RUES

2. Soit f(z)une fonction continue du point 3, dans un domaine bornéA. Soit à un carré intérieur ou bien un domaine somme finie ou infinie de carrés sans point commun deux à deux (pouvant être toutefois contigus).

La fonction

où y est le contour de à, peut avoir un sens même si y est de longueur infinie.

Supposons qu’il en soit ainsi. Dans ce cas, elle est une fonction additve de à, car il est bien évident que lorsque les carrés ont des côtés communs, les intégrales le long de ces lignes intérieures se détruisent deux à deux.

Supposons en plus, que pour une certaine classe de fonctions continues

[PP ) ) ; + " . a)

F(è) soit une fonction absolument continue de 0.

Occupons-nous exclusivement de ces fonctions. Considérons le rapport

—- (z) dz nd & F()

I mesô - do) Te 5

que nous avons déjà employé dans la définition de la dérivée aréolaire.

Soit à un carré de centre 3,, appartenant au domaine A. Lorsque la mesure de à tend vers zéro le rapport (33), où la fonction F(3) est absolument continue, tendra vers les dérivées symétriques de F au point 34.

D'après les théorèmes rappelés ci-dessus, ces dérivées existeront presque partout, étant sommables sur tout ensemble intérieur à A.

Désignons par ©(:) une d’entre elles, obtenue à l’aide d'une certaine famille de carrés.

On aura, d’après la relation (31),

F(2)= f g(P)dP.

Or, g(P) n’est autre chose que la dérivée aréolaire de la fonction /(P). Cela nous permet d'établir le théorème suivant :

St, pour une fonction continue f(x), l'expression

JG,

AT 1e

où y est le contour d’un domaine à formé d’une somme finie ou infinie de

carrés intérieurs à une région donnée À, est une fonction absolument continue N . . , . r r . r .

de 0, la fonction de point f(z) admet des dérivées aréolaires symétriques,

finies presque partout et sommables sur tout ensemble E < A.

La dérivée est unique, sauf sur un ensemble de mesure nulle. On a, en plus, la relation

4 L de te pre (34) re J JE 4 2 J Jet do 0

la première intégrale étant prise au sens ordinaire, la seconde représentant une intégrale de Lebesgue.

Considérons un domaine quarrable D, limité par une courbe simple rectifiable C.

Traçons un carrelage de côté r qui couvre le plan des 3.

On peut déterminer un domaine D’, formé de carrés, intérieur à D et aussi voisin de celui-ci que l’on voudra.

Soit C le contour polygonal qui le limite.

On aura me fo dr — 2 fo(PyaP =0.

c’ Rp