IT

Or, on peut choisir C’ suffisamment voisin de C pour que

[las —d(s)] re

En effet, considérons un des triangles rectangles qui s'appuient sur C. Si r a été choisi assez petit, dz peut être assimilé au vecteur représenté par l'hypoténuse de ce triangle; ou mieux, on aura

dz —(1+ 0) dE,

|o|<Te’, signifiant la somme des vecteurs représentés par les deux côtés de l’angle droit.

Dans ces conditions

fids—aetsi< flets)tidetert<e fas<oet C C c’

car la longueur du contour C’ est inférieure à 2/, comme il est facile de le

CFO

voir en examinant tour à tour les triangles successifs. Cela étant, on aura

D=| fre frol< fie sonate firoés act

Mais on peut considérer If(z) — SR) 1< e en chaque point de C dès que r est assez petit. Donc DES fus + M fie — dE(z)| <{(e+2Me').

Cas }

En même temps, la fonction o(P ) étant sommable,

= feuar- ï fecarl=2 [ o(P)dP <e',

T Un T Jp: T/p p:

car une intégrale est fonction absolument continue de domaine. On en tire l'inégalité

<l(e + 2Me) +e”,

I I > je Ja 2 fetPraP

d'où, puisque le premier membre est une constante,

(35) se Jde — À [ fret) do 0

pour tout contour C rectifiable limitant un domaine quarrable D dans la

région bornée A.

Cette relation fondamentale est l'extension des formules (5) et (20) dont

nous avons fait un large usage.

Elle nous permettra de remplacer la dérivée symétrique par une dérivée obtenue à l’aide d’une famille régulière de domaines limités par des contours rectifiables.

On peut dire que les fonctions continues pour lesquelles l'intégrale

fre,

étendue au contour C d’un domaine somme finie ou infinie de domaines limités par des contours rectiliables, est une fonction absolument continue de ce domaine, sont presque partout monogènes (x). k

Da UT RS

En effet, elles admettent presque en chaque point une dérivée aréolaire unique et finie, sommable sur tout ensemble borné.

Remarquons que, pour cela, il suffit que la même intégrale, étendue à un domaine somme de carrés, soit absolument continue.

En outre si, par un moyen quelconque, on a démontré qu'une foncon f(:) est presque partout monogène (4) pour une certaine famille régulière, elle le sera pour n'importe quelle autre famille, les dérivées obtenues ne différant que sur un ensemble de mesure nulle.

Complétons ces résultats par un théorème réciproque :

St deux fonctions f (3) : finie et continue dans une région bornée A et (2) sommable sur tout ensemble mesurable E < A, satisfont à la relauon

ga Jr À [ [et do 0

pour tout contour C rectifiable et fermé, limitant un domaine quarrable D < A, (3) est presque partout monogène (x) dans À, sa dérivée aréolaire ne différant de o(v) que sur un ensemble de mesure nulle.

En effet, posons

WD)= ne Ja rie ni o(#) do,

F,(D) étant une intégrale, est absolument continue et par conséquent admet presque partout la fonction o(P) comme dérivée au sens de Lebesgue. Mais on a partout

Donc ces deux fonctions auront leurs dérivées égales presque partout.

Remarquons, cependant, que la dérivée de F(D) est précisément la dérivée aréolaire de f(z).

Le théorème est par cela démontré et il est bon de remarquer une fois de plus qu’il généralise le théorème classique de Morera.

Citons parmi les fonctions presque partout monogènes (x) les fonctions à variation bornée en x et y, dont les nombres dérivés sont finis.

S1 les fonctions P(x, y) et Q(æx, y) sont à variation bornée par rapport à æ, pour toute valeur de y et réciproquement, et si en plus elles ont des nombres dérivés finis dans le domaine A, M. Montel (‘) a montré d’une

(2) P. Monrez, Thèse, 1907, p. 59, ou C. R. Acad. Sc., 1. 156, 1913, p. 1822.

SEE part, que les dérivées existent presque partout et, d'autre part, que la for-

mule de Green y est encore applicable.

Par conséquent on pourra écrire

Se (P + iQ) (de + idy)= = = [(A&P = A,Q)+i(AzQ + A,P)]dxdy AU ü Dax

pour tout contour C rectifiable limitant un domaine D, intérieur à A.

En y appliquant le théorème de Morera généralisé, qu’on a établi ci-dessus, on voit que f (3) admet comme dérivée aréolaire presque partout la fonction