CHAPITRE HE

1. C’est par la considération de fonctions d'ensemble qu’on est arrivé à -la notion d’intégrale généralisée ainsi qu’à la dérivée au sens large.

Il n’est pas difficile d'étendre quelques définitions du domaine des fonctons réelles à celui des fonctions complexes afin de pouvoir introduire ces extensions dans le calcul qui nous occupe.

Étant donné un ensemble E borné et mesurable, variable dans le plan, la fonction F(E) aura pour expression P(E)+:Q(E), où P et Q sont deux fonctions réelles de cet ensemble.

Nous nous bornerons à appliquer quelques théorèmes sur ces fonctions au cas où E est un domaine borné et quarrable limité par un contour rectifiable.

Une fonction F(E) est additive si sa valeur sur un ensemble, somme finie ou infinie d'ensembles sans points communs deux à deux, et contenus dans un domaine borné, est la somme de ses valeurs sur chaque partie.

Une fonction F(E) est continue dans un domaine D (ou sur un ensemble E) si, à tout nombre positif e donné, on peut associer un nombre positif », tel que à désignant le diamètre de e< E, on ait

Ffe)}<:e SION

Elle est absolument continue si, pour tout € donné, on peut déterminer un: tel que

Fee pour (mes e) < 1.

Une fonction F(e), définie sur un ensemble E, peut être considérée comme définie dans tout l’espace si on la considère égale à F sur l’ensemble E et nulle sur son complémentaire.

MT Ex

Soit w un domaine carré, centré au point z, du plan z. Considérons le rapport Fo)

Mes 6)

qui peut avoir une ou plusieurs limites lorsque la mesure de « tend Vers Zéro.

Lorsque ces limites existent, on dira que F(e) admet des dérivées symétriques (') au point 34.

Nous appellerons /a plus grande limite de ce rapport celle dont le module est la plus grande limite des modules des limites.

S'il y en a plusieurs, on choisira entre elles celle qui correspond à la plus grande limite des arguments (à un multiple de 27 près).

La plus petite limite sera définie de la même manière.

Nous appellerons dérivée symétrique supérieure où inférieure de F(E) au point 5, les plus grande ou plus petite des limites du rapport ci-dessus, quand la mesure de «w tend vers zéro.

Bien que ces définitions des dérivées soient commodes, elles ne sont pas satisfaisantes au point de vue de la généralité.

Considérons, avec M. Lebesgue (?), au lieu d’une famille de carrés, une famille d’ensembles quelconques e, de mesure de plus en plus petite, à condition que cette famille soit régulière.

On dit qu’une famille d’ensembles e est régulière au point 3, si elle contient des ensembles de mesure infiniment petite, et si l’on a la relation

mes wo

LE messe où #Æ est un nombre positif fixe et w le plus petit carré qui contient e. Les dérivées supérieure et inférieure d’une fonction F(E) au point 3, seront les plus grande et plus petite limites du rapport F(e)

, mese

lorsque la mesure de e, contenu dans E et appartenant à une famille régulière, tend vers zéro.

(*) Voir Cu. pe LA Vaurée Poussin, /ntégrales de Lebesgue, etc., p. 59 et suiv. (®) Henri Lesesque, Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primilives, p. 191 et suiv.

Il est évident, qu'en général, les dérivées ainsi obtenues dépendront de la famille employée.

Or, cela n’a d'importance que sur un ensemble de mesure nulle.

Aux autres points il y aura une dérivée unique, quelle que soit la définition employée.

Le problème qui se pose naturellement c'est de savoir dans quelles conditions une fonction F(E) admet une dérivée (ou des dérivées) en un point donné.

Il est évident qu'il est nécessaire que F(E) soit continue sur la famille e choisie, mais cela ne suffit pas pour assurer l'existence de la limite.

Aussi l'attention se dirige-t-elle vers des classes de fonctions continues de plus en plus larges pour lesquelles on peut affirmer que le problème est possible.

Nous considérerons, dans ce qui suit, des fonctions addütives et absolument continues, qui se confondent, on le sait, avec la classe des intégrales (au sens de Lebesgue).

Soit d’abord /(P)une fonction univoque, définie dans tout le plan et sommable sur tout ensemble E borné.

La fonction

F(E)= f J(P) dP VE

a pour dérivée f(P ) presque partout. Les points exceptionnels où la dérivée n’est pas unique, ou n'existe pas, forment un ensemble de mesure nulle indépendant de la définition particulière qu'on ait adoptée pour la dérivée.

Le théorème réciproque qui mérite une importance particulière s'énonce comme suit ('):

Une fonction d'ensemble addiuve et absolument continue a ses dérivées finies presque partout et sommables sur tout ensemble mesurable et borné; elle est l'intégrale indéfinie de chacune d'elle, c’est-à-dire

(31) F(E)= f (DF)4P,.

Les démonstrations de ces propriétés ne sont pas différentes de leurs analogues dans le domaine réel. Nous nous contentons de les rappeler pour pouvoir passer à une classe spéciale de fonctions d'intervalle.

{ me

(2) Cn. pe La VaLLée Poussin, loc. cit., p. 72 et 75.

THÉODORES CO,