LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES ARÉOLAIRES
Dans cette deuxième Partie, nous allons étudier des applications des fonctions monogènes (x).
Il y a, en effet, des questions se rattachant à la Mécanique des fluides, à l'Élasticité, etc. qui, traitées à l’aide de ces fonctions, se présentent d’une manière naturelle à l'esprit, les problèmes d'intégration qui s’y rattachent devenant notablement plus simples.
L’instrument de recherche, dont nous allons faire un large usage, sera l'opération inverse de la dérivée aréolaire.
4. On sait que la fonction g(€) définie à l’aide de l'opération
O= [fa
où o(#) est bornée et intégrable dans le domaine D, est continue dans tout
le plan.
A l'extérieur de D, elle est, de plus, holomorphe (x), étant régulière et nulle à l'infini.
Il n’est pas inutile d'en donner un exemple. Considérons, à cet effet, le cercle unité, et une suite de couronnes circulaires définies à l’aide d'une suite de rayons
, 4 F Nil Q .
La fonction ?(C) sera égale à =, dans le domaine D; compris entre les
, I li cercles de rayons respectivement etes
THÉODORESCGO,
re’ GITE
On aura donc 1 dans D,, no + dans D,
o à l’origine.
Cette fonction est bien discontinue quand on traverse les cercles de la
suite, mais elle est intégrable au sens de Riemann. Supposons que le point € soit dans le domaine D,. Calculons les intégrales relatives à un domaine d'indice inférieur ou supérieur. On aura
I 1 — I oi I SX TE do —=— — = da T Te TT Eee EC ] À
, r I I PRET , .
(c, étant formé des deux cercles —— et 5) car la dérivée aréolaire
pour y <#
2/—1 de —C est bien =: et Cest extérieur à D.
Posons 3 — ce! et remarquons que CR ee enr. pour [£|>]2:|, donc pour ; > A
et
—=i+5+.. pourfé|<|z|, done pour j < 4.
= | S - a | pour/ > A
et = 0 pour / < k.
Enfin pour D,, on obtient
ADS T p —Ù OCT: F:
. D4 ® « … Te C4 Sr RS
car on n'a qu'à appliquer la formule fondamentale à la fonction holomorphe (4), ZT, pour déduire ce résultat. Le calcul de l'intégrale relative
=: ? + 1 free : ‘ à C; conduit aisément à — E' En ajoutant les contributions de la suite
RENRTERE
des domaines D,, D,, ..., D,, ... et en remarquant qu’on a affaire à une progression géométrique, on obtient pour £(€) l'expression
HO=n(f- se) U=on..) port lris
Lorsque € est extérieur au cercle unité, on a
qui est une fonction holomorphe régulière et nulle à l'infini. Le long du ; ae QE cercle, g(©) se réduit à - e—".
Dans l'exemple suivant, o(C) sera non bornée; cela prouve que la restriction imposée à cette fonction de rester bornée n’est pas essentielle pour assurer la continuité de l'intégrale.
Prenons le même domaine, la même suite de cercles concentriques et définissons ©(€) égal à
IA Ca (IPN [eo
Cpee
Dans ces conditions, elle est infinie sur une infinité de cercles concentriques.
. « . . h Supposons toujours € dans le domaine D, compris entre = =
et calculons d’abord les contributions des intégrales 1; étendues aux
domaines D,(j<#).
Supposons / > k et notons F — re'?
r dr do mn ve [7 FSI LS —. = Fret pet) 1/7 - . se — > 0
Considérons séparément l'intégrale
De
wI—
es FAQ PS reTt? do + pe il do TE re? — pe Re. DAS r?— 2pr cos(9 —0) +p°
On a dans D,||2|e|, donc p2r.
Considérons dans le cercle de rayon o, une fonction harmonique égale Ares Ein.
Pi
Les valeurs sur ce cercle en seront
on aura
2m , L - MONTE 7 1 re? do 53 2TI I f (PE TE )DE 8 do . ri— 2rpcos(®—0)+p? p(p—71?) 27 Le MERS p COS (DEC IEREES
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