact que le précédent , ce qui constitue une espèce de solution par série ; comme la convergence en est très-rapide , après deux ou trois répétitions, il devient à peu près impossible d’apprécier la correction qu’une répétition de plus apporterait à la grandeur trouvée.

Préparation : Ayant à prendre le tiers d’un angle quelconque asb , PI. Y, fig. q , du sommet s on décrira un arc arbitraire abl(s\ c’était l’arc ab quifùtdonné, l’angle s’ensuivrait, enjoignant ses extrémités au centre) compris entre ses côtés , et qu’on prendra pour mesure de sa grandeur angulaire ; on prolongera un des côtés sb au delà du sommet j, et on lui élèvera une perpendiculaire sd à ce même point. Le tracé ainsi préparé, prenez , à vue d’œil et sans tâtonnement, de s en d , une grandeur qui approche de la corde qui sous-tendrait les deux tiers de l’arc ab ; du point d, comme centre , avec un rayon égal au diamètre du cercle auquel appartient ab , coupez en f le côté prolongé ; menez la droite fa : elle viendra rencontrer la perpendiculaire élevée en s en un point d' qui donnera avec plus d'exactitude la grandeur sd' de la corde des deux tiers de l’arc ab. Répétez identiquement, par rapport à d' , puis par rapport à d" , etc. , la construction soulignée , et vous obtiendrez bientôt un degré d approximation que vous ne pourrez dépasser , vos instruments n’étant plus susceptibles de vous faire apprécier la dernière des erreurs commises.

Celte solution pourrait donc, en quelque sorte , rentrer dans la classe de celles qu’on appelle exactes ; car elle pos-

sède l avan tage dont jouissent ces dernières , qui consiste en ce que ba règle et le compas ne sauraient y signaler les défauts d’exactitude , inhérents à toute exécution matérielle.

Au reste , pour faire apprécier sa convergence, il suffit de remarquer qu’en prenant la première corde arbitraire égale à zéro , ce qui revient à faire coïncider le point d avec le point s , et ce qui suppose , par conséquent , une première eirreur égale à la totalité de la grandeur cherchée , on n’uugmente pas d’une manière sensible le nombre des répétitions, et l’on arrive presque aussitôt à la limite d’exactitudo que le tracé ne peut dépasser.

Cette solution assez remarquable n’est point empirique ; elle correspond à une figure mathématiquement exacte, mais qui , ne pouvant s’exécuter directement avec la règle et le compas, rentre , par cela même , dans la classe des interpolations.

En. voici l’explication théorique : le problème primitif peu t être facilement ramené à faire passer par le point a une droite , dont la partie interceptée entre les deux axes rectangulaires sf ti sd soit exactement égale au diamètre du cercle abl ; car, cette condition une fois remplie, en joignant le point s au centre h de la partie interceptée , on forme un triangle isocèle dont l’angle extérieur ahs = u af ’b. Comme cet angle a, par construction, son sommet h situé sur la circonférence ablh , il est mesuré par la moitié de l’arc al; donc, sa moitié afb = j abl t à cause de Isb — hsf = hfs , af 'b =-t asb. Par suite la ligne hn étant dans le cercle abli , le sinus de l’angle h/'n, d" s , qui se trouve le double de ce sinus , sera la corde de l’ajrc double , soit des de ab.

Celte interpolation , que le précédent tracé effectue si complètement en faisant usage du compas, pourrait s’exécuter au besoin avec la règle seule : il suffirait de faire mouvoir une règle à biseau autour du point a jusqu’à ce que

INTERPOLATION GRAPHigCE. 2 oi

le diamètre de l'arc ab , qu’on aurait préalablement marqué sur son tranchant , vint s’appuyer par ses deux extrémités sur les deux axes sf et sd. On y parviendrait également en assujettissant le rayon à s’appuyer par ses extrémités et sur le cercle liab et sur la ligne sf ; ce dernier procédé est même le plus convenable, toutes les fois que la grandeur de l’angle à subdiviser n’excède pas un droit.

On pourrait, enfin, construire la courbe enveloppe qui se trouve décrite par le diamètre générateur, exécutant son mouvement complet entre les deux axes sur lesquels appuient ses extrémités; courbe composée de quatre branches symétriques , et présentant quatre points de rebroussement situés, deux à deux, sur chacun des axes. En lui menant une tangente du point a , le problème se trouvera encore une fois résolu ; et comme il est possible de lui mener , en outre, par ce point , les deux tangentes am et ag , chacune d’elles nous fournira une nouvelle solution : am viendra couper sd en un pointé" cjui donnera la grandeur de la corde sd 1 " des \ de l’angle asf c’est-à-dire du supplément de l’angle donné ; et ag donnera sur sm la corde homologue de son complément.

Il arrive ici ce qui a toujours lieu quand , en résolvant un problème , on s’y prend de manière «à lui conservèr sa généralité : on obtient immédiatement toutes les solutions que ses données peuvent admettre.

En construisant cette courbe enveloppe , on peut remarquer que le cercle ablli occupe les points milieu de la droite mobile dans ses diverses positions, et que tous les autres points de cette même génératrice , situés soit sur sa partie constante , soit sur son prolongement indéfini , décrivent à leur tour une suite d’ellipses. Cette propriété devient évidente dès que l’on regarde la figure comme une projection polaire. 11 va nous être facile d’y reconnaître la perspective du conoïde à double base circulaire, dans le cas particulier où le tableau contiendrait la directrice li-

le Calcul par le traie.

néaire , et où l’œil se trouvcraitplacéau centre de l’un des deux cercles directeurs. La suite des ellipses représente alors les diverses sections de la surface, par une série de plans parallèles au tableau, y compris, comme cas particulier,'^ cercles directeurs et les deux droites directrices, ces dernières correspondant sur la surface à deux ellipses dont le petit axe s’est évanoui.

Ce conoïde est une surface réglée , dont la génératrice mobile est assujettie à s’appuyer constamment sur une droite et sur une circonférence données, tout en restant * parallèle à un plan fixe : génération conforme à celle du paraboloïde, avec celte seule différence que l'une des directrices linéaires de la surface du second ordre se trouve ici remplacée par une circonférence , et que le cqnoïde ne saurait avoir qu’un seul plan directeur.

En admettant que la circonférence directrice se trouve située dans le plan parallèle au tableau qui passe par l’œil, et que nous nommerons plan par l'œil , cette surface comporte une description remarquable par sa simplicité , et surtout par l’usage que les géomètres anciens ont fait des diverses courbes auxquelles elle donne alors naissance ; car ils ont , par son moyen , ramené la solution - des problèmes qui dépassent le second degré à une interpolation par la droite et le cercle.

La simplicité de description du conoïde tient, dans 1 cette circonstance particulière , à ce que la perspective de toute droite a* b rencontre le plan par l’œil à une distance de ce dernier point qui se trouve égale à àb , comme parallèle comprise entre parallèles ; il s'ensuit que, pour assujettir up nombre quelconque de droites à venir percer le plan par l’œil suivant une même courbe, il suffit de donner à chaque perspective , mesurée entre la trace et la limite , une grandeur égale au rayon vecteur qui fait partie de son plan projetant, et qui, partant de l’œil, vient aboutir h cette courbe, et par conséquent des grandeurs

INTERPOLATION GRAPHIQUE. 2f>5

égales au rayon quanti l’œil occupe le centre il un cercle directeur, et aux cordes qui dérivent d’un même point quand il est placé sur la circonférence.

La plus élégante de toutes les projections de ce genre de surface correspond au cas particulier dans lequel, l’œil occupant le centre du cercle directeur, la directrice se trouverait sur le tableau. Alors la surface, dont la limite ab, fig. 10, est toujours linéaire , a , comme le paraboloïde dans une circonstance semblable, une autre droite unique cd pour trace. Chacune de ses génératrices mobiles ef, gh est figurée par une ligne de grandeur constante qui s’appuie à la fois sur la-trace et sur la limite. Cette seule condition suffit pour les déterminer.

Toute section parallèle au tableau y produit une ellipse ; et de plus , quand il arrive que la trace est perpendiculaire de direction à la limite , comme ds et fm dans la fig. 9, la surface étant alors composée de deux nappes égales par rapport à sa directrice ( à sa ligne de striction ), le plan symétrique au plan de l’œil donne un cercle identique abl, occupant sur le tableau lecentre de toutes les génératrices , et ayant en perspective un rayon exactement sous-double de sa véritable grandeur dans l’espace.

Nous venons de voir que ce cercle est lié aux perspectives des éléments linéaires de la surface par une propriété du genre de celles dont les anciens géomètres ont si bien tiré parti : toute génératrice le rencontre en deux points sur le tableau; et en soustrayant la portion d’arc ah, ac , ag qu’une d’elles sous-tend, les deux portions qui restent d’un même côté du plan directeur sont exactement entre elles dans le rapport de 3 à i ; la portion soustriple correspondant au point réel d’intersection du cercle et de la droite ,et par conséquent au centre de sa dimension constante, et l’arc triple à celui où la même génératrice perce le cône dont ce cercle est la perspective.

Cette propriété fait du conoïde la surface là plus con-

ÎÎOÔ

venabie pour obtenir la division ternaire d'un arc , puisque chaque génératrice y donne une solution particulière de ce problème. En appliquant ces remarques aux trois solutions indiquées ci-dessus , il est évident qu’elles se réduisent chacune à mener par a la génératrice du conoïdequi a //«pour trace, ds pour limite, et habl pour cercle symétrique à son cercle directeur ; ou bien encore du conoïde inverti , celui dont la trace se trouve superposée à la limite du premier, et réciproquement.

Quand, au moyen de cette figure, il s’agit de tripler un arc hri, on y parvient par la ligne droite et le cercle, et sans employer d’autre ouverture de compas que celle du rayon h f de l'arc décrit, vu que l’on part alors d'un point connu h sur la surface, et qu’on trouve immédiatement et d’une seule ouverture de compas un second point/’ de la génératrice correspondante.

Mais, pour procéder à l’opération inverse, il faut trouver quelle est celle des génératrices du conoïde qui rencontre une génératrice a * a donnée sur le cône ; et l’on ne peut plus y parvenir que par tâtonnement , c’est-àdire par interpolation , bien que la construction n’exige qu’une droite et un cercle. Mais comme, parmi tous les procédés d’interpolation , on doit évidemment préférer ceux qui ne mettent en œuvre que le cercle et la droite , il est clair que le conoïde devait se trouver la surface la plus propre à conduire à des résultats de ce genre , et c’est ce qui rend si remarquable le choix fait par les anciens géomètres des courbes qui proviennent directement de cette surface pour les appliquer à leurs recherches.

Il est facile de passer des deux cas particuliers que nous venons de discuter au cas plus général dans lequel la ligne directrice ne serait plus parallèle au plan du tableau et du cercle directeur. Nous nous contenterons d’en «iter deux exemples qui se rattachent précisément à la

conchoïde et à la cissoidc, deux des principales courlies inventées par les anciens géomètres, pour résoudre par l'interpolation de la ligne et du cercle les problèmes auxquels ne pouvaient s’appliquer le procédé rigoureux.

Puisque nous sommes libres de donner à la directrice une position quelconque , examinons le cas où elle vient passer par l’œil , celui-ci occupant toujours dans le plan par l’œit le centre de la circonférence directrice. La perspective de la directrice se note a * a, et se réduit au point a , par lequel devront alors passer les perspectives de toutes les génératrices ; et, comme celles-ci doivent encore se trouver constantes de grandeur, il s’ensuit qu’il suffira de mener par le point a , fig. i i , une ligne quelconque , et de mesurer sur sa direction , à partir du point où elle viendra rencontrer la limite linéaire de la surface, et de chaque cdtéde cette ligne cv,deux grandeurs égales au rayon du cercle directeur, pour déterminer à chaque fois deux génératrices , et, par conséquent, deux points de la trace du conoïde. La courbe qu’on obtient dans cette circonstance a reçu le nom de conchoïde , à cause d’une sorte de ressemblance avec les deux portions d’une coquille.

Tout restant conforme aux suppositions précédentes, admettons encore que l’œil , entraînant avec lui la directrice, vienne se placer sur la circonférence du cercle directeur dont il occupait le centre; les génératrices viendront bien encore passer par le point a où se projettera la directrice, mais leur grandeur jie sera plus constante ; et il faudra trouver, pour chacune d’elles, fig. n, la longueur de la corde am que son plan projetant détermine dans le cercle directeur, ce qui s’obtient en projetant ce cercle lui-même, amn , sur le tableau par des ordonnées parallèles à a * a ; les directions des cordes ma s y confondent alors avec celles des génératrices qui leur correspondent ; et il ne s’agit plus que de porter sur ces dernières, à partir de la limite du plan directeur de v en h,

la grandeur am que le cercle intercepte sur elles. La courbe nommée cissoïde correspond au cas particulier de cette figure dans lequel la limite du plan directeur est éloignée du point a d’une distance égale au diamètre du cercle directeur.

En variant les données indiquées ci-dessus, on obtiendra toutes les 4 formes diverses que comporte la section plane d’un conoïde,et principalement la droite, deux droites parallèles , deux droites formant un angle, le cercle , l’ellipse , la conchoïde , la cissoïde , etc.

Puisque nous avons donné le procédé de trisection qui se rapporte au conoïde, il nous reste à faire connailrc comment les anciens obtenaient de la même surface deux moyennes proportionnelles successives entre deux termes donnés. Supposons ces deux termes oa et ob dans un rapport sous-double , ce,qui correspond , comme on sait, au problème de la duplication d’un cube.

Leur solution consistait à placer, fig. 11 , les deux termes du rapport , à partir de l’origine o , sur deux conjuguées rectangulaires oa et ot\ à décrire du point o un cercle avec le plus grand des deux termes pour rayon ; à mener de l’extrémité c du diamètre aoc la ligne bl; et enfin , par l’autre extrémité a, à mener une ligne telle que sa partie Ip , comprise entre la droite le et la circonférence , fût exactement divisée en deux par sa rencontre avec la conjuguée og. Il ne restait plus alors qu’à mener par b une parallèle à la direction ap , et le segment eo déterminé par cette parallèle donnait le côté d’un cube double en volume de celui qui aurait été construit sur ob.

Nous pouvons démontrer l’exactitude de ce tracé , en le comparant à celui qui , dans la partie élémentaire de cet ouvrage , correspond à l’élévation aux puissances : joignons le point e au point g , la droite eg sera parallèle à as , comme complétant un triangle de section egb dans la projection d’une pyramide als , c, dont la base als a

déjà deux côtés al et Is respectivement parallèles à eb et bg. D’une autre part, l’égalité des arcs st et tp établit l’égalité des deux angles ago et sao ; par conséquent , les quatre transversales be, eg, ga , as , sont antiparallèles par couple, si on les compare aux deux conjuguées oa et ot ; donc , elles y déterminent la progression géométrique ob : oe : og : oa, etc. Donc, enfin , si nous prenons ob pour unité, og mesurera la seconde puissance de oe , et oa mesurera son cube ; et comme oa est , par construction , le double de ob , il s’ensuit que les cubes correspondants à oe et à l’unité auront des mesures linéaires exactement sous-doubles , et que leurs volumes seront entre eux dans le même rapport.

Il suffirait de rabattre en ecr le triangle rectangle egc , pour rétablir le trapèze berc à deux angles droits successifs , dont nous avons déjà indiqué la construction , page 3 o , pour résoudre ce même problème des deux moyennes proportionnelles successives entre deux termes.

Nous n’avons pas besoin de faire remarquer que l'égalité des segments Ig et gp , à laquelle on ne peut parvenir que par tâtonnement , détermine l’égalité de la corde ap et de Iq ; que, par conséquent , la génératrice l*q correspond au conoïde qui a pour trace la cissoïde altu , et que l’interpolation se réduit ainsi à trouver le point l où la droite cb perce cette trace superficielle.

Le conoïde étant la pi us simple de toutes les surfaces réglées, après celles du second ordre , devient l’auxiliaire presque obligé de toute interpolation supérieure : rapportons-nous, par exemple, au procédé décrit , page 182, pour mener une tangente à une courbe quelconque ; et on verra bientôt qu’il revient à exécuter le tracé d’une cissoïde irrégulière ou de la trace d’un conoïde auquel la courbe donnée servirait de directrice , etdo*t le plan directeur serait choisi de manière à pouvoir se trouver coupé par la trace superficielle : leur point d’intersection appartient à

la génératrice mobile qui vient passer par l’œil , en même temps que la directrice linéaire ; dès lors le plan qui passe par ces deux droites est tangent n la surface au point où ces droites se rencontrent ; donc sa trace, sur le plan par l’œil , doit se trouver tangente à la section que ce dernier produit dans la surface, c’est-à-dire à la courbe proposée elle-même.

Nous ne saurions mieux terminer ce que nous avions à dire sur l’interpolation graphique , qu’en faisant connaître un des moyens de faire passer une courbe unique par six points : ce sera tout à la fois mettre le lecteur à même de juger des complications introduites dans ce genre de problème par une seule condition de plus , et lui faire apprécier en lûême temps les ressources que présente le conoïde , comme surface interpolatrice.

On pourra toujours, en effet , disposer extérieurement aux six points donnés un conoïde à trace et à limite linéaires , de façon que chacun des six points puisse se trouver sur le prolongement d'une des génératrices mobiles de la surface , et en avant de sa ligne de striction ( de la trace linéaire ) ; dès lors , en construisant six de ces génératrices ( il en existe douze qui satisfont, deux à deux, à cette condition ), chacun des points pourra se trouver assujetti à faire partie de la droite qui lui correspond , et par conséquent à se trouver sur une des nappes de la surface à laquelle ces droites appartiennent. De plus , ces six points ainsi placés pourront également être réunis deux à deux par trois droites qui seront, à leur tour, déterminées parla condition de s’appuyer chacune sur les deux génératrices du conoïde auxquelles appartiennent les deux points particuliers d’où elles proviennent. Mais trois droites déterminent toujours un hyperboloïde réglt^donc , les six points seront assujettis à se trouver à lProis sur les deux surfaces, et feront ainsi partie de leur intersection commune ; il n’y aura qu’à

construire cette courbe, pour satisfaire complètement aux conditions du problème qu’on s’était proposé : on y parviendra en construisant séparément soit l’intersection d’un nombre quelconque de génératrices du conoïde avec la surface gauche, soit l intersection des génératrices de la surface gauche avec le conoïde ; ce qui se réduira pour chacune d’elles .à une épure élémentaire. Si l’on voulait, déplus, obtenir la tangente en un point donné, il faudrait déterminer l’intersection des plans tangents qui correspondent à ce point sur les deux surfaces. Celui de la surface gauche est connu ; et quant à celui du conoïde , il devra contenir et la génératrice correspondante , et la tangente à l'ellipse donnée par un plan parallèle au tableau qui passerait par ce point, conditions qui suffisent pour le déterminer. Cette interpolation, sauf la longueur de l’épure , est donc aussi complète que celles que nous avons déduites des sections planes opérées dans la surface du second ordre; on va juger de sa fécondité : nous avons déjà remarqué que , par rapport au même conoïde, les six points donnés pouvaient chacun occuper deux positions différentes : l’une sur la partie vue , et l’autre sur la partie cachée de la surface. Or, douze points combinés deux à deux donnent naissance à soixante -six droites; sauf les doubles emplois, il est facile d’apprécier parla le nombre de courbes régulières qui sont susceptibles d’étre produites par le meme tracé. Ce serait au dessinateur à choisir des données qui fussent dans le cas de satisfaire le mieux possible au but principal qu’il se proposerait d’atteindre en opérant ainsi la réunion des six points donnés.

Il est évident qu’un cône disposé de manière à ce que les mêmes six points fussent assujettis à se trouver à la fois sur une de ses nappes , pourrait encore ici remplacer avantageusement le conoïde. On sent que si les points se trouvaient sur deux nappes différentes , tant sur le conoïde

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que sur le cône , la courbe d’intersection aurait nécessairement un point singulier si le sommet du cône ou la ligne de striction du conoïde touchait ou rencontrait l’hyperboloïde sécant , et deux branches séparées dans le cas contraire.

Toutes ces considérations ne sont ici mentionnées que pour bien faire apprécier la portée de la méthode que nous avions à exposer ; mais , comme il est assez difficile de prévoir le cas où l’on pourrait avoir à faire passer une courbe unique par six points donnés , et où il serait absolument interdit d’y procéder au moyen d’une suite d’arcs paraboliques tangents , nous avons dû nous borner à indiquer la solution la plus générale de ce problème , sans avoir à exposer les simplifications que l’exécution matérielle de l’épure pourrait comporter. C’est aussi à ces dernières considérations que se bornera la partie de cet ouvrage consacrée à l’interpolation graphique.

CONDITIONS DE STABILITÉ DES MURS ET DES TOUTES. 2l3