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.… Les opérations nécessaires ne diffèrent pas de celles déjà employées dans le cas des fonctions holomorphes (x).
Considérons d'abord la fonction
38 STE) RS ANA “e 8\@) jf Fc,
qui est continue dans tout le plan, lorsque o(e) est bornée et intégrable Lebesgue (*). De plus, si € est extérieur à D, celle-ci est une fonction holomorphe régulière et nulle à l'infini.
Rappelons que pour tout couple C’, D'il y a la relation
se 1) ) ds — = Jet do = 0.
Les procédés du deuxième Chapitre (S 2), nous conduisent aisément (les opérations étant parfaitement licites, même dans ce cas général) à la
formule (39) ro fes sur . do.
Il faut toutefois remarquer que la deuxième intégrale est prise au sens de Lebesgue, et que les valeurs de f (3) sur C ne peuvent être données au hasard. Nous avons, d’ailleurs, précisé les conditions nécessaires et suffisantes pour que cela soit possible.
5. Le calcul des dérivées aréolaires et son inverse, réalisé à l’aide de
l'opération Ne LT do,
se rattachent aux notions, les plus générales, dedérivéeet intégrale, suivant les vues de MM. Lebesgue et de La Vallée Poussin.
Aussi, sommes-nous poussés par les analogies trouvées à les considérer comme des propriétés bien naturelles et utiles des fonctions de variable complexe.
D'ailleurs, les règles élémentaires du calcul infinitésimal s’y étendent sans difficulté.
La dérivée aréolaire d’une somme finie de fonctions à dérivées bornées est
(:) D. Powpeiu, Annaes da Aademia, etc. (loc. cit.).
presque partout la somme des dérivées des termes, l’ensemble exceptionnel étant la somme des ensembles exceptionnels des termes.
Occupons-nous de la dérivée aréolaire d’un produit de fonctions à dérivées aréolaires bornées.
Montrons que st f, (0) et f,(&) sont de telles fonctions, on a (presque partout)
Df, Df, (40) a LE = Ji Do + fa Do ?
l'ensemble exceptionnel, indépendant de la définition particulière des dérivées étant la somme E, KE, des ensembles attachés à /, et fo. Pour plus de généralité, prenons pour /, et /, deux fonctions de la forme
RUES - He PR SEE ne (6) a.
R(E)= = ED ds 1 f fe (P) dw, A0Cir € -
où F,(3) et F,(3) sont sommables le long de C, ©, (Y S), 2: (©) bornées et intégrables dans le domaine D.
Traçons, comme nous avons déjà fait, un contour C’ limitant un domaine D’ et entourons-le de deux contours C/ et C/’. Soit à le domaine compris entre C/ et C/’.Ona
D=D'26 2 Dr
Calculons l'expression À — ne JA OA EE.
On peut remplacer les valeurs de /, et /, dans cette expression parce que Cest intérieur à C, ce qui donne
E de - ds [l
PR S fx IE de J $ HE) CT R Jo lit Jr —&
") dr = fa CRE —— - do » ff: ge) SA pd.
QÛT Art —- ACL <
LEE Notons pour simplifier par £,(€), 2 par À, (O0), hk;, (©) celles relatives à D’:
Le premier terme - je AE) ga(t) dt —o,
puisque ces deux fonctions sont holomorphes dans le domaine ouvert D et par conséquent, sur C/ aussi.
Ensuite
Pa(#) er ei a [ [EE ç do re tes — ED [22 — - or 5 ne J 0 & ff 2iT* Ja) a [ [ Je G) te ff
Or, on peut choisir C/ et C”’ de telle manière que le terme relatif à Ssoit inférieur en module à tout € donné
Les deux autres donnent
7 gate ) ne : | ; À 51 (£) ; ao ff ES ao = : = Ra 214 ee (s)8 ) do,
à cause de l’holomorphisme de g,(0) dans D' et sur C Mais
(©) les intégrales relatives à C et
IAE PR 1 ie :
CON ET ds = f,(9) + cf ERRS | du.
En remplaçant g,() par cette valeur dans l'expression ci-dessus, on aura
Be 2 f ftoatrde à [facto [ fe O a
Quant au terme concernant D”, on obtient
ï 0° ?o(P) DE pe I JE à , ] [ES es + CON Es AR —— UE RDS
2iT°
car v est maintenant extérieur à C’.
Donc
B= B, + e’ (e' provenant de 0).
Le calcul du troisième terme de l'expression À conduira de la même
ETS
manière au résultat suivant :
= + ff rot de E f fatodo [ fa
C=CG,+e".
et
En ajoutant ces deux résultats et en remarquant les termes qui se détruisent, on aura
D, l) Be f frroatun+siwatd à ffetna ff do) à f fatodo ff POP) Jo pe teter.
T? 2 RTE
Il nous reste à calculer le dernier terme de A :
É CAT) p2(#) afro ff Et : ; Perte Fe a fond fat ff L— do o ff? Pa) do + 0.
Sir Je Dire Je Bee
D'abord £)h, 0e) = 7 J [mx p) jdn f faite De + EN à :
parce que v et t sont à la fois intérieurs à C’. De même
re fe) LE a [ f Tao ae 5 =
car vet t sont tous les deux extérieurs à C/. Ensuite
Es ee
do on
9 Er dé AT = JG dr Î fe Set rod [fade f ea Mais LU = pit DE 0 PA 4 D 2) ME SEE El s eur!
puisque t est intérieur et v extérieur.
rio
Ce dernier terme devient donc
a [| a(eyde [| Pate), RAUUEe pré?
De même, on aura
5 ») cl hi Ga [ [2 And ele do ff Ha
Finalement, si l’on remarque les termes qui se détruisent et que l’on procède, comme dans les cas analogues déjà traités, on obtient l’identité
En 6) f:(€) de f [UC [Ce p)+p(r)f:(e)] de —o
pour tout contour fermé, rectifiable C’.
Or, cela signifie qu’on a presque partout dans le domaine D
D Dr D, Dsl D + f Fist
