HORIZONTALE

Nous allons d’abord résoudre la question qui nous occupe , en supposant au mur la même pesanteur spécifique que celle du liquide qu’il a à soutenir, ou , en d’autres termes, en admettant que le mur est une portion solidifiée de ce liquide , ce qui nous donnera une épaisseur applicable à un liquide quelconque. Nous indiquerons ensuite comment on passe de cette solution spéciale à celle qui correspond à un liquide , et à un mur de nature également arbitraire.

Soit ah (PI VI , fig. i ) la hauteur d’un mur qui doit

faire équilibre à une lame de liquide indéfinie ah AH. Cette lame exercera au point h une pression nulle, puisque sur toute la ligne AH les molécules sont en équilibre , et n'ont à transmettre aucune pression qui ne soit équilibrée. Au point a la pression, exercée perpendiculairement au mur, sur l'élément linéaire de surface, seraégale à celle que supporte en ce point le fond même du réservoir, égale, par conséquent, au poids d’une colonne de liquide d’une hauteur ah ; et généralement la pression en un point quelconque situé le long de ah , sera mesurée par une colonne de liquide égale en hauteur à l'enfoncement de ce point au-dessous du niveau supérieur. Si l’on construit , en conséquence , sur ah un triangle isocèle rectangle haA , si l’on suppose en outre les diverses tranches de ce triangle rendues solides comme le mur, et sollicitées par une force de direction horizontale, et identique du reste à la pesanteur, les éléments superficiels de ce triangle exerceront sur la ligne ah le même effet de pression qu’exerçait la tranche liquide. Nous pourrons donc substituer son action à celle que nous avions à considérer.

Le problème se trouve ainsi ramené à déterminer un rectangle pesant, ayant ah pour hauteur, et tel que le moment de son poids, autour de son angle extrême de base b , soit équivalent au moment du triangle que nous venons de déterminer, pris par rapport au même point , et en supposant la surface de ce dernier soumise à l’action de la pesanteur dirigée dans le sens horizontal.

Le moment du triangle sera égal à sa surface ( égale ellemême à la moitié du carré construit sur ah), multipliée par la perpendiculaire abaissée du point de rotation sur la résultante des forces qui le sollicitent, soit une horizontale passant par son centre de gravité : ce qui donne 7 de ah pour la valeur de ce bras de levier perpendicu-

Jaire ; et f —

ah . . .

X pour 1 expression cubique du moment

cherché que nous pouvons encore exprimer en facteurs linéaires, par [ah) X , en adoptant { ah pour unité

de mesure de la surface triangulaire.

D’un autre côté le moment du mur cherché , pris par rapport auméme point, est égal à la surface rectangulaire de son profil , multipliée par un bras de levier égal à sa demiépaisseur; mais si, pour rendre les deux forces comparables, on rapporte cette surface à la même unité linéaire, soit à la moitié de sa hauteur, ellesera mesurée par deux fois l’épaisseur cherchée , donc ce moment se trouvera exprimé à

son tour en facteurs linéaires par [ix) X — ; et en exé-

cutant la multiplication , la mesure superficielle de ce moment sera donnée par [x ') , soit une surface égale au carré construit sur l’épaisseur cherchée.

En comparant les deux moments obtenus , on voit que, pour qu’il y ait égalité entre eux , il faut que le carré construit sur l’épaisseur cherchée soit égal au tiers du carré construit sur ah.

On obtiendra donc l’épaisseur du mur fictif , en construisant une moyenne proportionnelle entre ah et j de ah.

,, . , ah ,

Ge qui revient a porter — de a en c , et a construire

un demi-cercle sur A c , pris pour diamètre. L’ordonnée correspondante au point a donnera de a en al l’épaisseur cherchée , que nous appellerons épaisseur normale et qui correspond ici au cas d’équilibre strict.

Ayant ainsi l’épaisseur du mur fictif de pesanteur spécifique équivalente à celle du liquide , dimension entièrement indépendante de la pesanteur du liquide que l’on considère , et qui , par conséquent , s’obtient dans tous les cas par un tracé identique , et dans lequel il ii’y a de variable que la hauteur ah du mur, pour en déduire l’épaisseur d’un mur réel en maçonnerie de même hauteur et

de résistance équivalente , il va nous suffire d'avoir égard à la différence de pesanteur spécifique qui existe entre le mur fictif que nous venons de déterminer , et le mur réel qu’il s’agit de lui substituer.

P=Aô’ étant en grandeur linéaire celle du liquide, soit p = aA. celle du mur réel à construire.

11 est clair que nous arriverions à un résultat identique, si d’un côté, sans rien changer au poids élémentaire primitif, nous augmentions la hauteur du rectangle normal dans le rapport donné P : p , et si, de l’autre, la surface restant invariable, nous admettions, comme nous avons à le faire , que sa pesanteur spécifique fût augmentée dans le même rapport. Nous pouvons donc substituer au mur cherché un troisième mur dont la pesanteur spécifique P n’aura pas varié , mais dont la hauteur , comparée avec ah , serait égale à celle-ci projetée dans le sens de P à p ; car, à base égale , ces deux derniers murs étant de même poids présenteront des moments identiques.

En adoptant toujours pour unité de mesure ~ ah , le moment superficiel du troisième mur sera égal, d’après ce que nous avons déjà exposé, à autant de fois le carré construit sur son épaisseur que la hauteur ah est contenue dans sa propre hauteur : égal par conséquent à la surface x 1 ', en appelant x' l’épaisseur cherchée , projetée dans le rapport P : p. Ce moment superficiel , pour qu’il y ait équilibre, doit être équivalent à celui du mur fictif, lequel, par la même raison , se trouve mesuré à son tour par le carré x' construit sur sa propre épaisseur, que nous avons appelée épaisseur normale. Donc , enfin , en projetant ce dernier carré dans le rapport inverse p : P , nous obtiendrons la surface qui se trouve égale à x!'. Mais , pour projeter un carré dans les termes qui constituent un certain rapport , il suffit de projeter son côté dans le rapport des racines carrées des deux termes donnés ; et, comme la grandeur obtenue par la construction qui résout

ce dernier problème est précisément le côté d’un carré équivalent à la nouvelle surface , il s’ensuit qu’on trouvera immédiatement l’épaisseur x' cherchée en projetant l’épaisseur normale x dans le rapport inverse des racines carrées des deux pesanteurs spécifiques , soit dans le sens de \/p à J/P.

Nous avons indiqué dans les éléments le tracé particulier qui résout ce problème : il consiste à construire un demi-cercle sur la somme A b' des deux termes p , P qui figurent dans ce rapport, et qu’on traduit pour cela en grandeur linéaire ; à élever une ordonnée au point a où les deux termes s’aboutent ; à prendre pour conjuguées le diamètre et l’ordonnée, et à projeter entre elles l’épaisseur normale aa! parallèlement à la corde qui joint le sommet de l’ordonnée à l’extrémité libre h du second terme du rapport.

Moyennant cette dernière partie de la solution, dans tous les problèmes du même genre qui vont successivement nous occuper nous pourrions à la rigueur nous contenter de donner l'épaisseur normale du mur de pesanteur spécifique équivalente à celle de la matière à soutenir, puisque cette dimension nne fois trouvée fournit par le tracé précédent celle qui correspond à un mur composé de matériaux d’une nature donnée , et dont on connaît le rapport de pesanteur spécifique à celle du mur fictif. Cette solution suspendue est même, en quelque sorte , la plus rationnelle de toutes , puisque c’est d’un rapport nécessairement variable que dépend l’épaisseur réelle à donner aux diverses maçonneries qu’on peut avoir à exécuter; épaisseur qui, par conséquent, ne saurait être donnée à priori que dans des cas exceptionnels. C’est peut-être en partie à l’oubli de cette vérité qu’il faut attribuer les différences notables que présentent les diverses formules qui ont été publiées jusqu’à ce jour pour déterminer l’épaisseur à donner aux murs de soutènement.

CAS DES LIQUIDES IMPARFAITS, DANS LESQUELS L'ÉCOULEMENT S'ARRÊTE QUAND LES MOLÉCULES ONT A GLISSER SUR UN CER- TAIN ANGLE.

Supposons que le mur qu’on se propose de construire ait à résister à l’effet de la poussée d’un fluide imparfait , composé d’un assemblage de molécules désagrégées qui , en glissant les unes sur les autres, exercent entre elles un certain frottement, et qui, par conséquent, au lieu de s’écouler en totalité quand elles ne sont pas retenues par un obstacle vertical , cessent de se mouvoir avant d’avoir atteint le niveau , et se maintiennent en équilibre sous une inclinaison constante dite talus naturel , suivant laquelle le frottement qu’exerce chaque molécule fait équilibre à l’action de sa propre pesanteur. Le sable pur, les terres sablonneuses , les graviers , le sel , les céréales peuvent être rangés dans cette catégorie.

Soit AH ah PI. VI , fig. 2 , la tranche de liquide imparfait qu’il s’agit de soutenir, et soit «H le talus naturel qu’il prendrait s’il pouvait s’écouler librement par dessus le point a. Le problème sera résolu si nous parvenons , comme dans le cas précédent , à représenter par une surface pesante la pression horizontale que supporte la ligne ah et à déterminer par suite l’épaisseur normale du mur fictif de pesanteur spécifique équivalente qui lui ferait équilibre.

Le point h ne supporte aucune pression, puisque la molécule correspondante est en équilibre sur l’élément de talus naturel qui se manifesterait immédiatement au-dessous d’elle ; le point a supporte la pression que la molécule en regard peut lui transmettre; or, si le liquide était parfait, nous avons déjà vu que ce point supporterait dans toutes les directions, et par conséquent dans la direction aH , une pression mesurée par une colonne de liquide égale en hnuteifr à ah. Cette pression sera donc représentée en grandeur et en direction par ah'.

Mais, pour avoir égard à l’ellet du frottement , il faudra diminuer cette force delà portion h'b'— h! b qui représente également en grandeur et en direction la valeur du frottement pour une molécule pesante placée sur le talus naturel et dont le poids serait mesuré par ali.

La force qui agirait au point a , dans le sens Ha, et déduction faite du frottement, sera donc mesurée par b a. Et comme cette force , quand on la dégage du frottement , redevient celle d’égale pression , ab" — ab sera la base du triangle pesant dans la direction horizontale qui représentera l’eflet de la pression du liquide que nous avions a considérer. Le problème se trouvera ainsi ramené à une forme absolument semblable à celle qui nous a permis de résoudre le précédent. Dans ce cas-ci , les deux moments à comparer doivent encore, pour qu’il y ait équilibre, ofFrirdes surfaces qui soient égales entre elles, ce qui exige que le rectangle b" a X 7 ali soit équivalent au carré construit sur l’épaisseur normale cherchée. Cette épaisseur doit donc être moyenne proportionnelle entre ab' et j ah. Construisant cette grandeur , on obtient en aa! et pour le cas d’équilibre strict l’épaisseur normale cherchée.

Dans ce cas particulier , en admettant que ac l ab" comme 1 : i, 5 oetque ces deux lignes représentent également le rapport des pesanteurs spécifiques du mur fictif au mur réel , le point c donnera en grandeur et en position l’épaisseur du mur à construire.