dé AR — a —__——— #, , tVE— 2t0c

t — el)

Ensuite

ITR

Or, toutes les deux intégrales ont un sens bien déterminé et restent bornées malgré les singularités qu’elles contiennent. En même temps l'expression

e SRE Po ll TOP TIES ES

1 e2iÙ do f w(o) “- = p(0)log— k e%i0 40 — o.

Sous la restriction que

27 nr ; | )(0. 0 Lino f 148 [| LAN, do Po= 0 2

# Ÿ Lo

existe, il est manifeste que

Re

o((#w) — 2(0) de eils 45 ; AUS Be ) AE = 229 ie e—2i0 40 (but, 9) EURE:

Po dé T

Le raisonnement habituel montrera ensuite qu’on a

de ed RES 4 do 2 — eo (E) — — lim f e*#a0 f œ@(p, 0) +.

do T (Po=0)/9 Æ og £

Par conséquent, la condition nécessaire et suffisante pour que la foncion g(C) admette des dérivées partielles en un point € est que

im f° er? af 7 —— are Po 0 0 existe.

En particulier, le cas étudié, où 2(0, 0 satisfait à la condition de Hülder, y est compris, Car on aura

27 fa 22%, D] | f esta [8 ee 2 do Ne e— a [| A do = 27 M Fo Pl: 0 Po c

œ T . FA SE .

Remarquons que, pour 0,— 0 et on obtient les dérivées partielles par

rapport à £ et f, et qu’on aura

OR A, de PE dr Fe 2(E), ou bien Or TO su 09%: "0P dE on 2 AU (ES 11): 0Ë —- re 2B(E, 1).

La fonction g(©) fournit donc une intégrale particulière de ce système.

2 er

Vu son importance dans bien des applications physiques, cette remarque est essentielle.

C'est d’ailleurs à cette fin que nous avons cherché les conditions dans

lesquelles on peut affirmer l'existence des dérivées partielles de l’inté-

grale g(C).

4. Nous avons assez souvent insisté sur le caractère de réversibilité du calcul aux dérivées aréolaires. La fonction g(©) est une sorte d’intégrale qui réalise le passage d’une fonction bornée et intégrable, à la fonction conünue qui l’admet presque partout comme dérivée aréolaire.

Îl'est naturel de penser à des équations aux dérivées aréolaires, généralisant les équations différentielles ordinaires.

Nous allons en donner quelques exemples de types simples :

D n+1 mn

is Dorii 0

dont l'intégrale générale a fait l’objet du Chapitre 11, et généralise les polynomes;

D1 (2°) DT = o(E)

qui a été également rencontrée; elle gé énéralise les fonctions holomorphes (x), qui peuvent passer pour les intégrales de l'équation |

Il est intéressant d'étudier aussi l'équation linéaire du premier ordre :

Soient À(C) et 4(€) deux fonctions continues dans un domaine D, limité par un contour simple C.

Cherchons l'intégrale de l'équation