CHAPITRE XIX

Nombre et mesure.

Quand, dans un complexe relativement stable d’éléments sensibles, nous trouvons une relation entre certaines réactions, nous acquérons une connaissance scientifique. Par exemple, une espèce de plante, systématiquement déterminée par la forme et la disposition des feuilles, par sa floraison, etc., présente certains phénomènes géotropiques ou héliotropiques : voilà une connaissance scientifique. Fixer cette connaissance par le langage, de manière.à pouvoir la communiquer aux autres hommes, est chose compliquée, bien qu’on ait recours à des classifications et à une terminologie spéciale, qui simplifient cette tâche et la rendent plus facile.

Sous ce rapport, les sciences physiques nous offrent un contraste frappant avec les sciences biologiques. Si deux poids sont suspendus à un fil passant sur une poulie, il nous suffit de remplacer chacun de ces poids par un certain nombre de poids plus petits et égaux entre eux, pour pouvoir dire que le poids formé par le plus grand nombre

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de ces poids élémentaires entraînera l’autre. Si ces poids sont attachés aux deux bras inégaux d’un levier, partageons les bras du levier en parties égales entre elles, comptons les parties d’un des poids et les parties du bras correspondant, formons le produit des deux nombres, et faisons de même pour l’autre côté : c’est le côté du plus grand produit qui l’emporte.

Nous obtenons facilement la description du fait isolé en comptant le nombre des parties égales, dans lesqüeltes se laissent décomposer les éléments qui caractérisent ce fait, et tous les cas d’un même genre, par exemple tous les cas de leviers, qui ne se distinguent que par le nombre de parties égales des poids et des bras, sont si semblables, que I on en a aisément une dëscription d’ensemble, quand on donne la regle du calcul à appliquer après qu’on a fait le dénombrement de ces parties. Cette sorte de compréhension d’ensemble peut s’appliquer à un groupe de faits très étendu : par exemple, la notion de travail nous donne la théorie de toutes les machines.

D’une façon analogue, la chute des corps, et la réfraction de la lumière peuvent être décrites simplement, sous forme de tableaux numériques. Nous pouvons diviser les grandeurs d’espace, de temps, d’intensité en parties égales aussi petites que nous voulons, ce qui nous permet, quand nous avons affaire à quelque chose de mesurable, d’envisager les grandeurs, qui interviennent dans des faits quelconques, comme formées de très petits éléments, et

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d'étudier leurs variations pendant des intervalles de temps infiniment petits. Par là, toutes les règles de calcul s'expriment sous forme d 'équations différentielles, et il suffit d'un petit nombre de ces équations pour représenter tous les faits imaginables, mécaniques, thermiques, électro-magnétiques, etc. L'application de ces équations peut d'ailleurs, dans des^ cas spéciaux, réserver encore de grandes difficultés.

On n’en est pas encore là dans les sciences biologiques, mais certaines sciences, telles que la chimie, tiennent le milieu, et ne sont que partiellement accessibles à une étude quantitative.

On ne peut que remarquer et fixer par le langage

une relation qualitative entre deux réactions, et il

est d'ordinaire très difficile de donner de ces rela-

tions une expression générale. Mais on y arrive avec moins de peine quand les réactions qualitatives se laissent ramener à des réactions quantitatives. Il suffit de songer à l'analyse chimique 1 qualitative et à la théorie des phases de la chimie physique, pour voir que X étude quantitative n’est qu’un cas particulier plus simple de l’étude qualitative .

Si la physique a atteint un développement plus avancé que la physiologie, cela tient simplement à ce que les problèmes, dont elle s’occupe, sont plus simples et plus faciles, qu'ils présentent entre eux plus d’homogénéité, et que leurs solutions peuvent être ramenées plus aisément à une expression d'ensemble. La description par les nombres“ est, en effet, la plus simple possible, et, avec le système de

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nombres doDt nous dispo:

sans nouvel effort d’ir finesse et d’exactitude d< numération ne le cède e nomenclature. Ces avantaj engager à essayer de ré les recherches qualitative titatives. Ainsi les qualit nent, par les indices de gueurs d’ondes, des car même les qualités des sc vibrations.

La recherche quantitati particulier sur la recherr s’agit du physique au sen:

faut éliminer autant qut l’observateur. On y arrive on ne fait que comparer tatives, et constater que i ou inégales. Alors n’intei l’impression qui dépend > chologie introspective ne j ce qui est qualitatif, auss n’ont guère de sens pour s tard, elle se .rattache à la sique, cette situation se n

Essayons maintenant d' ment comment les besoin les hommes au concept de si on ajoute quelque cho pièces de monnaie pareil)

NOMBRE ET MESURE

jeunes enfants le remarquent de suite. Certainement aussi l’animal 6ait distinguer de petits groupes de fruits inégaux,' et préfère aux autres le groupe le plus considérable.

Le concept de nombre a pour origine le besoin de perfectionner cette capacité de distinction. Nos enfants réussissent de suite à comprendre dans un groupe deux, trois, quatre éléments sans perdre la distinction de ces éléments. Ainsi se constituent les premières représentations de nombre; elles se développent par les sens de la vue, du toucher, ou de l’ouïé. Quand on change les objets et qu’on emploie le nom de nombre , on est amené à concevoir qu’une certaine réaction est indépendante de l’espèce des objets et on parvient au concept de nombre. Pour rendre plus claire la représentation des nombres correspondant à des groupes plus considérables, nous les partageons en parties qui nous sont déjà familières, et que nous arrangeons en ordre synoptique.

Il y a un autre procédé synoptique d’arrangement des éléments d’un groupe voisin de ce moyen.

On fait correspondre à chaque élément du groupe un élément d’un autre groupe d’objets très familiers. Les peuples primitifs choisirent pour ce groupe auxiliaire les doigts de la main et, parfois aussi, les orteils des pieds. Nous-mêmes, étant enfants, nous avons employé ce procédé pour renforcer nos représentations de nombre. Nous nommons les doigts pendant le classement ; un usage répété amène l’oubli de la signification primitive

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de ces noms des doigts, et c’est ainsi que se constituent les noms de nombre.

Un petit artifice tout naturel peut rendre ce mode de classement indéfiniment applicable, si on compte les groupes de dix comme étant à leur tour des éléments d’un groupe d’ordre plus élevé, et ainsi de suite. Chaque élément apparaît alors comme un groupe de dix éléments semblables plus petits, et le système des nombres est aussi bien applicable à la numération de l’infiniment grand que de l’infiniment petit. Considérons deux groupes A et B formés tous deux d’éléments égaux, et faisons correspondre à chaque élément du groupe A un élément du groupe B. Si nous pouvons ainsi épuiser les deux groupes, nous disons qu’ils ont môme contenu ou qu’ils sont égaux. Mais si B se trouve épuisé, alors que A ne l’est pas encore, le contenu de A est plus grand que celui de B. Nous nommons nombres ces concepts par lesquels, en ce qui concerne leur contenu, nous déterminons et nous distinguons entre eux des groupes d’éléments. Quand les concepts de nombre remplacent les représentations de nombre, ce n’est plus l’intuition immédiate qui entre en jeu, mais seulement l’intuition potentielle.

Quand le nombre devient assez grand pour dépasser l’intuition directe, il est indispensable de recourir à un principe de classement pour former le concept de nombre ou de collection. Le principe de classement fait que tout nombre contient en puissance la représentation de tous les nombres

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précédents et, en même temps, fait reconnaître nettement sa position entre deux éléments déterminés du système : c'est lui qui fait la supériorité des noms de nombre sur les simples noms. Les registres alphabétiques, les numéros des pages d'un livre, etc., en sont des exemples.

Les opérations du commerce, l'achat et la vente entraînent le développement de Y arithmétique. La civilisation primitive emploie, pour soutenir ses calculs, des dispositifs simples comme l’abaque des Romains ou la machine à calculer des Chinois. Tous ces dispositif« symbolisent les objets à compter par de petits corps mobiles, que l'on déplace au lieu de manier des objets lourds. Si l'on prend la notion de machine ou dispositif secourable dans un sens plus large, il faut reconnaître que nos chiffres arabes, avec la notation décimale et l'emploi du zéro, forment une machine à calcul, que l'on peut installer partout avec du papier et un crayon.

Dans le commèrce se présentent différents problèmes. On a besoin, par exemple, de rassembler en unseul groupe deux ou plusieurs groupes d’éléments égaux et de donner le nombre total de leurs éléments; c’est Y addition. La solution primitive consistait à compter tous les éléments du groupe unique ainsi réalisé, sans s'inquiéter de savoir si les groupes élémentaires avaient déjà été comptés séparément ou non. Avec de petits nombres, les enfants emploient encore effectivement ce procédé, et acquièrent ainsi une certaine expérience, qu’ils uti-

lisent quand ils additionnent des nombres plus grands, écrits dans le système décimal. On voit déjà, par cet exemple simple, que le calcul consiste à éviter Topération directe de compter, en la remplaçant par des opérations déjà effectuées antérieurement. Le calcul est un moyen de compter indirect. Dans la vie pratique, on rencontre aussi des soustractions, des multiplications, des divisions, etc., et on pourrait montrer qu'il s'agit toujours d’une façon de compter simplifiée et abrégée.

Le milieu, où nous vivons, contribue donc au développement des concepts d’arithmétique plus qu’on ne l’admet quelquefois. Compter n’aurait ni but, ni sens, si l’expérience physique ne nous apprenait pas qu’il existe une multitude de choses équivalentes constantes, et si les besoins physiologiques ne nous poussaient pas à ranger ces choses en groupes. Pourquoi compterions-nous si notre milieu était absolument inconstant, si tout changeait à chaque instant comme dans un rêve? S’il était pratiquement possible de compter directement de grands nombres, sans dépense de temps et de travail, les procédés de calcul se seraient-ils imposés?

En comptant directement, nous ne faisons que constater ce qui nous est donné d’une façon sensible dans les faits. Puisque le calcul n’est qu’une façon de compter indirecte, nous ne pouvons, par lui, rien apprendre d’essentiellement nouveau sur le monde sensible, rien que l’observation directe

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ne puisse nous donner. Gomment les mathématiques donneraient-elles à la nature des lois a priori, puisqu’elles doivent se borner à mettre les résultats du calcul en accord avec ses points de départ ? Mais nous avons toujours grand intérêt à bien connaître les diverses formes du calcul ; cela nous permet d’envisager le même fait sous les points de vue les plus différents.

C’est au service delà vie pratique que l’arithmétique a commencé à se développer. Celui qui a souvent à faire des calculs semblables et qui y a acquis, avec des vues d’ensemble, une facilité spéciale, trouve moyen de simplifier et d’abréger les procédés; ainsi se constitue Y algèbre, dont les symboles généraux ne désignent aucun nombre en particulier, et qui appelle l’attention exclusivement sur la forme des opérations. L’algèbre traite, une fois pour toutes , toutes les opérations de même forme, et il ne reste plus à faire, dans chaque cas particulier, qu’une besogne de calcul préparée à l’avance. Aussi les propositions de l’algèbre, comme celles des mathématiques, n’expriment-elles jamais que des équivalences entre modes de classement. C’est ce qui arrive quand nous écrivons les deux membres de l’équation, qui exprime le théorème du binôme, ou que nous juxtaposons une équation différentielle et son intégrale.

Remarquons en passant que le système des signes mathématiques représente encore une machine qui allège le travail de tête; en même temps,

l’écrilure mathématique est l’exemple le plus beau et le plus concret d’une pasigraphie parfaite, mais limitée dans son emploi.

La considération de groupes d’objets d’égale valeur ne nous mène immédiatement qu’au concept de nombres entiers . La division, qui est analytique, tandis que la multiplication est synthétique, nous conduit dans certains cas, à diviser des objets comptés séparément (unités), et à créer des nombres fractionnaires , qui n’ont de sens que quand les unités sont réellement divisibles. Quand nous appliquons l’algèbre à la géométrie; quand, par exemple, nous essayons d’exprimer avec la même unité la diagonale et le côté d’un carré ; quand nous faisons certaines opérations purement arithmétiques, comme les extractions de racines, nous sommes conduits à la fiction des nombres irrertionnels , qu’aucune opération numérique finie ne peut complètement représenter.

L’addition et la soustraction elles-mêmes nous

mènent à de nouvelles formations abstraites.

L’opération (7 -f 8) est toujours exécutable, aiasi que (8 — 5) ; par contre, (5 — 8) est une impossibilité, si on ne peut compter que dans un sens les objets dont il s’agit, mais elle devient immédiatement possible, et acquiert un sens intelligible, si les unités en question sont dans le rapport d’avoir à dette, de pas en avant à pas en arrière, etc. On arrive ainsi aux concepts de nombres positifs et de nombres négatifs , et on les désigne par les signes de l’addition et de la soustraction, opérations à

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l’occasion desquelles s’est d’abord manifesté le besoin de fixer cette distinction.

Le carré d’un nombre négatif est positif, et cela * entraîne que la racine carrée d’un nombre négatif nous apparaisse immédiatement comme quelque chose d’impossible, d'imaginaire. Wallis, le premier, a été conduit, par des app lications géométriques de l’algèbre, à regarder |/— 1 comme la moyenne géométrique entre — 1 et + f (+ 1 : i = i : — 1) d’où i = — 1 . On en était revenu plus ou moins

nettement à » cette conception, jusqu’à ce que Argand l’ait exposée d’une façon tout à fait claire dans sa généralité. Rapportant la proportionnalité non seulement à. la grandeur, mais aussi à la direction, il donne à l’expression a + ß / — 1, la signification d’un vecteur dans le plan. Nous allons de l’origine à l’extrémité de ce vecteur en nous déplaçant d’une quantité a dans une direction, puis d’une quantité ß dans la direction perpendiculaire à la première, et les points du plan peuvent être représentés par des nombres complexes.

La pratique de l’arithmétique conduit ainsi, dans bien des cas, à des opérations qui, au premier regard, paraissent impossibles, ou dont les résultats semblent n’avoir aucun sens. Mais un examen plus précis montre que, en élargissant un peu les concepts arithmétiques jusque-là employés, l'impossibilité disparaît et que le résultat devient susceptible d’une interprétation tout à fait claire. Si les mathématiciens avaient appris à connaître les avantages de ces processus, ils seraient maintenant beaucoup

plus aptes à répondre à nos besoins par de nouvelles inventions. Signalons à ce propos les travaux de Grassmann, d’Hamilton, etc., en ce qui concerne la direction des vecteurs, dans lesquels les concepts de nombre sont immédiatement adaptés aux besoins de la géométrie, de la cinématique, de la mécanique, de la physique, etc.

Les applications de la théorie des nombres sont relativement simples, quand il s’agit d’objets discrets équivalents entre eux à un certain point de vue. Beaucoup d’objets de la recherche, comme l’étendue dans l’espace et le temps, l’intensité des forces, etc., n’offrent pas immédiatemènt des groupes d’éléments équivalents qu’on puisse directement compter. A la vérité, on peut les partager de bien des façons en éléments d’égale valeur, ceux-ci, à leur tour, en éléments analogues, etc.; seulement on doit artificiellement choisir les limites de division de ces éléments, ainsi que la grandeur de leurs dernières parties.

Sous le bénéfice de ces remarques, une quantité, intervenant dans une recherche quelconque, peut être déterminée d’une façon aussi précise que l’on voudra. L’imperfection de nos- sens nous force à nous arrêter à une certaine limite. La coïncidence des extrémités d’un étalon avec celles de l’objet à mesurer ne peut être réalisée qu’avec une précision limitée. Le nombre, qui donne, comme résultat de la mesure, le rapport entre l’objet à mesurer et l’étalon, souffre, lui aussi, de cette inexactitude. Le même défaut s’attache d’ailleurs aux

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applications pratiques de l'arithmétique à des objets discrets, la supposition idéale de l'égalité absolue des objets n'est, en fait, jamais réalisée.

Par conséquent, pour mesurer des grandeurs physiques variables d'une façon continue, on doit choisir un objet de comparaison, l'unité de mesure, et fixer comment sera déterminée l'égalité d'un autre objet et de l'étalon. Nous prenons comme égaux dans une certaine relation des objets qui, dans des circonstances toujours les mêmes, peuvent se remplacer sans que le résultat varie. Deux poids sont égaux si, placés l'un après l'autre dans le môme plateau de la même balance, ils produisent la même inclinaison du fléau ; deux courants électriques sont égaux, s'ils déterminent la même déviation de l'aiguille, en passant l'un après l'autre dans le même galvanomètre, etc. Si l'on met n masses égales à l'unité de masse sur le même plateau de la balance, si l’on fait passer n unités de courant dans le même fil du galvanomètre, etc., le résultat ne dépend que du nombre n, quand les unités sont parfaitement interchangeables.

Après avoir déterminé les valeurs numériques des quantités qui interviennent dans une série de cas physiques de même espèce, on réussit souvent à représenter leur relation mutuelle par une règle simple, et cela avec une exactitude qui suffit pour exposer les faits. On peut prendre comme exemple la loi de la réfraction de la lumière, la loi de Mariotte-Gay-Lussac, la loi de Biot et Savart. Ces lois, une fois connues, peuvent

souvent faciliter une mesure indirecte, quand une mesure directe serait difficile ou impossible. Par exemple, il est difficile de faire varier d’une façon continue l'intensité d'une source lumineuse, mais l'œil peut facilement apprécier l’égalilé de deux sources lumineuses par l'égalité d'éclairement de deux surfaces égales, qui, juxtaposées à égale distance de ces sources, sont éclairées normalement. Dès lors, si on montre qu'une surface, éclairée normalement par une source lumineuse, présente le même éclairement qu'une surface égale éclairée par 4, 9, 16, etc. sources égales à la piemière, et serrées les unes contre les autres à des distances 2, 3, 4, etc. fois plus grandes, la mesure du rapport des intensités lumineuses est ramenée à celle du rapport des distances des sources correspondant à un égal éclairement.

Une grandeur, physique étant composée de parties de même espèce, il faut toujours vérifier si cette juxtaposition correspond à une addition réelle . Par exemple on peut, sans difficulté, obtenir une lumière plus forte avec des lumières de même espèce indépendantes, et égaler son intensité à la somme des intensités de ses parties, mais on sait que ceci n’est plus vrai pour les images d'une source lumineuse de petite dimension.