CHAPITRE I

LES FONCTIONS HOLOMORPHES (x).

4. Nous avons défini plus haut les fonctions holomorphes (x). Si l’on procède par analogies successives, on peut dire que ces fonctions joueront le rôle des fonctions à dérivée continue.

Le problème qui s’y rattache généralise l'intégration et a des applications physiques que nons étudierons en détail dans un des chapitres suivants.

Considérons Le rapport (1) qui définit la dérivée aréolaire en un point z, d'un domaine D.

Nous dirons que ce rapport converge uniformément dans D, st à tout nombre positif € donné, on peut faire correspondre un nombre +, indépendant du

. ; : bte . o point z, et tel que pour toute courbe fermée rectifiable y, linutant un domaine o, complètement intérieure au cercle de centre 3, et de rayon 9, on ait

I ® (%0) —— | f(z) ds — PE ff du <ef fa, He T 5 5

e(3,) étant un nombre fini et déterminé en chaque point z,.

Nous allons montrer que pour toute fonction holomorphe (x), le rapport (1) tend uniformément vers sa limite.

Démontrons d’abord le lemme suivant relauf aux fonctions monogènes (a). :

Stune fonction f(z) est monogène (x) dans un domaine D, on peut partager ce domaine en un nombre fini de régions telles que dans chacune d'elles, il existe au moins un point 3, pour lequel, € étant arbitrairement donné,

on ail . [Jo ds ? (0) f fasi<e f [ao mer © AR ut — 0 A », DUT Le TJ J Ja

quelle que soit y, intérieure à la région obtenue autour de 3,.

vor

On n’a d’ailleurs qu’à traduire la démonstration du lemme de M. Goursat.

Traçons un réseau de carrés ayant leurs côtés parallèles aux axes Ox, Or.

Parmi ces carrés, les uns satisfont à l'énoncé. Nous allons distinguer seulement les autres qui n’y satisfont pas.

Prenons un d’entre eux et divisons-le en d’autres plus petits, joignant les milieux des côtés opposés.

Cette opération répétée pour chaque carré conduit à des régions qui, ou bien satisfont à l'énoncé, ou bien n'y satisfont pas et doivent être partagées de la même manière.

Le procédé continué aussi loin que l’on veut conduit à une suite de carrés (ou portions de carrés) &,, 4, ...,«,, dont chacun est compris dans le précédent. Il y aura au moins un point limite 3,. Mais la fonction /(z) étant monogène (+) en ce point, on peut déterminer un rayon o, tel qu'on arrive à une contradiction, car pour n assez grand, , peut être enfermé dans le cercle 9,. Donc le lemme est exact.

Dans ces conditions, partageons le domaine D en les régions satisfaisant au lemme ci-dessus, et écrivons :

<e f [as

I Se Pr Re (20) ; À ie JC Pier. {4

La fonction ©(z:) étant supposée continue, donc uniformément continue, à un nombre £ donné, on peut faire correspondre un nombre rtel que, dans tout carré de côté r, on ait

|p(z) vi ®(20) | < €.

En même temps, partageons les carrés de la division faite, qui sont de côté supérieur à r, de telle sorte que l'inégalité puisse être appliquée.

On aura IRATOETOUNE <s [ fs, nn fre [ [et <oe [ [ds

En ajoutant tous les résultats, on trouve :

I Les ES à sir J,/ ds x J Jet 4

d’où

< 2e (aire de D).