FORTE

De même, la fonction harmonique égale à 1 dans le même cercle con-

duira à l’expression

… pe do o 7?—92prcos(p —0)+p°?

We ue (p®— r°) do Es 2rpe

p?—r? 27 ?— 207 cos(® —0)+p® p?—7r?)

Il s'ensuit que

Dans ces conditions,

Quant aux termes relatifs à j <° k, on aura 1, = 0. Le calcul de I, se fait de la même façon, en écrivant

car pour @ = Ü,r— 9 peut donner un point singulier. D'ailleurs, la méthode que nous avons employée est basée sur la position relative de €. On a aisément

En ajoutant les contributions de tous les domaines, on obtient pour g(©)

l'expression pour

Lorsque € est extérieur, on a

qui est holomorphe et nulle à l'infini.

La continuité de la fonction, dans tout Le plan, est évidente:

Dans certaines applications, il est nécessaire de connaître des propriétés plus particulières de la fonction g(C), par exemple, la possibilité de l’existence des dérivées partielles par rapport à E ou n ({—Ë+1n), car en ce cas la dérivée aréolaire de cette fonction se réduit à la forme particulière (3), qui est particulièrement utile dans bien des problèmes d'intégration relatifs à des systèmes aux dérivées partielles.

2. Le problème auquel nous avons fait allusion dans le paragraphe précédent s’énonce d’une manière précise : Dans quelles conditions la fonction g(©) définie par l'opération

où o(e) est conunue dans le domaine fermé D, admet les dérivées partielles par rapport à Eetn(E+ in =), en chaque point du domaine ouvert D ? Considérons d’abord un cas particulier suffisamment général pour toutes les applications et très fréquent dans la Théorie du Potentiel. Supposons que la fonction o(€) satis fasse à une condition de Hôlder de la forme

FCO LE M | ESC (æ > 0)

pour chaque couple de points €, L' tels que|{—©|<c, x, M et c étant des constantes positives, les mêmes pour tout le domaine D (").

(:) Cette condition, généralisant celle de Lipschitz, est employée souvent dans la théorié du potentiel (voir à ce sujet le livre de M. O. D. Kezroce, Foundations of Potential Theory (Berlin, 1929).

icrivons

p(r)=[p(r) — p(E)] + pt)

et posons pour simplifier

La condition de Hôlder deviendra [bCP)| Mot, ©: pr —€|:

Le problème peut être ramené à l’étude d’une intégrale où o9(#)=1, et à celle d’une intégrale où o(e) s'annule au point €, tout en satisfaisant à la condition imposée. :

On aura aisément

HR ACT ON P cd: s dz so À [ [Ban = |r EST (E),

Ôg: d2 NES d’où l’on peut tirer, tout de suite, les dérivées dE et 27. + En particulier

DRE z ds ) doit dl

pour tout point € éntérieur.

Or, on remarque sans peine que si l’on décrit autour du point © un cercle T de rayon fini et suffisamment petit pour qu'il soit compris dans D, on peut négliger dans toute étude concernant les dérivées de g(£) la contribution du domaine D — A, car celle-ci admet les dérivées partielles continues.

Occupons-nous donc seulement de l’apport du domaine A.

Dans ces conditions, posons 3 — Ü — pe; on aura z lz 4 Pt : 2 É Es : sue d0 = 0 207 Jp (3 —C} 2% Jp pei el d2 , dx .

nt ME nn

On aura donc

Sd he

quand 1l s’agit d’un cercle F limitant un domaine A, € étant son centre. Prenons des axes au point €. Pour obtenir la dérivée de g,(Q) par rapport à 6, considérons sur l’axe réel le point d’abscisse A. L'intégrale

te no) I EE d(s) Hs SJ re =- verte

est uniformément convergente; elle a donc un sens déterminé. En effet,

Bi ff nc E fée

P—t=æpsel (7 — rayon du cercle T').

Calculons maintenant la différence :

ACER RAR) ne h

. Le — nile de

. Cette intégrale a un sens pour h — 0, car elle est nulle, mais on n’est pas sûr qu’elle n’ait pas d’autres limites pour L > o tendant vers zéro.

Si l’on peut montrer que [(h)est continue pour k = 0, on pourra affirmer que, à tout e donné, on sait attacher une valeur h, de h, telle que

[I(A)| <e pour h < h,.

Pour prouver la continuité de I, à l’origine, entourons les deux points €. et (+ h, d’un cercle +, de centre € et de rayon r, >}.

La fonction à intégrer est continue en h dans le domaine À — à. Montrons que la contribution de © tend uniformément vers zéro, avec r,, indépendamment de la position de . Donc, que pour € donné, on peut déterminer r;,

tel que He pour A < rs.

En effet, on aura aisément

Free Le RkM p%*1 dp dû ef af” do p2V/p?— 2ph cos + h? T pi—2 /p?— 2ph cos + A

Posons ç — ht. Il vient

lo 1 Le dt nf | SA pi=% V/p?— 2ph cos0 + h2? ” ua 2 — o1cosû +1 u dt

< ie Re À , dat — at cosû +1

Supposons « 1, car pour à > 1, une fonction satisfaisant à une condition de Hôlder se réduit à une constante; le cas de « — 1 est assez simple à traiter directement.

Considérons à part

te dt LES Ve 1 —/#cos0

Les points singuliers en sont oet 1 (pour cosÜ —1, donc Ü — 0 ou 27). ® r 1 DER) >: I L'intégrale a évidemment un sens dans l’intervalle o, =» car 1—4<1.

D'autre part,

dt 20 1 dt , ta JE? + 1 — 21 cosb DYn ù VE + 1— at cos

Quant à cette dernière intégrale, elle vaut log 4 — cosÿ + VE— 2tcos0 +1] Le Le terme qui nous intéresse est ‘ log(1— cos8)[V/2 + V1 — cosô] ou bien log(1— cosô),

qu'on aura à intégrer de o à 27. Il n’est pas difficile de voir que la question sera portée à l'étude de l'intégrale

Î log sine do,

Tr qui se comporte à l’origine comme f° logo do.

Or, celle-ci a bien un sens, car on peut faire une intégration par parties

et arriver à 3 : 5 1 logo do —1[#+ logo]? f do, [

qui ne présente plus aucune difficulté. :

LENTEL S

de dt dia /E2— at cos0 +1

2 * L: Li + dt e Lé ] L4 il se comporte à l'infini comme f + donc a un sens bien déterminé.

Quant au terme

Dans ces conditions, si l’on désigne par K une borne supérieure de l’inté-

grale calculée, il vient

A BI ces ne ht < re

ce qui prouve qu'on peut déterminer une valeur de r,, telle que

PISTE, pour tout À <r;.

Or, I=1;+ 11 ;; donc cette fonction est continue en À comme 4 ;, et puisqu'elle est nulle pour » — o, elle va rester aussi petite que l'on voudra pour À << rs.

Dans ces conditions, Her TOR EE RS et, par suite, RS et INORN à h—0 h La dérivée à droite de la fonction g,(€) est bien J(Q). En reprenant le même raisonnement, on arrivera à la conclusion que {a dérivée à gauche de g,(C) au point € sera aussi égale à J(C), ce qui démontre l’unicité de la dérivée.

En ce qui concerne sa continuité. on peut raisonner comme suit : Prenons un point C voisin de Ü; pour simplifier les notations, transportons les axes en ce point et, de plus, prenons pour axe réel, la direction €t’, Soit À—|{—T'|; décrivons un cercle y, de rayon 2h et de centre €.

Calculons JE R) JT) NH:

On aura

He ff ra Me Du [SE do mi eo

La première différence du second membre pourra être écrite

Den ire Li cut

THÉODORESCO, 10

BAS ce

Le premier terme ne présente aucune difficulté. Son module est plus petit que celui de I considéré ci-dessus.

Le deuxième conduit aux calculs suivants :

ERTIOE &: de PRÉ ado |< Mi f dô , Pr Etp 2 hpcost eh?)

cs k dé =Ms f a f. Da — 240050 +1) où l’on a posé o — ht.

Or la deuxième intégrale est majorée par

f dt ‘ Ua 94 cosÛ +1)”

qui ne dépend pas de h et est bien déterminée si à <{ 1 (comme on l’a d’ailleurs supposé).

On en déduit que, à tout « donné on peut déterminer une valeur h, de h, telle que la différence considérée soit inférieure en module à e pour << h,.

Quant au terme [fie ris

il ne produit aucune difficulté.

Il nous reste à considérer

[hote ff +6 60) [fx

où Al

donc He) <MIeS A; en même temps [p(E)— p(O)I< MA.

d'(w) = aMrse LEE FE do <M f [et ap, dp < —— (3h) ,

car le maximum de p, sera 3h.

Remarquons, quant au dernier terme, que si y, désigne le cercle de centre Cet de rayon b, do ff Rss

(valable pour tout cercle concentrique à y’, d’ailleurs).

Évyrs

Or, dans le domaine à — d,, le minimum de [6 — h| est h. Donc LpCEN — p(E)| ne SN $ ER Se ni do = 3MrA®.

Enfin, il est devenu manifeste qu’on peut déterminer une valeur de h, telle que|rH|< re et, par suite,

[J(É+h)—J(0)| <e si A <h.

La continuité de J est assurée par cette inégalité. Il s'ensuit que la fonction g(C) admet des dérivées partielles du premier ordre continues en chaque point du domaine D ; celles-ci satisfont à l'équation

JECIRE 0816) OË L on 2000.)

ou bien, si l’on pose

8()=P(É, n)+iQ(é,n)}, 9(É)=A+GEB,

il vient :

oP Ge ; 0Q oP DE pa FR red n).

Par suite, g(Q) est une intégrale de ce système, où À +-1B satisfait à la condition de Hôülder imposée.

5. Passons à l'examen du cas général. Supposons que la fonction o(0) soit continue dans un domaine D, et tâchons de trouver les conditions nécessatres et suffisantes pour que la fonction g(Q) admette des dérivées partielles par rapport à & et en chaque point intérieur à D.

Il est évident que dans une région extérieure à un certain cercle de rayon r et de centre Ü, ces dérivées existent et sont continues.

Considérons donc ce qui se passe dans ce cercle l', en envisageant la fonc-

tion SR PANDT rn p(r) ee ne mo:

Prenons, pour simplifier, l’origine des axes au point Ü et dérivons dans une direction d’argument 6,.

Posons # — pe", e — . et considérons la différence

œ À Poe 5 4 i0 ee 0) g(w)— g(o) D APS do) = 8e f en af el en a

T el0—

Nous allons employer ici une méthode analogue à celle de M. H. Petrini pour les dérivées du potentiel (').

Il faut, à cet eflet, s'occuper de l'intégrale

1 Fe q(pot, 0) Pr € — el\05—0)

lorsque o, tend vers zéro.

Le point t — 1 est singulier si 0 — 0,. Partageons donc l'intervalle d’inté-

gration en deux parties : de o à 1 et de 1 à ne le dernier pouvant être aussi

grand que l’on veut par le choix convenable de 6,

» I Pourt >1,on saura développer EC SOUS la forme 1 en 0-0 + EM F Pre CE PPMRE Te die t— et D 4 RE

où F reste finie pour t > 1.

Soient « et 5 deux constantes positives indépendantes de 9, et telles que

ocacrepf<T.

Les intégrales

'Ee 27% B.

ed ee RATER nt et [ e-540 A her 9 de 0 4

restent finies pour tout 2,20.

‘n effet, dans la première, c’est le point £—1 qui peut être gênant

() Voir le livre de M. IH. Villat (Leçons sur l'Hydrodynamique, p. 140), où l'on trouve une étude du Mémoire de M. IH. Petrini | Les dérivées premières et secondes du potentiel (Acta mathématica, t. 31, 1908, p. 127)]. à

pour 0 — ÊE Mais on aura

Fear f’, Lan do eu f af > ee Dr A 2 21 COS (Ë6 ÿ) mn.

où M 1 une borne supérieure de |2(2, 0).

La dernière intégrale, déjà rencontrée dans cette étude, reste bornée, malgré la présence du point 0 —0,.

Quant à la seconde intégrale à examiner, elle est déterminée et ne présente aucune difficulté.

Cela étant, écrivons

o(pit L J l — ol ë 2 C Sfr ne Ü Lai + [ TE elü-0 £ Lo 1 :

5 + Lo I I | de ë b (Pot, 9)| ; ATP f) er ile L Je o(Pot; CA er ea V6 1

Le troisième terme de ce développement peut être rendu aussi petit que l’on veut par le choix convenable de 5, car il sera de la forme

"ji

[ opt, 0) EF di|<Nf F<N|e l 8 ra Jg {2 CE CCE

Considérons la fonction

Pete ne g(6) 710) 7 Le EL nr AQE se ee É AE : 1

Il n’est pas difficile de s'assurer que sa dérivée dans la direction 4,, au point €, se réduit à la valeur 5(0)e "pour un cercle F de centre €.

Répétons le raisonnement ci-dessus, pour ce cas particulier, et retranchons les relations obtenues membre à membre de celles relatives à la fonction g(C).

Le calcul de I — I, exigera les limitations supérieures de quelques intégrales :

Supposons 9, assez petit pour que

nee #] r ( 1. P(PoËst0) — g(0) y

o(eot, D)— o(0)| <e :

1 dt

<E , ———— o Vé?—2tcos(8, —0)+1