EN BERCEAU POUR QU ELLE SE MAINTIENNE EN ÉQUILIBRE

Supposons qu’on donne , PI. VII, le cintre r,a, 3, 4, 5, d’une voûte , son extrados jf , sa chape zz' , et la hauteur de ses piédroits 6 b, et qu’il s’agisse de trouver l’épaisseur qu’il convient de donner à ces mêmes piédroits pour que la voûte soit stable.

Puisque la voûte offre une figure symétrique , il nous suffira évidemment d’opérer sur une de ses moitiés ; et nous remarquerons, en outre, comme nous l’avons déjà fait pour les murs de soutènement , que la question que nous avons à résoudre se trouve encore ramenée à de simples relations de surfaces pesantes.

En supprimant, comme nous l’avons faitdans la figure , la demi-voûte de droite , nous devons cependant tenir compte de la pression que cette portion de voûte doit exercer selon le joint vertical , puisque c’est elle qui doit maintenir la demi-voûte de gauche en équilibre , et qui doit

par conséquent nous servir à déterminer les dimensions qui correspondent à cet équilibre : il est donc nécessaire, avant tout, de connaître exactement la valeur de cette pression , qui nous sera donnée aussi bien en opérant sur la partie gauche que sur la partie droite.

Cette pression , étant nécessairement différente selon le joint auquel correspondrait la disjonction de la voûte en cas de rupture, est susceptible d’offrir un maximum. Nous le déterminerons par des considérations analogues à celles qui nous ont servi à trouver le prisme de plus grande poussée. Nous supposerons , en conséquence , que la voûte peut s’ouvrir successivement , selon ses divers joints élémentaires, à partir du sommet , et nous chercherons, par interpolation , celui d’entre eux qui , en s’ouvrant, détachera la portion capable d’exercer la plus grande poussée, force dont nous aurons , en outre, à déterminer la valeur. Cette valeur une fois connue , il ne nous restera plus , pour qu’il y ait équilibre , qu'à donner au piédroit de la demi-voûte de gauche une épaisseur telle que son moment , pris par rapport à son arête extrême , ajouté au moment de la demi-voûte entière autour de la même arête , soit équivalent au moment de la plus grande pression agissant horizontalement au sommet de l’extrados. La solution du problème qui nous occupe se trouvera donc naturellement divisée en deux parties ; nous allons traiter chacune d’elles séparément.

Première partie. Détermination du joint particulier de la route qui , par l’ouverture de son extrados , correspond au maximum de pression exercée au sommet j de cette courbe : ce qui suppose que la portion détachée tournera en même temps autour de deux de ses points, l’un situé à l’intrados et l’autre au sommet de l’extrados.

En divisant la demi-voûte en un certain nombre de voussoirs qui comprennent entre eux des arcs égaux , et dont les joints soient censés prolongés jusqu’à la chape,

Dig

nous allons chercher celui de ces joints qui intercepte, à partir du sommet, la partie de voûte dont le moment, pris par rapport à l’arête inférieure du joint de rupture , se trouve tel que la force horizontale , déduite de ce moment, nous donne le maximum de pression cherchée. Dans cette supposition , il nous faudra limiter la demi-voûte à une verticale ah, qui soit évidemment en dehors du joint correspondant au maximum.

Pour parvenir à cette recherche , nous aurons d’abord à déterminer les centres de gravité de tous les quadrilatères qui composent séparément chaque voussoir : ce que nous obtiendrons par le procédé déjà employé, PI. VI, fig. 10 , pour le trapèze de soutènement. Nous considérerons ici, pour plus de simplicité, la douelle comme droite. Nous prendrons ensuite séparément la surface linéaire de ces mêmes quadrilatères , surface qui , en adoptant pour unité la corde des arcs égaux que les voussoirs embrassent, sera donnée pour le premier quadrilatère, à partir du sommet, par la moitié de la ligne îs, , et ainsi de suite pour tous les autres : c’est en effet la mesure que l’on obtiendrait en appliquant sur, la diagonale qui passe par o une règle dont la largeur serait égale à la corde.

Ces opérations préliminaires exécutées sur chacun des voussoirs séparément, pour obtenir le moment du premier voussoir autour de l'arête de rotation i qui proviendrait de l’ouverture du joint qu’elle limite, nous prendrons d’abord son moment par rapport à la verticale jk , ce qui s’effectuera en rapportant son centre de gravité en c', par une parallèle à la verticale, et projetant entre les deux conjuguéesrfzetda ia surface i5 i== </.r "du premier voussoir, dans le sens de np 6 'ap t c' t ( nous adoptons , pour opérer cette multiplication superficielle, une nouvelle unité linéaire p 6 ra, qui disparaîtra dans les opérations subséquentes) : le moment cubique dm t , ainsi obtenu , sera le double du moment cherché, vu que les grandeurs u t , is % , 3 r„ sont le

double des surfaces de chaque voussoir; opérant de même pour tous les autres, nous obtiendrons successivement les moments superposés dm t , dm t , dm 3 , etc. , qui leur correspondent. On prend ces moments doubles pour obtenir un tracé plus distinct et susceptible d’une plus grande exactitude.

Les moments obtenus, nous en prendrons la moitié, ce qui ramènera leur valeur à sa grandeur réelle, et nous les additionnerons par ordre, à partir du premier sur l’horizontale qui passe par j, leur total occupant la grandeur jfmijs.

Nous additionnerons également les surfaces, dans le même ordre, à partir et en dessus du même point j , sur la ligne verticale j k , dans le prolongement supérieur du joint qui correspond au sommet de la voûte. Leur total correspondra au point s', *6.

Considérant alors un des joints quelconques is t comme celui de rupture , joignant le point de roLalion i au sommet j de l’extrados , et prolongeant la ligne qui opère cette jonction, la surface js'„ j,, correspondant à la portion de voûte que ce joint détache, sera projetée horizontalement entre les deux conjuguées jk et j i , dans le rapport inverse" des bras de levier ip t et jp t ; la projection A 0 ài f, ainsi obtenue, mesurera donc la surface analogue qui , placée en j , ferait équilibre à la portion de voûte détachée, celle-ci agissant à l’extrémité du bras de levier total mesuré par la distance du point de rotation à la verticale jk ; mais , comme le bras réel du levier que nous avons à considérer se réduit effectivement à la portion qui se termine à la verticale du centre de gravité de la masse , il s’ensuit que la force horizontale que nous venons ainsi de déterminer doit être diminuée de toute la quanti té qui fait équilibre à la surface de la portion de voûte que nous considérons , agissant à l’extrémité du bras de levier partiel excédant c[p t . Or comme le moment de cette

portion de force excédante nous est précisément donné en jm 0 * ,, il suffira de diviser ce moment par le bras de levier vertical correspondant pour obtenir la force de pression à soustraire.

Dans cette division, nous devrons nécessairement prendre pour unité la même grandeur p^n—jn!, qui nous a servi à obtenir la valeur cubique du moment : nous détruirons ainsi , par une opération inverse , l’unité de multiplication accidentellement introduite.

Opérant donc cette division entre les conjuguées jk et jb' , et portant soustractivement le quotient partiel obtenu jfl' sur la force horizontale correspondante ,1e reste s„ à sera, en grandeur et en direction, la force de pression cherchée ; ou , en d’autres termes , la hauteur d’un rectangle pesant , ayant pour base l’unité de mesure qui a servi à évaluer la surface des voussoirs, rectangle qui, placé en j , de' manière à ce que son centre de gravité fut sur l’horizontale jb' , ferait équilibre à la portion de voûte correspondant au premier voussoir.

En opérant de même pour tous les autres joints, nous obtiendrons en s, i s, kzfï, etc. , une suite d’ordonnées représentant chacune les forces qui correspondent aux diverses suppositions de ruptures qui résulteôt de la division en voussoirs opérée sur la voûte. Enfin , joignant l’extrémi té de ces ordonnées par une courbe, la tangente à cette courbe menée en F parallèlement à la ligne jk déterminera par son point de contact l’ordonnée raaxima SF de cette courbe , et , par conséquent , la force de plus grande pression qui doit être censée appliquée au point j , et que la masse de la demi-voûte de gauche et de son piédroit doit nécessairement contre-balancer pour que la voûte soit en équilibre.

Deuxième partie du problème. Détermination de l’épaisseur du piédroit correspondant à la supposition d'équilibre strict et à celle d’équilibre stable.

CONDITIONS DE STABILITÉ DES MURS ET DES VOUTES, 'ifo

Nous avons emprunté la solution de la première partie du problème qui nous occupe à un article publié par M. Poncelet dans le Mémorial de ü Officier du Génie , qui offre une suite des applications les plus élégantes du calcul par le trait ; mais le reste de la solution donnée par ce savant ingénieur , se trouvant affecté de formules algébriques , n’a pu être compris dans notre travail , puisque, d’après le titre que nous avons adopté, c’est par lès seuls procédés graphiques que nous devons obtenir les solutions des problèmes que nous avons à résoudre.

Nous emploierons encore le procédé d’interpolation pour arriver au nouveau résultat que nous cherchons ici ; et c’est en construisant la courbe des erreurs commises par une suite de suppositions arbitraires, que nous arriverons encore à trouver l’épaisseur qui correspond aux deux cas d’équilibre.

La grandeur SF représentant , d’après les constructions précédentes , le maximum de pression exercée horizontalement au point j par la demi-voûte de droite, pour qu’il y ait équilibre il faut que le moment de cette force ( ou surface pesante), pris par rapport à l’arête extrême du piédroit, soit équivalent au moment de la demi-voûte totale, augmenté du moment du piédroit lui-même, tou deux étant pris par rapport au même point. Le problème se réduira donc à trouver l’épaisseur de piédroit qui satisfait à cette double condition.

Voyons d’abord si elle gérait remplie par l’épaisseur arbitraire ab que nous lui avons donnée.

En projetant la surface totale de la demi-voûte js,^, dans le rapport inverse des deux bras de levier jk et ha. nous obtiendrons en j R la force horizontale qui, placée en j , ferait équilibre au poids de la demi-voûte ,' si le centre de gravité de celle-ci se trouvait placé sur la verticale jk : nous aurons par conséquent obtenu une force qui dépassera celle que nous cherchons de toute la portion destinée

à faire équilibre à la demi-voûte agissant autour du bras de levier qui correspond à son propre centre de gravité. Cette dernière peut aisément être déterminée , puisque nous avons , de j en , son moment exprimé en

fonction de l’unité p t n ; car, pour passer du moment à cette force, il suffira de diviser celui-ci par le nouveau bras de levier en employant à ce tracé l'unité jri; et le résultat de cette division , opérée entre les conjuguées jb' et j S , nous fournira en j S' cette portion de force que nous avions à retrancher, et qui, se trouvant ainsi portée soustractivement sur la force à réduire, nous donnera immédiatement, de R en S', la grandeur réelle de la force , qui , placée en j , ferait équilibre à la demi-voûte tournant autour du point a.

Le piédroit , de son côté , a son centre de gravité connu de position ; il coïncide avec le centre de figure ; et , quant à sa surface , elle se trouve mesurée par la portion de la ligne bt , que ses deux bases interceptent; cette ligne est menée du point b tangentiellement au cercle décrit du point opposé comme centre , avec un rayon égal à l’unité de mesure 01 adoptée pour évaluer la surface de la voûte.

D’après ces données, il suffira d’opérer la projection de la surface bl=b't' dans le rapport inverse des bras de levier, pour obtenir la mesure de la force t'e qu’il faudrait placer en j pour faire équilibre au piédroit. Ajoutant celle-ci à celle déjà trouvée, et qui correspond à la demi-voûte, on obtient de R en E la portion de force qui mesure la résistance du piédroit , totalisée avec celle de la demivoûte.

La somme de ces deux forces comparée à la pression SF la dépasse d’une quantité F'E; ce qui indique que l’équilibre strict correspondrait à une dimension de piédroit moindre que celle qui vient de fournir ce résultat. Mais , comme on ue cherche le point d'équilibre strict que pour

passer aux dimensions qui correspondent à l’équilibre stable , nous allons supposer, pour satisfaire à cette nouvelle condition, que la force de pression est augmentée dans un certain rapport. Si nous adoptons le coefficient 2 , que M. Poncelet a appliqué à son épure , comme celui qui présente le plus de garantie, la force de pression se trouvera doublée par cette supposition, et, par conséquent, égale à SF" , et, dès lors, l'épaisseur choisie se trouvera insuffisante pour lui faire équilibre.

Nous adopterons donc une épaisseur plus forte, et, sans avoir besoin de recommencer les opérations précédentes, il nous suffira de trouver quelle est la portion de force qu’il faut ajouter à RE pour satisfaire au changement d épaisseur et à l’éloignement du point de rotation.

Cette portion devra faire équilibre i° à la voûte et au piédroit, limités à l’épaisseur précédente ab et agissant ensembleal extrémitéd un levier égal à la portion d’épaisseur sur-ajoutée ; a° au trapèze qui compose cet te sur-épaisseur, agissant, de son côté, à l’extrémité d’un levier moitié moindre.

On obtient séparément les deux composantes /«/e t Ce', en portant sur la verticale ah les surfaces relatives à la demi -voûte et à son piédroit de b'' en h et de b" en t", et projetant polairement autour du point b" le bras du levier ag sur les ordonnées orthogonales qui correspondent à l’extrémité de chaque surface.

La troisième s’obtient, à son tour, en portant sur la verticale li, qui correspond au centre de largeur du trapèze, la dimension il qui mesure sa surface; ce trapèze ayant , par construction, une largeur égale à l’unité, a pour mesure sa hauteur moyenne. Une projection analogue à la précédente donnera donc la force cherchée Iq sur 1 ordonnée qui passe par l’extrémité de cette grandeur placée comme nous venons de l’indiquer , et à partir du point i. Mais, pour la simplicité de l’épure, placée,

cette fois, dans un sens inverse par rapport à l'horizontale jb ' , ajoutant ces trois forces à la grandeur RE déjà trouvée, nous obtiendrons une résultante R* qui dépassera le maximum de poussée ; nous aurons donc donné au piédroit une épaisseur trop forte. Il nous restera , en conséquence , pour circonscrire la vraie solution dans des limites plus rapprochées, à tenter encore une opération entièrement analogue pour une épaisseur moindre.

Cette fois, la mesure du nouveau trapèze pourra être estimée en fonction delà mesure du trapèze précédent; et cela en supposant que les deux surfaces sont entre elles comme leur largeur ; on fera bien , en conséquence , d’adopter un rapport susceptible d’une évaluation facile ; dans l’épure , nous avons supposé que ag était les j de ag. Et enfin , en appliquant au tracé d’une courbe d’interpolation les trois épaisseurs prises pour abscisses et les trois erreurs quelles auront fournies comme ordonnées , nous obtiendrons, au moyen de celte courbe , la vraie dimension qu’il convient de donner au piédroit. En portant donc sur chacune des lignes qui figurent les épaisseurs arbitraires , les erreurs positives ou négatives qui résultent de chaque supposition correspondante, la courbe qui réunit les trois points ainsi déterminés donnera , par son intersection avec la ligne des abscisses , le point g'" où l’erreur serait nulle, et par conséquent celui qui correspond à l’épaisseur que l’on avait l’intention de déterminer. Cette courbe peut être tracée arbitrairement à la main; mais, sur l’épure en grand , il sera bien d’employer le système d’interpolation parabolique.

Un procédé entièrement analogue ferait connaître l’épaisseur du piédroit qui correspond à l’équilibre strict. Nous pouvons nous dispenser d’en donner les détails, qui seraient absolument identiques à ceux qui résultent de la construction précédente, sauf qu’au lieu d’ajouter le moment du trapèze il faudrait au contraire le retrancher.

Nous avons indiqué l’épaisseur de l’équilibre strict par une ligne ponctuée, afin de faire voir la différence qui existe entre lej^sultat qui correspond à la stabilité théorique et celui qui satisfait à la stabilité pratique adoptée dans le cas particulier que nous venons de traiter. Nous remarquerons à ce sujet que le coefficient de stabilité employé dans cette circonstance, pour nous conformer à l’exemple choisi par M. Poncelet, et qui s’applique spécialement aux voûtes construites à l’épreuve de la bombe, doit, d’après M. Audoy , être réduit à 1.90 et 1.80 environ , pour les voûtes des grands ponts; et qu’il supporte une réduction encore plus forte, pour les voûtes qui rentrent dans les constructions ordinaires.