HASPE CON A EO ER

où le symbole À désigne le nombre dérivé.

On peut dire que la dérivée est aussi égale presque partout à

SCO MOT 0x 0dy)] On ne peut pas affirmer pourtant que la classe des fonctions qui admettent des dérivées aréolaires doit être assujettie à des restrictions de ce genre, mais quoiqu'elle puisse comprendre aussi des fonctions discon-

tinues, la continutté seule de f(z) ne saurait étre suffisante pour assurer la continuité absolue de l'intégrale

fre dz.

Or cette continuité absolue s'impose d'elle-même dans la plupart des questions regardant la dérivée aréolaire.

C’est sur cette propriété qu'est basée l'existence de la formule de Green généralisée (35), qui est fondamentale dans ces recherches.

Les fonctions f(z) pour lesquelles la dérivée existerait sans que cette relation existe, seraient les analogues des fonctions d'une variable réelle dérivables, mais qui ne sont pas les primitives de leurs dérivées.

8. L'exemple suivant, que nous devons à la bienveillance de M. Bouligand, montre d’une façon précise qu'on ne peut pas dire que pour toute fonction

continue f(3), l'expression fra

définit une fonction additive d'ensemble absolument continue.

En effet, il faudrait pouvoir dire que cette fonction d'ensemble est infiniment petite pour tout ensemble de mesure superficielle infiniment petite.

Pour démontrer qu'il n'en est rien, construisons sur les axes Ox et Oy un carré de côté égal à l'unité, que nous désignerons par OABB.

Partageons le segment OB—7+, qui est sur O y, en trois parties égales OP — PQ — QB.

Soient P', Q' les points obtenus sur AB’ par le même procédé.

Enlevons le segment central et répétons l'opération pour les deux segments extrêmes.

On obtient de cette manière l’ensemble triadique de Cantor et l’on considère les rectangles obtenus en joignant deux à deux les points correspondants sur OB et AB' par des parallèles à Ox.

Sur cet ensemble, considérons une répartition uniforme de masses, obtenue de la façon suivante :

La masse égale à l’unité est partagée entre les deux segments OP et QB,

puis la masse - est partagée entre les deux segments qu'on obtient sur OP par la deuxième opération, etc.

Soit o( y) la masse comprise entre l’origine et le point d’ordonnée 7.

e(3)=°(); po) =0) eo pr:

La fonction +(y) est continue et non décroissante.

Prenons /(z)— (y) et pour contour l’ensemble des contours des rectangles obtenus par les divisions successives.

On a pour le premier stade de la division

On aura

IE go) ds + f o(y) dz

OAP'PO % QQ'B'B 2 : ' =g0)—e(3)+e(5)-e0+ if eur ec dy, ; AP/+Q'B’ OP + QB

Lot) T,

d’où

car les deux dernières intégrales se détruisent mutuellement. Au deuxième stade de subdivision, on verra pareillement que l'intégrale étendue à la

somme des quatre rectangles obtenus est encore

et ainsi de suite.

Lorsque le nombre des subdivisions augmente indéfiniment, la somme des aires des rectangles non enlevés tend vers zéro. Cependant on a toujours

de f(e)da==o (1) == 71.

Or, cela montre d'une façon évidente que pour f(z) ainsi choisie, l'intégrale considérée n'est pas une fonction d'ensemble absolument continue.

On est loin pourtant de pouvoir affirmer que cette continuité absolue serait nécessaire pour assurer l'existence presque partout des dérivées aréolaires d’une fonction continue.

Le même exemple va le prouver, car la fonction o( y) admet une dérivée aréolatre unique nulle en chaque point du carré de côté égal à l'unité, sauf sur les parallèles à l'axe Ox, passant par les points de l’ensemble de Cantor considéré.

En effet, tout point de O y compris entre o et 1, appartient ou bien à l'ensemble triadique ou bien à son complémentaire.

Un point n, qui n’appartient pas à l’ensemble, peut être enfermé en un des intervalles enlevés. Cela est évident et résulte du procédé de construction employé, en tenant compte toutefois que ces intervalles doivent être considérés comme ouverts.

Dans la bande rectangulaire ainsi obtenue, traçons autour d’un point € quelconque une famille régulière de courbes rectifiables qui se resserrent autour de €. Soit C, un de ces contours. On aura

[#0 (de + idy)=etn) f ds =o, Cn “où

car o(y) est constant dans tout l'intervalle.

Dans ces conditions, le rapport (39) est nul pour toute famille régulière et la limite en est par conséquent égale à zéro.

La fonction o(y) ayant la dérivée aréolaire nulle presque partout, n’est pourtant pas holomorphe, ce qui est évident, mais doit être justifié par le fait même que le théorème de Morera n’y est pas applicable.

in effet, pour qu'une relation telle que (35) puisse exister entre o(y) et sa dérivée aréolaire, il faudrait que l’intégrale le long d’un contour soit absolument continue, ce qui n'est pas possible dans le ças qui nous occupe.

AAA a

L'exemple ci-dessus montre que f(z) peut bien avoir une dérivée aréolaire presque partout, même si l'intégrale n’est pas absolument continue.

L'exemple suivant, dû aussi à M. G. Bouligand, met en évidence un cas où la fonction n’a de dérivée en aucun point.

Prenons, en effet /(:)——1Q(x), en désignant par Q(æx) une fonction continue sans dérivée.

On aura k z)dz——1] Q(x)dx+ | Q(x)d 1 RAY.

Fa (e ‘e ) dx d (æ) dy ; (x) d)

Prenons pour contours C une famille de carrés ayant tous pour sommet le point 3.

Soit À la longueur du côté d’un de ces carrés

fr ds =1P(e +) — (at

Pour obtenir, à l’aide de cette famille régulière, la dérivée aréolaire e Q(æx), on est amené à former le rapport

QExr, Eh)=Q (zx) h 2

qui ne tend vers aucune limite.

Ces considérations précisent suffisamment la nature des difficultés qu'on a à rencontrer dans l'étude de l’opération de dérivation aréolaire.

4. Nous allons nous borner à l'étude d’une classe particulière de fonctions presque partout monogènes (a).

Supposons qu’il existe un nombre positif M, tel que pour tout domaine quarrable à compris dans une région bornée, on ait la relation

oh do si à appartient à une famille régulière.

Pour cette classe de fonctions, l'intégrale de contour est une fonction additive et absolument continue, car elle est majorée par l'intégrale relative à à, multipliée par un facteur fini et déterminé.

Donc f(z) admet une dérivée aréolaire sommable et unique presque partout.

De plus, les dérivées des fonctions f(z) qui satis font à la relation (36) sont bornées partout.

THÉODORESCO, ] 8