DÉTERMINATION DU PRISME DE PLUS GRANDE POUSSÉE

Quand les molécules terreuses que le mur doit soutenir sont susceptibles d’adhérer entre elles après avoir subi un certain rapprochement, la pression qu'elles sont dans le cas d’exercer contre le mur qui les supporte se trouve nécessairement modifiée par suite de l’eflét qui

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s’est opéré pendant la construction par l’entassement et le damage ; dès lors elles ne se détachent plus que par masse, et ne peuvent plus s’écouler suivant le talus naturel quelles affectaient étant désagrégées.

Une fois soumises à cette influence, pour apprécier leur effet de poussée il faudrait pouvoir connaître à priori la ligne de rupture suivant laquelle s’opérerait la disjonction de la masse soutenue , à l’instant où le mur cédant à l’effet de la pesanteur, l’équilibre se trouverait rompu. A défaut de cette donnée , on suppose que cette rupture aura toujours lieu de manière à détacher de la masse le prisme qui , pour être soutenu, exigerait le plus grand ellort de résistance horizontale, et c’est à l’effet produit par ce prisme que le mur est censé devoir faire équilibre : on est certain que la force du mur ainsi déterminée correspondra au plus grand effort qu’il peut être exposé à supporter.

Soit ak o fig. 3 , le nu intérieur d’un mur de soutènement, soit ah e le talus naturel qu’affectent les terres que ce mur doit soutenir, quand elles sont fraîchement remuées. , D’après ce que nous venons d’exposer , il s’agit , avant toute recherche ultérieure, de trouver quel est le prisme de plus grande poussée susceptible de se détacher de la masse , après que ces terres auront de nouveau contracté adhérence.

Comme la ligne de séparation de ce prisme sera nécessairement comprise entre la ligne de talus naturel ah 6 et la paroi verticale du mur, nous diviserons cet espace en un certain nombre de prismes élémentaires ahh g , ahh x , etc., et nous chercherons , par interpolation, celui d’entre eux qui correspond au maximum de poussée. On admet que le joint de séparation s’effectuera suivant une direction rectiligne , parce que cette supposition est la plus désavantageuse, vu que le frottement exercé sur une surface courbe se trouve augmenté de toute la résistance que produit alors l’engencement du relief et de l’incrustation.

Si , dans cette figure , nous prenons encore pour unité linéaire { ah , les surfaces de chacun des prismes compris entre la paroi ah et une des lignes de division seront mesurées par les distances hh t hh t hh 3 , etc. ; ces distances pourront donc représenter en grandeur linéaire la force de pesanteur qui sollicite chacun de ces prismes, et ces forces décomposées perpendiculairement au joint de rupture correspondant , donneront en h t d ,, /», d t h , d 3 , etc., les pressions supportées par ces divers joints ; et en h d ' , hd t , hd 3 etc., la force de translation des prismes le long de ces mêmes joints. De plus, chaque pression projetée à termes superposés et distincts entre les ordonnées ah et hd 6 , dans le sens de hd t à d s a , donnera la valeur du frottement qui, dans chacune des suppositions de rupture, s’oppose à la descente du prisme sur son joint de glissement, valeur qu’il faudra déduire de la force de translation déjà trouvée pour obtenir la force réelle qui se manifesterait dans le sens de chaque joint. Après avoir opéré cette soustraction à partir du cercle d t d t d } , si par l’extrémité des restes oti fait passer une courbe, elle fournira par ses rayons vecteurs hi l hi t hi 3 la valeur comparative des forces de translation réelle que nous avons à considérer , et par ses ordonnées parallèles à ah la valeur correspondante des pressions libres. Il sera donc très-facile de déterminer à quels joints appartiennent ces deux maxima qui correspondent ainsi au cas dans lequel un nombre quelconque de prismes juxtaposés glisseraient librement sur le dernier des plans de joints par lequel chaque masse se trouve terminée.

Mais , si nous admettons qu’un mur vertical s’oppose au mouvement de ces masses diverses , la résistance déployée par l’obstacle équivaudra à une force horizontale , qui , combiné avec l’action du plan incliné, doit faire équilibre à la force de translation que nous venons de déterminer. Or , toute force nouvelle qui n’est pas exercée

dans le sens même du joint, donnera naissance à une nouvelle pression qui aura pour résultat d'augmenter le frottement produit par le prisme reposant en liberté sur ce joint , et de réduire d’autant la force de translation libre qui se développerait si , comme nous venons de le supposer, la masse pouvait y glisser sans rencontrer d'obstacle.

Nous avons donc à chercher quelle est cette force horizontale que le mur aura à développer , dans les diverses suppositions de rupture que la figure comporte , pour faire équilibre à la masse correspondante. On voit déjà , d’après les considérations précédentes , que cette force , décomposée suivant la direction du joint que l'on considère , et augmentée du frottement que sa pression normale y détermine, doit, par l’ensemble de ces deux actions, faire équilibre à la force effective de translation que le prisme en liberté développerait en glissant sur ce même joint , forces que nous avons déjà trouvées , et qui sont données par les rayons vecteurs de la courbe dont le pôle est au pointai , et dont le maximum tombe entre les joints 4 et 5.

En considérant ( fig . 4) le joint ah , par exemple, nous admettrons qu’il supporte en o une pression horizontale quelconque égale à om ; cette force aura pour composantes les deux forces nm et on , l’une dans le sens même du joint, ,

et l’autre normalement à sa direction. Le frottement dû à cette dernière ayant été déterminé , sera porté de m en y, additionnellement à la force de translation ; et nous pourrons immédiatement en conclure qu’une force om appliquée horizontalement suffira pour faire équilibre à une force verticale dont ^la composante de translation ( tou- * jours déduction faite du frottement) serait égale à nf. Donc , si op représente le poids du prisme , et si st mesure le frottement dû à sa composante de pression ps , nous n’aurons qu'à diviser la force de translation réelle ot en deux segments proportionnels à nm et rnf, et le segment

homologue à nm nous fournira la composante de la force que nous cherchons.

On elïectue ce tracé en menant par t une parallèle à of jusqua la rencontre e de no, et par ce point une parallèle ei à to ; ces deux dernières lignes sont égales par construction , et la première se trouve divisée au point i dans le rapport demandé. Donc oi sera la valeur de la pression horizontale qui maintiendrait en équilibre le prisme sollicité par une force de pesanteur mesurée par op.

Cette manière de déterminer la force horizontale qui maintiendrait le prisme en équilibre , n’est pas à beaucoup près la plus simple : nous la donnons ici , parce que cette décomposition des forces va nous servir plus tard à déterminer le point d’application de la pression correspondante.

Nous pouvons remarquer que parmi toutes les directions qu’est susceptible de prendre une force unique par laquelle on peut supposer le prisme ha exclusivement sollicité , il en est une telle que , sous son influence , ce prisme doit se trouver exactement en équilibre sur son plan de glissement : c’est celle qui serait capable de développer, sur ce plan , un frottement égal à sa propre composante de translation. La ligne pz , qui fait avec la normale ps l’angle qu’aflecte le talus naturel , donne évidemment cette direction particulière. Donc , quand nous supposons ce prisme sollicité par une force de pesanteur °P - >1 doit nous suffire , pour le maintenir en équilibre , de lui appliquer une force horizontale qui , combinée avec celle-ci , détermine une résultante qui affecte précisément la direction pz.

La grandeur oz , comprise entre le point o et la ligne pz , mesurera cette lorce horizontale particulière qui se trouve nécessairement égale à io , puisque la somme oi de sa composante de translation et de son frottement se trouve égale par construction à e\>.

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Cette nouvelle manière d’obtenir la force horizontale est celle que nous adopterons de préférence; appliquée à tous les prismes de la Jig. 3 , elle correspond à une interpolation qui se traduit par une courbe à ordonnées orthogonales. Ainsi, pour le prisme qui a pour mesure hh e , c’est cette ligne , dont la direction se confond avec la pesanteur, qui fait avec la normale ah 6 l’angle du talus naturel ; la force horizontale à ajouter ici est donc nulje. Pour le prisme ahh s , dont le joint a tourné sur le précédent d’un angle élémentaire , la ligne qui se confondait en h 0 h se sera écartée d’un même angle ; et en élevant une horizontale à l’extrémité de hh s , qui figure en grandeur et en direction le poids du nouveau prisme , sa portion interceptée h/n sera la grandeur de la foree horizontale cherchée , grandeur qui nous fournira avec plus de simplicité la construction symétrique exécutée sur l’angle h/in 5 . Donc , enfin , appliquant le même tracé auÊ autres prismes , et réunissant par une courbe le sommet de toutes ces ordonnées ainsi obtenues , l’ordonnée maxima h 3 n s nous fera connaître à la fois , par sa dimension , la grandeur de la force horizontale qui doit faire équilibre au prisme de plus grande poussée, et par son origine, en nous indiquant de h en h 3 la mesure de la surface de ce prisme , elle donnera un des sommets qui correspond à cette mesure.

En remarquant que cette courbe est déterminée par quatre ordonnées égales deux à deux , selon qu’elles proviennent , par couple, des lignes de division qui procèdent par angles égaux , à partir du point h et du point d e , et que , par conséquent , les cordes nn l n/i t qui réunissent les extrémités de chaque couple se trouvent horizontales , il est facile d’en conclure que la tangente correspondant + à l’ordpnnée maxima , soit la dernière corde horizontale , proviendra de la ligne qui divise en deux parties égales l’arc hd t , et par conséquent l’angle compris entre le

nu du mur et le talus naturel ; et que cette ligne détachera, dans tous les cas semblables , le prisme cherché de plus grande poussée.

La grandeur de la force étant trouvée, il ne s’agit plus que de pouvoir connaître son point d’application. Remarquons d’abord que , dans le cas d’une cohésion absolue , celui de la force op qui sollicite le prisme Ha (/ ïg . 4 ) n’est pas lui-même invariablement déterminé : on pourrait d’abord croire qu’il se trouve au centre de gravité superficiel ; mais, non - seulement ce centre de gravité peut s’élever et descendre dans le prisme sans que la force réelle de translation ot change de valeur, mais ce centre de gravité pourrait encore se mouvoir horizontalement sur om sans produire plus de changement dans cette même force.

Nous pourrons évidemment en conclure : la même incertitude pour la force horizontale oz que nous avons à lui opposer; en quelque point de la ligne qu’on la suppose, en effet, appliquée, si on la combine avec l’effet du plan incliné , elle produira toujours une force de translation ei et un frottement iV identiques ; et la somme de ces deux forces fera nécessairement équilibre à la force de translation of, qui reste elle-même invariable d’intensité et de direction. Donc, si nous divisons cette force horizontale en deux, les deux composantes pourraient être égales, tout en conservant la même incertitude du point d’application ; donc , enfin , en quelque nombre de forces élémentaires que nous divisions cette force, chacune d’elles pourra se trouver égale à toutes les auLres. Mais opposer une ligne ah , qui doit faire obstacle par sa résistance au mouvement du prisme dont la ligne correspondante marche parallèlement à sa direction , c’est substituer une pression superficielle à une force; c’est diviser la force en une infini té décomposantes élémentaires toutes égales , puisqu’il n’y a aucune raison qui justifie leur inégalité , et dont le point d’application se trouve ainsi déterminé ; donc, enfin,

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quand on voudra calculer le moment de cette pression particulière, par rappdrt à un point extérieur au prisme, il faudra supposer son centre d’action situé au centre de la ligne qui la supporte.

Admettons maintenant que , dans la fig. i , la surface supérieure du liquide ait un poids quelconque à supporter en surcharge , le triangle Aah deviendra un trapèze dans lequel , à cause du principe d’égalité de pression , la ligne A 'h' sera parallèle à Ah ; le centre de gravité de la nouvelle surface s’élèvera bien au-dessus du tiers de ah, mais il ne pourra jamais atteindre jusqu’à la moitié, vu que cette sur-élévation correspondrait à une surcharge inflnie.

Nous venons de voir qu’il faudrait admettre une cohésion absolue pour que le centre d’applicatiou de la pression des terres s’élevât à £ ah : dans le cas d’une cohésion relative , il restera donc constamment en dessous , et il redescendra au tiers quand cette cohésion deviendra nulle, c’est-à-dire quand la fluidité redeviendra absolue.

Nous en conclurons , en conséquence , que ce centre d’application ne saurait dépasser ces deux limites.

Or, dans le cas d’une cohésion imparfaite (celui que l’on a presque toujours à traiter dans la pratique ) , soit que les terres arrasent le mur de soutènement, soit qu’il y ait surcharge, on ne saurait trouver le point d’application précis delà force qu’elles exercent, sans avoir recours à une interpolation basée sur des suppositions plus ou moins rigoureuses ; mais nous venons de voir que la limite des erreurs que l’on peut commettre à ce sujet est très-restreinte, puisque toutes ces variations ne descendent pas au-dessous du tiers , et ne s’élèvent pas à la moitié de la hauteur du mur; il s’ensuit que nous pourrons s supposer que le centre d’application s’élève proportionnellement à la cohésion et à la surcharge , qu’il correspond au ~ dans le cas où il s’agit de soutenir des'terres végétales ordinaires , et qu’il s’élève à 77 quand ces mêmes

lerres ont h transmettre l’effort d’une surcharge qui ne dépasse pas la hauteur même du mur. Cette manière d’arbitrer le lieu du centre d’application serait, en quelque sorte , un vice de la méthode , si son influence ne devait pas être annihilée par une autre opération du même genre, et d'une importance bien plus marquée : nous voulons parler du degré de stabilité qu’on doit donner au mur, en sus de l’état d’équilibre ; question encore plus difficile à résoudre que la précédente, puisqu’elle n’est pas comprise dans des limites aussi étroites.

Voici comment on y parvient, une fois pour toutes : après avoir déterminé l’épaisseur du mur dans le cas d’équilibre strict , on compare celle-ci à l’épaisseur fournie par un grand nombre d’anciens murs , pris pour exemple , et l’on cherche quel est le coefficient dont il faudrait aflecter le moment de poussée, pour que le mur projeté se trouvât dans les mêmes conditions d’équilibre que la généralité des murs auxquels on le compare parmi ceux qui ont déjà reçu la sanction de l'expérience- Or , comme ce coefficient se trouve assez élevé i le génie militaire a adopté 1.80), il s’ensuit que, devant une modification aussi importante, l'incertitude du point d’application , qui correspond à peine à un douzième dans la variation de ce moment, peut sans erreur sensible se trouver arbitrée, comme nous venons de le proposer.

Le prisme de plus grande poussée , ou plutôt la pression h 3 n 3 qui lui correspond , et qui est censée appliquée au de la hauteur ah , étant connue , en se rappelant que cette force linéaire représente une surface pesante rapportée à l’unité \ ah , il s’ensuit qu’en négligeant cette unité son moment superficiel sera mesuré par h 3 n 3 X ; 7 , ah. Dans les mêmes circonstances , celui du mur cherché sera toujours x’; donc, le carré construit sur x devra égaler ce rectangle en surface.

La figure précédente n’est compliquée que parce qu'elle

a 3 o LE CALCUL PAR LE TRAIT.

suppose le prisme de plus grande poussée encore inconnu ; en admettant que , dans tous les cas , la ligne de solution qu’affectera ce prisme divise en deux parties égales l’angle formé par le talus naturel et la verticale , la construction reprend toute sa simplicité désirable.

Ainsi op = od représentant , ftg. 5 , le poids du prisnje de plus grande poussée aod , ce qui exige qu’on prenne encore pour unité -oa , le tracé de la fig. 4 identiquement reproduit dans celle-ci nous donnera en oz la valeur de la pression horizontale qui doit faire équilibre à la force de translation du prisme. Cette pression étant linéairement représentée, son moment sera mesuré par le rectangle oz. y- t ah , lequel devra être égal au carré construit sur l’épaisseur normale cherchée oc ; nous n’aurions donc qu’à appliquer encore à cette dimension l’opération finale qui sert à ramener l’épaisseur du mur fictif à celle du mur réel qu’on aura eu l’intention de construire.

Pour passer enfin , dans cette même figure , du cas d’équilibre strict à celui d’équilibre stable , en supposant pour cela que l’on adopte 1.80 pour le coefficient de stabilité, on projettera le bras du levier om = ~j ah dans le sens de i à i .80 , ce qui revient à porter de o en n les sept dixiémes de ah , et l’on obtiendra l’épaisseur normale ob correspondant à l’état stable , épaisseur qu’il suffira de projeter encorfe dans le rapport des racines carrées des pesanteurs spécifiques des maçonneries et des terres , pour avoir l’épaisseur du mur réel oi qui correspond à l’état d’équilibre stable. Une opération analogue compléterait toutes les autres opérations de ce même chapitre dans lesquelles , pour plus de simplicité, nous nous sommes borné à donner l’équilibre strict.

' CONDITIONS DF. STABIMTÉ DES MURS ET DES VOUTES. l3l