PT A

Cela résulte facilement de cette relation même en divisant dans les deux membres par l'aire de à.

Cette classe particulière de fonctions monogènes (x) peut être étudiée absolument de la même manière que les fonctions holomorphes (x).

Montrons, d’abord, qu'il existe de telles fonctions.

En effet, les fonctions à nombres dérivés bornés satisfont à la condition (37).

On sait qu'une telle fonction satisfait à la condition de Lipschitz If(z)— fa) <M}z— 3

pour tout couple de points 3 et z' de la région.

On a l'identité THE DS},

« . . ve 1 © où z, est un point fixe intérieur à 0.

Donc fre dz tf

=| fu -senas|<n fie atiés

Posons Re TC ldz| <'ds —1r dû:

Jr <M fra5= f [ de.

Les fonctions à nombres dérivés bornéssont donc des fonctions à dérivées aréolaires bornées.

On peut, d’ailleurs, rattacher ce résultat à celui concernant les fonctions à variation bornée, dont les nombres dérivés sont finis, car on sait qu’une fonction satisfaisant à une condition de Lipschitz est à variation bornée.

Cela nous permet de connaître l'expression même de la dérivée aréolaire (presque partout).

Elle est donnée par la formule (36).

Passons maintenant à la recherche d’une formule donnant les valeurs d'une fonction continue f(z), à dérivées aréolaires bornées, quand on connaïtune de ses dérivées 9 (3) partout (ou presque partout) dans un domaine D et ses valeurs représentées par une fonction continue, le long du contour simple, fermé et

rectifiable C.

Il en résulte que