ÉTOILE (TOR TR A
pour tout contour fermé [’, tracé dans le domaine D, à cause de l’holomorphisme des fonctions o;| f].
Réciproquement : St une suite illimitée de fonctions continues et données os Ji5 3 /n satisfait, dans un domaine D, aux relations
fotfnds=0 (TES OR EE HARAS
où
PUS] = fi) — À fn) ++ 14 Jens) ee
pour tout contour fermé rectifiable C, f,(Q) est développable en série uni formément convergente d'intégrales et ses dérivées aréolaires successives sont les
LOTCHOTS ET ET
C’est un théorème de Moreva, convenablement étendu. y
7. Ces cas particuliers traités, passons à celui d’une fonction ayant n + 1 dérivées aréolaires continues dans une certaine région D, limitée par un contour C.
Notons toujours, pour simplifier l'écriture, 1 fm et considérons l'expression
ee HÉROS a
On aura facilement
1 GE) u Un = VUE Duo L Ÿ Sc NT n+1 | Tor Ka ë cu,
En appliquant la formule (6) à la fonction continue
pre) EE a}, |
on obtient en particulier, pour €, —,
= 2 = GhÉURRS — Un:
DUT nn! CS
Cela étant valable pour 72 1, bien entendu, car pour ñn—0, on a
)EES) RAR ee l APSSre “=> [ } Der ie J(C) + + en
En ajoutant tous ces résultats, on déduit la formule suivante donnant les 1 . 1 RAT ñ em :
valeurs d’une fonction à n + 1 dérivées aréolaires continues dans le domaine
fermé D, lorsque l’on connait en chaque point de ce domaine les valeurs
PES Se ns D rAC, Co et sur le contour C, celles de f et de ses n premuéres dérivées : (A)
£ ue ent MUC) rte (17) ie = Le de +... Se n! re &
5 FFE re ete) do T : n! p—k <
Cette formule contient comme cas particuliers, toutes les expressions dont nous avons fait usage jusqu'ici.
Pour n— 0, on retrouve les fonctions holomorphes (a).
Pour f'*'({)= 0, on retombe sur les polynomes aréolaires.
Enfin, pour n—o et f'({)=o, on a les fonctions holomorphes.
An même sujet, remarquons que si la formule (6) marque une sorte
14 LC: > ” LA 2 D 6 , L4 & ® r d'opération nouvelle, en intégrant l'équation —, et généralise l’inté-
grale définie du calcul intégral, celle que nous avons donnée ci-dessus est une extension de l'équation y"*! = f(x).
Cela met encore une fois en évidence l’analogie entre cette partie résiduelle que nous avons nommée polynome aréolaire, et les polynomes habituels.
En effet, la formule (17) permet d’approximer une fonction admettant un certain nombre de dérivées aréolaires, par un polynome aréolaire, office . analogue à celui de la formule de Taylor.
Ainsi, le problème traité dans un cas particulier, au paragraphe précédent, la représentation d’une fonction par une série d'intégrales, admet une solution dès que le terme w,,, tend vers zéro, quand n tend vers l'infini.
La discussion est, en général, assez compliquée, mais il y a des cas utiles
et assez étendus, où l’on peut préciser la possibilité d’un développement en série.
Telest, par exemple, le cas où la dérivée aréolaire, au lieu d'être bornée, tend vers l'infini comme M", M étant un nombre positif. Dans ces conditions on peut s'arranger pour qu'on ait, pour » assez grand, | /"*'| << #M"*' (4 étant constant).
Donc :
” (€ —p})" frti(p) KM”+: f | (MR + é G Ê #* dr d8 << 2kM >= “AE n | Dent Co niT FI CHU RET (RENE
R étant le rayon d’un cercle qui englobe le domaine D. Or, pour n assez grand, on peut rendre ce terme aussi petit que l’on veut, ce qui prouve la possibilité du développement dans le cas étudié ci-dessus.
8. Terminons ce chapitre par un nouveau rapprochement entre les polynomes aréolaires et les fonctions holomorphes.
En effet, on peut étendre à cette classe de fonctions le prolongement analytique.
Soient f,(£) et /,(C) deux polynomes du même ordre définis dans deux régions du plan ayant une partie commune et une seule.
Si dans cette partie on a f/,(€) = f,(€), nous dirons qu'ils se prolongent l’un par l’autre, c'est-à-dire nous les regarderons comme formant une seule fonction F(£) définie dans la région totale.
Le théorème suivant donne quelques indications sur la nature de l’extension qu'on peut faire en passant du cas classique à celui des polynomes.
Soient f,(C) et f,(C) deux polynomes aréolaires, définis respectivement dans deux domaines D, et D, ayant comme frontière commune une portion de courbe rectifiable AB.
St, le long de AB, les fonctions f,(C) et f,(©) sont égales ainsi que leurs dérivées aréolaires d'ordres 1.2, ..., n, f,(©) est le prolongement analytique de f,(£) lorsqu'on passe du domaine D, au domaine D, en traversant
l'arc AB (2).
Traçons dans le domaine D, un arc simple APB, limitant avec AB un domaine simplement connexe À, ; dans le domaine D, définissons à l’aide d’un arc AQB, un autre domaine A,, simplement connexe aussi.
(*) Extension du théorème de M. Painlevé (Thèse Sur les lignes singulières des Jonctions analytiques, 1888).
OR
En un point €, de A,, on aura
fee D | 2 A fi Das+ f ED Box, Î=0
© AB ES © BPA
Mais pour la fonction /,(0) le point Gi étant extérieur au domaine À, on peut écrire :
= SEA [EPA a] nee A EJa rer A OB- eV =
En ajoutant membre à membre ces deux égalités et en remarquant que le
long de AB
fit) = ft) el PC) fit }
| Es fie AGE 7 2 ee Ex
l étant le contour APBQA.
Un raisonnement analogue relatif à la fonction /,(Q) conduira à une expression de la même forme.
La fonction
on obtiendra
où (3) le long de APB, Ce) le long de AQB,
est un polynome aréolaire égal à f,(€) dans A, et à /,(C) dans A, et par conséquent les deux fonctions se prolongent l’une par l’autre en franchissant l’axe AB.
IL est évident qu'il n'existe pas deux polynomes qui prolongent /,(€) dans A,, car leur différence serait un polynome aréolaire nul avec toutes ses dérivées le long de AB.
Or, la dernière, étant holomorphe, serait identiquement nulle; la deuxième deviendrait à son tour holomorphe et identiquement nulle et ainsi de suite.
Le même problème relatif aux séries aréolaires ne présente aucune difficulté.
En partant de la définition (2) de la dérivée aréolaire, nous avons
THÉODORESCO. é
montré comment on peut sortir du cadre classique, par l'intermédiaire de fonctions simples et voisines des fonctions analytiques. À chaque terme on a attaché un problème complexe et un autre réel. Dans le chapitre suivant, nous aborderons le problème général des fonctions holomorphes (4), qui peut être regardé comme l’analogue de l'intégration des fonctions continues.
