CAS OU LES TERRES S'ÉLÈVERAIENT AU-DESSUS DU MUR

EN SURCHARGE TALUSSÉE.

Tout étant comme dans le problème précédent , nous pouvons supposer encore que les terres dépassent en hauteur le mur qui les soutient , et qu’elles s’élèvent en surcharge soit artificiellement, soit naturellement talussée, au-dessus de son couronnement , en se profilant suivant la ligne hp H, PI. VI , fig. 6; il suffirait, par exemple, de gazonner le talus pour lui donner une* inclinaison artificielle supérieure au talus naturel des terres.

Pour résoudre ce nouveau problème , il faudra encore chercher le prisme de plus grande poussée , en appliquant à cette recherche un procédé d’interpolation tout à fait analogue à celui que nous venons de faire connaître , mais dans lequel il faudra , pour chaque prisme partiel , tenir compte de l’effet de la portion de surcharge qui lui correspond. On y parviendra par le procédé que nous allons indiquer, et qui, étant de nature à s’appliquer à un prisme quelconque , convient également soit à la recherche de ce prisme particulier , soit à la détermination de la pression nécessaire pour lui faire équilibre , quand une fois l’inclinaison correspondante au maximum se trouve connue.

Soit donc, 6 , ah la hauteur limitée du mur , et soitaH la ligne qui détermine un des prismes élémentaires dont on cherche à connaître la poussée.

Nous avons d’abord à évaluer linéairement la force agissante, mesurée par la surface du quadrilatère ahp H , en prenant pour unité linéaire la grandeur \ ah.

D’après ce que nous avons déjà exposé en traitant des surfaces , nous obtiendrons cette mesure soit en appliquant sur la diagonale ap une règle à tranches parallèles , d’une largeur égale à ah , soit, à défaut d’un pareil instrument , en décrivant un arc de cercle du point a comme centre ,

23a UE CALCUL PAR LE TRAIT.

avec un rayon ah , en menant par p une tangente à cet arc , et en déterminant sur cette tangente la portion op, interceptée entre les deux parallèles à la diagonale , menées par les deux sommets du quadrilatère qui lui sont opposés.

Cette grandeur une fois connue , l’épaisseur du mur s’obtiendra, sauf le point d’application de la force, comme s’il n’existait pas de surcharge , et que le mur eût à résister à un prisme de pesanteur équivalente au quadrilatère uûpH, et dont la base horizontale supérieure égale à op f affleurerait son couronnement, le plan de glissement et le talus naturel restant les mêmes.

Nous porterons donc op s de b en c j nous déterminerons la ligne cd qui fait avec la normale un angle égal au talus naturel ; et , d’après ce que nous avons déjà expliqué , fig. 5 , la grandeur interceptée entre le point b et la direction cd mesurera la force de pression horizontale que doit pouvoir supporter le mur pour faire équilibre au quadrilatère. Nous trouverons donc l’épaisseur normale en construisant une moyenne proportionnelle entre ^ ah et bd\ et nous parviendrons à l’épaisseur réelle en projetant cette moyenne proportionnelle dans le rapport inverse des racines carrées des pesanteurs spécifiques des terres à soutenir et du mur à construire.

Deux tracés différents correspondent dans la figure à cette dernière opération : l’un donne l’épaisseur d’un mur de briques de 1.600 kil. le mètre cube , et l’autre celle d’un mur en maçopt criiPHe' moellons de igookil. lem. c. , les terres étant, dans les deux cas, évaluées à i3ookil.

La fig. y présente , dans ses détails lçs plus circonstanciés , tout le tracé de l’épure qui sert à déterminer l’épaisseur d’un mur de soutènement ayant à supporter des terres en surcharge : ah est la hauteur donnée du mur ; hp t H le profil des terres dans leur partie supérieure au couronnement ; Ha A l’angle de talus naturel ; a 1 , ai, a3, etc.,

CONDITIONS DE STABILITÉ DES MERS ET DES VOUTES. a33 sont les subdivisions prismatiques suivant lesquelles on suppose que pourrait s’opérer la disjonction du massif en cas de rupture; elles sont tracées à intervalles égaux sur le cercle i , 2 , 3 , 4 > qui a pour rayon la hauteur ah , et choisies de manière qu’une d'entre elles corresponde exactement au point sommet du talus de surcharge. La tangente po , menée pai*ce point au cercle i , 2 , 3,4. détermine et mesure entre la ligne ho et les autres parallèles p t h t , p,h t , etc., à la diagonale commune ap } , la surface de chacun des prismes élémentaires que les deux parallèles capables embrassent, et que détacherait chaque joint de rupture envisagé séparément. Ces grandeurs op t op t op 3 , etc., représentent donc la valeur de la force verticale de pesanteur qui sollicite chacun d’eux. Toutes ces forces une fois déterminées sont décomposées en deux : l'une ps représente la pression exercée sur le joint de glissement, et l’autre so la force de translation libre suivant ce joint ; et, enfin , à chacune d’elles se trouve appliquée la construction de la fig. 4, qui fait connaître la grandeur de la force horizontale que doit opposer le mur pour faire équilibre à la surface particulière du prisme que chaque force représente ; ce qui s’obtient en menant par p une ligne pz , faisant, avec la composante de pression^?* , un angle spz égal à celui du talus naturel, et cette ligne vient intercepter sur la perpendiculaire élevée au point o une grandeur oz qui mesure la force cherchée.

Le maximum oz s de toutes ces valeurs ainsi obtenues correspond au joint n° 5 , et représente la pression horizontale d’un rectangle, dont les deux côtés sont oz s e t^ ah. Prenant encore la moyenne proportionnelle entre oz s et

ah rapportés en ar et an, on aura l’épaisseur normale ara, celle d’un mur de pesanteur spécifique équivalente aux terres à soutenir , et dont la hauteur serait ah. Projetant enfin ara dans le sens de la racine carrée de la

pesanteur spécifique des maçonneries à celle des terres , pesanteurs qu’on suppose ici représentées par et au , on obtiendra en at l’épaisseur du mur cherché.

Le mur étant ainsi trouvé, admettons que l’on place sur le talus lip une couche de terre désagrégée, de raanièreàceque, la hauteur HA restant invariable, le nouveau talus naturel vienn* affleurer l’arête extérieure de couronnement du mur. En faisant abstraction de la mobilité des parties inférieures , l’équilibre existera , c est-à-dire que le triangle sur-ajouté qui correspond à la largeur du mur supportera toute la pression que le reste de la tranche entière exerce sur le prolongement du nu intérieur. Si donc nous supposons que la cohésion agit sur cette portion intérieure de tranche sur-ajoutée , et si nous avons égard au mouvement que le mur peut prendre autour de son arête extrême de base, pour reconnaître les perturbations que ce nouvel état de choses aura apportées il nous suffira de calculer l’épaisseur du mur normal correspondant à la hauteur de disjonction verticale des terres.

Le problème se trouvera dès lors ramené à substituer à ce dernier un mur en maçoùnerie de même résistance , et d’une hauteur moindre , et qui puisse correspondre au même nu intérieur. Pour cela, on commencera par déterminer l’épaisseur d’un mur normal de hauteur égale au mur réel , et il ne restera plus ensuite qu’à transformer celui-ci en un mur de résistance équivalente. Le premier problème se résout par le tracé suivant :

Soit, PI. VI, fig. 8 , le mur ad qu’il faut remplacer par un mur d’une construction identique , d’une hauteur moindre = bf , et d’une résistance équivalente autour du point a. En prenant pour unité de mesure ^ , le

moment ax* du nouveau mur, moins le moment aV de la portion af de l’ancien , devra être équivalent au moment de la portion supprimée ed , moment qu’il s’agit de déterminer ; pour cela , nous ramènerons d’abord la mesure du

CONDITIONS DE STABILITE DES MURS ET DES VOUTES. a35 rectangle ed à l’unité £ bf en projetant sa hauteur fd dans le rapport inversé de sa base ef à \ bf= fi ; ce qui s’obtient en menant par d une parallèle dg à la diagonale ei. Cela fait, si sur fg-f^cf nous construisons un demicercle , l’ordonnée fm représentera le côté du carré équivalent au produit des deux segments '-ef et fg ; par conséquent ce carré mesurera le moment du rectangle ed autour du point a l’équation précédente pourra donc se mettre sous la forme ax ' — ab' = fn. Or, il est facile de voir que, en prenant pour valeur de ax l’hvpolénuse cm y on satisfait à cette condition; ce sera, par conséquent , l’épaisseur du mur cherché, et il suffira , pour terminer le tracé , de la ramener en vraie position par l’arc de cercle mf.

Ces préliminaires admis , nous allons procéder à la solution détaillée du cas particulier de surcharge que nous nous sommes proposé.

On prendra, PI. VI, fig. 9, les deux épaisseurs normales qui correspondent aux points /t et p , l’une hm , tirée de la fg. j , et l’autre pn , dans le cas déjà résolu d un mur affleurant le niveau supérieur des terres. Joignant les points m et n par une droite, on pourra supposer que ces épaisseurs diminuent proportionnellement à mesure que le mur s’élève , et que , par conséquent , la dimension il sera celle du mur normal extérieur et correspondant à un surhaussement égal à hi.

Donc , ce mur ferait équilibre à la pression exercée suivant le nu intérieur déterminé par la ligne Is ; et , s’il arrivait que cette diflércnce hi exprimât linéairement celle des pesanteurs spécifiques qui concernent le mur normal et le mur réel à lui substituer , un mur réel sdha supporterait la même pression opérée suivant la même ligne , et la stabilité de son équilibre aurait de plus en sa faveur le moment du triangle de surcharge dlh autour de la verticale ah.

Quand le rapport est moindre, l'épaisseur du mur réel tombe au delà du pointe?; quand ce rapport est supérieur, ce qui arrive en adoptant celui de la fig. 7, cette épaisseur tombe en dedans ; et en réalisant alors le tracé qui » la détermine, nous trouvons ici quelle correspond au point d'. Ce serait nous livrer à des redites inutiles que d’expliquer encore comment , dans cette figure , on réduit d’abord le mur normal slia à un mur équivalent qui s’arrête à la hauteur dh , et comment , au moyen de l’épaisseur ho de ce dernier , on obtient l’épaisseur hd' du mur réel à lui substituer; quand la différence dd' des épaisseurs est trop importante, il est toujours possible delà réduire , car il existe une hauteur particulière de mur normal pour laquelle elle disparaît , et que l’on peut obtenir par interpolation. Répétons , en effet, les deux opérations précédentes de réduction pour un surhaussement h' i' , et nous trouverons une épaisseur de mur réel égale à h' d'' . Or, à cause de l’égalité très-approchée des distances d' d'' et hh' , le mur réel s'd'ha de résistance équivalente au mur normal s H pourra lui être substitué , et se trouvera dans les mêmes conditions de pression de la part des terres , puisque dans cette nouvelle position son nu intérieur correspondra à celui du mur normal qu’il est destiné à remplacer.

' Si l’on voulait , en outre , tenir compte du triangle variable de surcharge dlh , il faudrait pour chaque mur réel déterminer en maçonnerie le sur-exhaussement rectangulaire qu'il représente , et réduire chaque fois le mur en épaisseur pour contre-balancer l’effet de cette surcharge : on arriverait ainsi à un équilibre strict. Mais il n’y a nul inconvénient à se contenter d’un équilibre déjà stable , surtout si , comme dans le cas qui nous occupe , on peut toujours évaluer le moment partiel de stabilité dont on n'a pas tenu compte.

Si l’on avait à déterminer simultanément les épaisseurs

d’un grand nombre de murs de même nature , comme cela arrive lorsqu’on fait les projets d’une route en pays de montagnes , on pourrait se donner une espèce de table graphique dans laquelle, la pression horizontale étant prise pour argument , on put immédiatement trouver l’épaisseur du mur réel correspondant, dans le cas d’équilibre stable.

Supposons que sur le même axe horizontal on construise une suite de demi-paraboles ayant même sommet, et dont le paramètre augmenterait de- l’une à l’autre d’une quantité constante ; ces courbes successives seront faciles à tracer, étant données par deux tangentes et leurs deux points de contact , savoir : la tangente verticale au sommet commun, et celle qui dans chaque courbe correspond au point dont l’ordonnée se trouve égale au paramètre , vu que ce point a pour abscisse une grandeur identique à son ordonnée, et que la sous -tangente qui en dérive présente également cette même dimension.

Une hauteur de mur étant donnée , on choisira parmi toutes ces courbes celle dont le paramètre se trouve égal aux sept dixièmes de cette dimension ; en prenant pour abscisse la pression horizontale qu’il doit supporter, cette courbe , par son ordonnée correspondante , fournira immédiatement l’épaisseur normale ; si , de plus , la figure se trouve traversée par une suite de lignes parallèles à la direction qui projette dans le rapport constant des racines carrées de la pesanteur spécifique des murs à construire à celle des terres à soutenir, celle de ces parallèles qui passera le plus près de l’extrémité de l’ordonnée qui donne l'épaisseur normale déterminera sur l’axe l’épaisseur du mur à construire. Sans doute toutes ces lignes ne coïncideront pas , mais il sera toujours possible d’interpoler à vue entre elles les lignes qui correspondent à la vraie solution.

Toutes les solutions précédentes seraient incomplètes, si elles devaient se borner à fournir l’épaisseur des murs

de soutènement à section rectangulaire. 11 nous reste, en conséquence , à indiquer le moyen de passer de cette forme particulière à la forme plus généralement usitée , qui présente un trapèze rectangulaire à talus extérieur, tout en conservant au mur trapézoïdal une résistance équivalente à celle <lu mur qu’il est destiné à remplacer.

Nous appellerons fruit la différence qui existe entre les deux bases parallèles d’un quelconque de ces trapèzes ; le fruit , étant une fonction de l’angle d’inclinaison et de la hauteur , sera une quantité constante 'tant que ces deux éléments resteront invariables.

Nous avons déjà vu que le moment d’une surface rectangulaire autour de son arête de base pouvait se mesurer par le carré construit sur son épaisseur ; nous en conclurons que le moment du trapèze à lui substituer sera mesuré , dans les mêmes circonstances, par le carré construit sur sa grande base , moins le moment du triangle rectangle déterminé par le fruit et la ligne de talus. Or, ce moment étant pris par rapport au même point de rotation, et en rapportant la surface triangulaire à la même unité de mesure ( la demi-hauteur) , se trouvera mesuré superficiellement par le tiers du carré construit sur le fruit. Les deux premiers moments étant des carrés, il nous suffira, pour ramener celui-ci à la même forme que les deux autres , sans changer pour cela sa valeur, de prendre une moyenne proportionnelle entre le fruit et son tiers.

On voit dès lors que pour qu’il y ait égalité de moments entre les deux murs qui doivent mutuellement se remplacer, ilsuffira de donner à la grande base du trapèze une dimension telle que le carré déterminé par elle , moins le carré construit sur la moyenne géométrique prise entre le fruit et son tiers , soit équivalent au carré construit sur la base du mur rectangulaire qu’il s'agit de remplacer.

CONDITIONS D£ STABILITÉ DES MURS ET DES TOUTES. a3l)

Si donc {fig- io ) on porte le fruit de a en b et son tiers de a en c , si sur la somme de ces deux lignes on construit un demi-cercle , et si on joint le sommet i de l’ordonnée ai à l’angle d , on aura , de d en i , la grandeur de la base trapézoïdale cherchée, et cette ligne, ramenée par un arc de cercle à sa véritable position de', permettra de tracer définitivement le trapèze demandé.

Celle construction, très -facile à exécuter, comporte une vérification <jui ne lui cède rien en simplicité : le centre de gravité du rectangle se trouve eu o au milieu de sa diagonale; celui du trapèze s’obtient en o' parle procédé que nous avons indiqué page 2 >4 pour les quadrilatères en général. En prenant pour unité la hauteur du mur, la surface du rectangle est mesurée par sa largeur, et celle du trapèze par sa base supérieure , augmentée du demifruit. Si donc on joint les deux centres de gravité par une droite 00 ' , et qu’à partir du point z , où elle atteint la verticale passant par le centre de rotation , on porte sur cette dernière la mesure des deux surfaces qui se font équilibre, il faut que les deux droites qui en joignent les extrémités mn aux deux centres de gravité soient parallèles entre elles.

La transformation précédente s’exécute par un des tracés géométriques les plus élémentaires : cette circonstance est d’autant plus favorable que, vu l’économie de maçonnerie qui résulte de la substitution du trapèze au rectangle , la première de ces deux formes est presque toujours employée de préférence dans les travaux publics. 11 était donc très-essentiel que l’on pût arriver sans difficulté à en déterminer les éléments linéaires constitutifs.

Si la forme d«i mur à construire, tout en conservant sa face intérieure verticale, devait oflrir une section plus compliquée, il conviendrait toujours de déterminer, à priori , le mur rectangulaire de résistance équivalente à la poussée qu’il s’agit de maintenir, et de ramener celui-ci

à la forme demandée de résistance équivalente par interpolation graphique; ce qui consistera, dans cette circonstance , h faire pour le mur demandé une suite de suppositions arbitraires qui puissent comprendre entre elles la vraie solution , et à chercher un des éléments qui déterminent cette dernière par le tracé de la courbe des erreurs commises. Cette courbe aura pour abscisses l'argument variable arbitrairement choisi dans les lignes constitutives de la surface cherchée , et pour ordonnées , les excès superficiels en plus ou en moins que présenteront les moments correspondants à la section que détermine séparément chaque abscisse , comparés au moment invariable du mur rectangulaire. Le point où la courbe qui joint les sommités de ces ordonnées coupera l’axe des abscisses, donnera la véritable longueur de l’argument qui correspond à la solution.