QUATRIÈME PARTIE

APPLICATION DES PROCÉDÉS DU CALCUL GRAPHIQUE A LA SOLUTION DE DIVERS PROBLÈMES DE STABILITÉ.

Ce titre correspond à une section tout entière du calcul par le trait dont la partie élémentaire bien connue a déjà été publiée depuis longtemps. Nous ne chercherons pas, en conséquence, à reproduire ici sous une autre forme la théorie de la statique géométrique développée par Monge avec tant d’élégance et de simplicité ; nous n’aurons , dans ce qui va suivre , qu’à nous en référer aux constructions et aux principes consignés dans cet ouvrage , comme nous l’avons déjà fait , dans ce qui précède , par rapport aux éléments de géométrie pure.

Nous ferons, toutefois, précéder cette quatrième partie de quelques remarques préalables destinées à en faciliter l’intelligence :

Dans les éléments de statique, les forces sont invariablement représentées en grandeurs linéaires ; tandis que , pour résoudre les problèmes qui composent la présente section , nous aurons fréquemment occasion de les considérer comme représentées par des grandeurs superficielles ; et on conçoit qu’il pourrait arriver telle circonstance où il convînt de les représenter par des grandeurs cubiques. Les considérations développées dans les sections précédentes justifient suffisamment l’emploi de ces moyens divers de représentation ; puisque nous serions toujours libres d’exprimer linéairement ces grandeurs cubiques ou superficielles , ce qui ramènerait la représentation des forces à la forme spécialement consacrée par les éléments de statique.

Kn conséquence, pourvu que nous ne perdions pas de

vue les conditions qui lient chaque force à son signe représentatif, nous serons libre d’employer celui de ces signes qui se prêtera le mieux au genre de démonstration que nous aurons adopté. Il convient de rappeler encore , à ce sujet , que dès que l’on représente une force par une surface ou par un cube, la direction dans laquelle cette force agit passe nécessairement par le centre de gravité de l’ensemble superficiel ou cubique qui lui correspond.

Aussi les considérations de force donnent-elles un moyen très-simple d’indiquer la position du centre de gravité d’un triangle et d’un quadrilatère.

Composez deux côtés d'un triangle , son centre de gravité se trouvera au tiers de leur résultante , à partir du point d application commun.

Composez les quatre segments des diagonales d’un quadrilatère , envisagés deux à deux comme des forces opposées de direction , son centre de gravité se trouvera au tiers de leur résultante , à partir du point d'application commun. C’est en abrégé la formule déjà donnée , p. io3.

Quand deux surfaces pesantes , c’est-à-dire , donnant la mesure d’une force , agissent aux extrémités des bras d’un même levier, pour qu’il y ait équilibre entre elles il faut, comme on sait , que chaque surface multipliée par le bras correspondant donne un produit identique ; ce qui revient à dire que les cubes qui auraient ces surfaces pour base et ces bras de levier pour hauteur, seraient équivalents entre eux. Donc , dans un même parallélipipède rectangle, chaque face prise pour force , et chaque hauteur correspondante prise pour bras de levier, donneront des moments égaux; et, de plus, cette égalité de moments ne cessera pas d’exister dans tous les changements rectangulaires que le parallélipipède pourra subir tout en conservant le même volume. Quand les forces seront représentées en grandeurs linéaires , l’égalité des moments se

réduira , par une raison semblable , à une équivalence de surface.

Moyennant ces explications , il va nous être permis d’aborder immédiatement les questions suivantes, dont la solution va dépendre de l’art du trait appliqué à la mécanique.

On demande quelle est l'épaisseur qu’il convient de donner à un mur dans les différents cas où ce mur aurait à résister i° à la pression exercée par un liquide parfait; u° à la même pression dépendant d’un liquide imparfait ; 3? à l'effort de poussée d’une masse de terre dont les éléments une fois rapprochés seraient susceptibles de cohésion ; 4° à l’effort de poussée d’une voûte en berceau ; 5° à l’effort simultané d’un liquide et d’une voûte.

On peut remarquer d’avance que , dans toutes ces questions, la longueur du mur peut être négligée; il suffit, pour cela , de la supposer constamment ramenée à l’unité linéaire. Chacun de ces problèmes se trouvera réduit, par conséquent , à trouver la surface transversale que doit offrir le mur cherché ; cette dernière étant considérée , tout à la fois , comme supportant la pression et obéissant à la pesanteur.